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2018届高二下周测5


2018 届高二下周测 5
班级 姓名

1.设全集 U=R,集合 A={x|1og2x≤2},B={x|(x﹣3)(x+1)≥0},则(CUB)∩ A=( ) A. (﹣∞,﹣1]B. (﹣∞,﹣1]∪(0,3) C.[0,3) D. (0,3) 2.设命题 p:﹣1<log x<0,q:2x>1,则 p 是 q 成立的是( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ,

3.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 则 a 的值为( )

A.13 B.12 C.11 D.10 4.在区间[﹣3,3]中随机取一个实数 k,则事件“直线 y=kx 与圆(x﹣2)2+y2=1 相交”发生的概率为( A. B. C. ) D. ﹣ =1 (a>0, b>0)的离心率为 2,若抛物线 C2: x2=2py )

5. 已知双曲线 C1:

(p>0)的焦点到双曲线 C1 的涟近线的距离是 2,则抛物线 C2 的方程是( A. B.x2= y C.x2=8y D.x2=16y

6.在△ABC 中,三个内角 A、B、C 成等差数列,且 cosA= ,则 sinC=( A. B. C. D. |)的图象向左平移 )



7.函数 f(x)=sin(2x+φ) (|φ< 称,求函数 f(x)在[0, A.﹣ B.﹣ C.

个单位后关于原点对

]上的最小值为( D.

8.如图所示,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1,AB,CC1 的中点分别为 E,F, G,则 EF 与 A1G 所成的角为 9.过抛物线 y2=4x 的焦点且倾斜角为 60°的直线被圆 截得的

弦长是


2 2 , 求 z= (x+1) + (y﹣1) 的最小值是

10. 已知 x, y 满足约束条件



11.一个几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积为 12.已知 M 是△ABC 内的一点,且 =2

cm3.

,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA

和△MAB 的面积分别为 ,x,y,则 + 的最小值是 13.三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点都在体积为 的小圆面积为 16π,则该三棱锥的高的最大值为 1 2 3 4 5 6 7 的球的表面上,底面 ABC 所在

8

9

10

11

12

13

14.在数列{an}中,已知 a1= , (1)求数列{an}、{bn}的通项公式;

,bn+2=3

an(n∈N*) .

(2)设数列{cn}满足 cn=an?bn,求{cn}的前 n 项和 Sn.

10.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,cosA= ,b=2,面积 S=3, 则 a 为( A. B. ) C. D.

11. 《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著,其中有这样一段表述:“远看巍巍 塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”,其意大致为:有一七层宝塔,每 层悬挂的红灯数为上一层的两倍,共有 381 盏灯,则塔从上至下的第三层有 ( )盏灯. D.10 )

A.14 B.12 C.8

12.等差数列{an}中,a4+a10+a16=30,则 a18﹣2a14 的值为( A.﹣20 B.﹣10 C.10 D.20

13.等比数列中{an},a1,a5 为方程 x2﹣10x+16=0 的两根,则 a3=( A.4 B.5 C.±4 D.±5 的一个焦点与抛物线



14 .已知椭圆

的焦点重 )

合,长轴长等于圆 x2+y2﹣2x﹣15=0 的半径,则椭圆 C 的方程为( A. B.

C.

D. )

15. 如图所示的程序框图输出的结果是 S=720,则判断框内应填的条件是(

A.i≤7 B.i>7 C.i≤9 D.i>9 16.已知函数 f(x)=2sin(ωx﹣ 调递增区间( A.[kπ+ C.[kπ﹣ ,kπ+ ,kπ+ ) ](k∈Z] B.[2kπ﹣ ](k∈Z) D.[kπ﹣ ,2kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) ](k∈Z) ) (ω>0)的最小正周期为 π,则 f(x)的单

17.圆心在直线

上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得的弦长为 )

,则圆 C 的标准方程为( A. (x﹣3)2+(y﹣1)2=9 C. A.4 B.6 C.8

B. (x+3)2+(y+1)2=9 D. (x﹣6)2+(y﹣2)2=9

D.10

二.填空题(共 7 小题) 22.在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2, 交 CA 的延长线于点 F,则 23.椭圆 为 . ? 的值为 . = , = ,DE 的延长线

的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2 的大小

24.某高校有正教授 120 人,副教授 100 人,讲师 80 人,助教 60 人,现用分层

抽样的方法从以上所有老师中抽取一个容量为 n 的样本, 已知从讲师中抽取人数 为 16 人,那么 n= 25.在区间 为 . . 上随机地取一个数 x,则事件“ ”发生的概率

三.解答题(共 5 小题) 26.国家实行二孩生育政策后,为研究家庭经济状况对生二胎的影响,某机构在 本地区符合二孩生育政策的家庭中,随机抽样进行了调查,得到如下的列联表: 经济状况 好 愿意生二胎 不愿意生二 胎 合计 20 经济状况一 般 50 11 0 21 0 (1)请完成上面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 1%的前提下认为 家庭经济状况与生育二胎有关? (2)若采用分层抽样的方法从愿意生二胎的家庭中随机抽取 4 个家庭,则经济 状况好和经济状况一般的家庭分别应抽取多少个? (3)在(2)的条件下,从中随机抽取 2 个家庭,求 2 个家庭都是经济状况好的 概率. 附: P(K2≥k0) k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 合 计

27.已知函数 f(x)=x(a+lnx)有极小值﹣e﹣2. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若 k∈Z,且 对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值.

28.△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别是 a、b、c,且 cosA= .

(1)求 sin2 (2)若 a=

+cos2A 的值; ,求△ABC 面积的最大值.

29.数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=n2,数列{bn}满足:①b3= ,②bn>0,③ bn+12+bn+1bn﹣bn2=0. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设 cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 30.已知函数 f(x)=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2.记 g(x)为 f(x)的导函数. (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线垂直于直线 x+y+3=0,求 a 的值; (2)讨论 g(x)=0 的解的个数; (3)证明:对任意的 0<s<t<2,恒有 <1.

2017 年 03 月 30 日 anljy 的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 18 小题) 1. (2015?安康二模)设全集 U=R,集合 A={x|1og2x≤2},B={x|(x﹣3) (x+1) ≥0},则(?UB)∩A=( A. (﹣∞,﹣1] )

B. (﹣∞,﹣1]∪(0,3) C.[0,3) D. (0,3)

【分析】根据题意,先求出集合 A,B,进而求出 B 的补集,进而根据交集的定 义,可得答案. 【解答】解:∵集合 A={x|1og2x≤2}=(0,4], B={x|(x﹣3) (x+1)≥0}=(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) , ∴CUB=(﹣1,3) , ∴(CUB)∩A=(0,3) , 故选:D 【点评】本题考查集合混合运算,注意运算的顺序,其次要理解集合交、并、补 的含义. x<0,q:2x>1,则 p 是

2. (2016 秋?泉港区校级期中)设命题 p:﹣1<log q 成立的是( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【分析】分别求出关于 p,q 的不等式,求出 x 的范围,结合集合的包含关系以 及充分必要条件的定义判断即可. 【解答】解:由﹣1<log 得:1<x<2, 故 p:1<x<2; 由 2x>1,得:x>0, x<0,

故 q:x>0, 则 p 是 q 成立的充分必要条件, 故选:A. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查集合的包含关系,是一道基础题.

3. (2016?益阳校级二模) 某程序框图如图所示, 若该程序运行后输出的值是 则 a 的值为( )



A.13 B.12 C.11 D.10 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 S= 时,

根据题意,求得此时 k 的值,应该满足条件 k>a,退出循环,输出 S 的值,从而 得解. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 S=1,k=1 不满足条件 k>a,S=1+ =2 不满足条件 k>a,S=1+ + 不满足条件 k>a,S=1+ 不满足条件 k>a,S=1+ 不满足条件 k>a,S=1+ 不满足条件 k>a,S=1+ … ,k=2 =2 + + + + ,k=3 =2 + + + ,k=4 =2﹣ ,k=5 + + =2 + ,k=6 =2﹣ ,k=7

最后一次循环,不满足条件 k>a,S=2﹣ = 满足条件 k>a,退出循环,输出 S 的值为 可解得:x=12,即由题意可得 a 的值为 11. 故选:C.

,k=x+1 .

【点评】本题主要考查了循环结构,根据 S 的值正确判断退出循环的条件是解题 的关键,属于基础题.

4. (2016 秋?衡阳期末)在区间[﹣3,3]中随机取一个实数 k,则事件“直线 y=kx 与圆(x﹣2)2+y2=1 相交”发生的概率为( A. B. C. D. )

【分析】 利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交,可求出满足条件 的 k,最后根据几何概型的概率公式可求出所求. 【解答】解:圆(x﹣2)2+y2=1 的圆心为(2,0) ,半径为 1. 要使直线 y=kx 与圆(x﹣2)2+y2=1 相交, 则圆心到直线 y=kx 的距离 <1,解得﹣ <k< .

在区间[﹣3,3]中随机取一个实数 k,则事件“直线 y=kx 与圆(x﹣2)2+y2=1 相 交” 发生的概率为 故选 A. 【点评】本题主要考查了几何概型的概率,以及直线与圆相交的性质,解题的关 键弄清概率类型,同时考查了计算能力,属于基础题. = .

5. (2012?山东)已知双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)的离心率为 2,若

抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的涟近线的距离是 2,则抛物线 C2 的方程是( )

A.

B.x2=

y

C.x2=8y

D.x2=16y

【分析】利用双曲线的离心率推出 a,b 的关系,求出抛物线的焦点坐标,通过 点到直线的距离求出 p,即可得到抛物线的方程. 【解答】解:双曲线 C1: 的离心率为 2.

所以 抛物线

,即:

=4,所以

;双曲线的渐近线方程为:

的焦点(0, )到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,

所以 2=

,因为

,所以 p=8.

抛物线 C2 的方程为 x2=16y. 故选 D. 【点评】 本题考查抛物线的简单性质, 点到直线的距离公式, 双曲线的简单性质, 考查计算能力.

6. (2016 秋?衡阳期末) 在△ABC 中,三个内角 A、 B、 C 成等差数列,且 cosA= , 则 sinC=( A. ) B. C. D.

【分析】 直接由等差数列的性质结合三角形内角和定理得 B 的值, 利用同角三角 函数基本关系式可求 sinA,进而利用两角和的正弦函数公式可求 sinC 的值. 【解答】解:∵∠A、∠B、∠C 成等差数列, ∴∠A+∠C=2∠B, 又∠A+∠B+∠C=π, ∴3∠B=π,则∠B= . = , × + × = .

∵cosA= ,可得:sinA=

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

故选:B. 【点评】本题主要考查了等差数列的性质,考查了同角三角函数基本关系式,两 角和的正弦函数公式,三角形内角和定理,是基础题.

7. (2015?锦州二模)函数 f(x)=sin(2x+φ) (|φ< 单位后关于原点对称,求函数 f(x)在[0, A.﹣ B.﹣ C. D.

|)的图象向左平移 )



]上的最小值为(

【分析】由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的 对称性可得 +φ=kπ,k∈z,由此根据|φ|< 求得 φ 的值. )的图象向左平移 个单位后,

【解答】解:函数 f(x)=sin(2x+φ) (|φ|< 得到函数 y=sin[2(x+ )+φ]=sin(2x+

+φ)的图象,

再根据所得图象关于原点对称,可得 ∴φ=﹣ ,f(x)=sin(2x﹣ ],得 2x﹣ ,1] )在区间[0, ) , ∈[﹣

+φ=kπ,k∈z,

由题意 x∈[0, ∴sin(2x﹣



],

)∈[

∴函数 y=sin(2x﹣ 故选:A.

]的最小值为



【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象 的对称性, 考查了正弦函数最值的求法, 解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质, 能根据正弦函数的性质求最值,属于基础题.

8. (2016 秋?大武口区校级期末)如图所示,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1, AB,CC1 的中点分别为 E,F,G,则 EF 与 A1G 所成的角为( )

A.30° B.45° C.60° D.90° 【分析】以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标 系,利用向量法能求出 EF 与 A1G 所成的角. 【解答】解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角 坐标系, 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中棱长为 2, 则 E(2,0,1) ,F(2,1,0) ,A1(2,0,2) ,G(0,2,1) , =(0,1,﹣1) , =(﹣2,2,﹣1) ,

设 EF 与 A1G 所成的角为 θ, 则 cosθ= ∴θ=45°. ∴EF 与 A1G 所成的角为 45°. 故选:B. = = ,

【点评】本题考查线线角的余弦值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意 向量法的合理运用.

9. (2015?聊城二模)已知 M 是△ABC 内的一点,且

=2

,∠BAC=30°,

若△MBC,△MCA 和△MAB 的面积分别为 ,x,y,则 + 的最小值是( A.20 B.18 C.16 D.9



【分析】 利用向量的数量积的运算求得 bc 的值, 利用三角形的面积公式求得 x+y 的值,进而把 + 转化成 2( + )×(x+y) ,利用基本不等式求得 + 的最小 值. 【解答】解:由已知得 =bccos∠BAC=2 ? bc=4,

故 S△ABC=x+y+ = bcsinA=1? x+y= , 而 + =2( + )×(x+y) =2(5+ + 故选 B. 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用,向量的数量积的运 算.要注意灵活利用 y=ax+ 的形式. )≥2(5+2 )=18,

10. (2016?金凤区校级二模)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边, cosA= ,b=2,面积 S=3,则 a 为( A. B. C. D. )

【分析】由同角三角函数基本关系可得 sinA,再由面积公式可得 c 值,由余弦定 理可得. 【解答】解:在△ABC 中 cosA= ,∴sinA= ∵b=2,面积 S=3,∴S= bcsinA, ∴3= ×2c× ,解得 c=5, ∴由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bccosA, =b2+c2﹣2bccosA=13,即 a= 故选:B. 【点评】本题考查正余弦定理解三角形,涉及三角形的面积公式,属基础题. . = ,

11. (2016 秋?大武口区校级期末) 《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著,其 中有这样一段表述:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”,其 意大致为:有一七层宝塔,每层悬挂的红灯数为上一层的两倍,共有 381 盏灯, 则塔从上至下的第三层有( A.14 B.12 C.8 D.10 )盏灯.

【分析】设第一层有 a 盏灯,则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以 a1 为首项,以 为公比的等比数列,由此能求出结果. 【解答】解:设第一层有 a 盏灯, 则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以 a1 为首项, 以 为公比的等比 数列,



=381,

解得 a1=192, ∴a5=a1×( )4=192× 故选:B. 【点评】本题考查顶层有几盏灯的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等 比数列的性质的合理运用. =12,

12. (2015?兰州二模) 等差数列{an}中, a4+a10+a16=30, 则 a18﹣2a14 的值为 ( A.﹣20 B.﹣10 C.10 D.20



【分析】由已知中等差数列{an}中,a4+a10+a16=30,等差数列的性质,我们可以 求出 a10 的值,根据等差数列的通项公式,我们即可求出 a18﹣2a14 的值. 【解答】解:∵a4+a10+a16=30, ∴3a10=30, ∴a10=10, 又∵a18﹣2a14=4d﹣a14=﹣a10=﹣10 故选 B 【点评】 本题考查的知识点是等差数列的性质,其中根据已知条件和等差数列的

性质,求出 a10 的值,是解答本题的关键.

13. (2016 秋?黄山期末)等比数列中{an},a1,a5 为方程 x2﹣10x+16=0 的两根, 则 a 3= ( A.4 B.5 ) C.±4 D.±5

【分析】由题意和韦达定理得:a1+a5=10,a1a5=16,判断出 a1,a5 为正数,由等 比数列的性质和项的符号求出 a3 的值. 【解答】解:∵a1,a5 为方程 x2﹣10x+16=0 的两根, ∴a1+a5=10,a1a5=16,则 a1,a5 为正数, 在等比数列中{an}中,a32=a1a5=16,则 a3=±4, ∵a1,a5 为正数,∴a3=4, 故选:A. 【点评】本题考查等比数列的性质和项的符号,以及韦达定理的应用,属于基础 题.

14. (2016 秋?黄山期末)已知椭圆

的一个焦点与抛物线

的焦点重合,长轴长等于圆 x2+y2﹣2x﹣15=0 的半径,则椭圆 C 的方程 为( A. ) B.

C.

D.

【分析】求出抛物线的焦点坐标,圆的半径,然后求解椭圆的 a,b,即可得到 椭圆方程. 【解答】解:椭圆 重合,可得 c= , 的一个焦点与抛物线 的焦点

长轴长等于圆 x2+y2﹣2x﹣15=0 的半径,a=2,则 b=1,

所求椭圆方程为: 故选:C.



【点评】 本题考查椭圆的简单性质, 椭圆方程的求法, 抛物线的简单性质的应用, 考查计算能力.

15. (2015?兰州二模)如图所示的程序框图输出的结果是 S=720,则判断框内应 填的条件是( )

A.i≤7 B.i>7 C.i≤9 D.i>9 【分析】根据程序输出的结果,得到满足条件的 i 的取值,即可得到结论. 【解答】解:第一次运行,i=10,满足条件,S=10×1=10,i=9 第二次运行,i=9,满足条件,S=10×9=90,i=8, 第三次运行,i=8,满足条件,S=90×8=720,i=7, 此时不满足条件,输出 S=720, 故条件应为,8,9,10 满足,i=7 不满足, 故条件为:i>7, 故选:B. 【点评】 本题主要考查程序框图的识别和判断, 根据运行条件是解决本题的关键.

16. (2013?济南一模)已知函数 f(x)=2sin(ωx﹣

) (ω>0)的最小正周期

为 π,则 f(x)的单调递增区间( A.[kπ+ C.[kπ﹣ ,kπ+ ,kπ+

) ,2kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) ](k∈Z) ) ,令 2kπ﹣

](k∈Z] B.[2kπ﹣ ](k∈Z) D.[kπ﹣

【分析】由函数的周期求得 ω=2,可得函数 f(x)=2sin(2x﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+

,k∈z,求得 x 的范围,即可得到 f(x)的单调递增区间. ) (ω>0) 的最小正周期为 π, ∴ =π,

【解答】 解: ∵函数 f (x) =2sin (ωx﹣ 解得 ω=2. 故函数 f(x)=2sin(2x﹣ 令 2kπ﹣ ≤2x﹣ ) .

≤2kπ+

,k∈z,求得 kπ﹣ ,kπ+ ](k∈Z) ,

≤x≤kπ+

,k∈z,

故函数的单调递增区间是[kπ﹣ 故选 D.

【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)周期性和单调性,属于中档题.

17. (2016 秋?滨州期末)圆心在直线 截 x 轴所得的弦长为

上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C )

,则圆 C 的标准方程为( B. (x+3)2+(y+1)2=9 D. (x﹣6)2+(y﹣2)2=9

A. (x﹣3)2+(y﹣1)2=9 C. 【分析】由圆心在直线

上,设出圆心坐标,再根据圆与 y 轴相切,得到圆

心到 y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径,表示出半径 r,由弦长的 一半,圆的半径 r 及表示出的 d 利用勾股定理列出关于 t 的方程,求出方程的解 得到 t 的值,从而得到圆心坐标和半径,根据圆心和半径写出圆的方程即可. 【解答】解:设圆心为(3t,t) ,半径为 r=|3t|, ∵圆 C 截 x 轴所得弦的长为 ∴t2+8=9t2, ∴t=±1, ∵圆 C 与 y 轴的正半轴相切, ,

∴t=﹣1 不符合题意,舍去, 故 t=1,3t=3, ∴(x﹣3)2+(y﹣1)2=9. 故选 A. 【点评】此题综合考查了垂径定理,勾股定理及点到直线的距离公式.根据题意 设出圆心坐标,找出圆的半径是解本题的关键.

18. (2016 秋?贵阳期末)三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点都在体积为

的球的表 )

面上,底面 ABC 所在的小圆面积为 16π,则该三棱锥的高的最大值为( A.4 B.6 C.8 D.10

【分析】由球的体积为

,可以得球的半径;由小圆面积为 16π,可以得小

圆的半径;由图知三棱锥高的最大值应过球心,故可以作出解答. 【解答】解:如图,设球的半径为 R,由球的体积公式得: πR3= 又设小圆半径为 r,则 πr2=16π,∴r=4. 显然,当三棱锥的高过球心 O 时,取得最大值; 由 OO1= 故选:C. =3,所以高 PO1=PO+OO1=5+3=8. ,∴R=5.

【点评】本题考查了由球的体积求半径,由圆的面积求半径,以及勾股定理的应 用,是基础题.

二.填空题(共 7 小题)

19 . ( 2016 秋? 贵阳期末)过抛物线 y2=4x 的焦点且倾斜角为 60°的直线被圆 截得的弦长是 .

【分析】由抛物线的焦点坐标求出直线方程,再求出圆的圆心的半径,利用点到 直线的距离公式求出圆心到直线的距离,由此能求出弦长. 【解答】解:∵抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0) , ∴过抛物线 y2=4x 的焦点且倾斜角为 60°的直线方程为: y=tan60°(x﹣1) ,即 ∵圆 ∴圆心(2,﹣2 d= ∴弦长 L=2 故答案为: . =2 , 的圆心(2,﹣2 )到直线 = , . ) ,半径 r=4, 的距离:

=

【点评】 本题考查直线与圆相交的弦长的求法, 是中档题, 解题时要注意抛物线、 圆、直线方程、点到直线距离公式等知识点的灵活运用.

20. (2016 秋?高台县校级期末)已知 x,y 满足约束条件
2

,求 z=(x+1)

+(y﹣1)2 的最小值是



【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义以及距离公式进行求 解即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: z 的几何意义为区域内的点到定点 D(﹣1,1)的距离的平方, 由图象知,D 到直线 AB:x﹣y+1=0 的距离最小, 此时 d= 则 z=d2=( = ,

)2= ,

故答案为: .

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.

21. (2016?和平区四模)一个几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何 体的体积为 16 cm3.

【分析】由三视图可知:该几何体为四棱锥,底面为直角梯形,其中左侧面、后 侧面与底面垂直.利用体积计算公式即可得出. 【解答】解:由三视图可知:该几何体为四棱锥,底面为直角梯形,其中左侧面、 后侧面与底面垂直. ∴该几何体的体积= 故答案为:16. 【点评】本题考查了三视图的有关计算、四棱锥体积计算公式,考查了推理能力 与计算能力,属于基础题. =16cm2.

22. (2016?武清区三模) 在△ABC 中, ∠BAC=90°, AB=1, AC=2, = DE 的延长线交 CA 的延长线于点 F,则 ? 的值为 .

, =



【分析】由题意建立如图所示的平面直角坐标系,结合已知求出 D、F 的坐标, 进一步求得 、 的坐标,则答案可求.

【解答】解:如图, 分别以 AC、AB 所在直线为 x、y 轴建立平面直角坐标系, 则 A(0,0) ,C(2,0) ,B(0,1) , ∵ = ,

∴E(0, ) , 又 = ,得 D( ) , , ,即 m= , ? = . . . ,

设 F(m,0) ,则 由 ∴ 则 ,得

故答案为:

【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了数量积的坐标表示,建立平面 直角坐标系简化了该题解题过程,是中档题.

23. (2014?开封一模) 椭圆

的焦点为 F1, F 2, 点 P 在椭圆上, 若|PF1|=4,

∠F1PF2 的大小为

120° .

【分析】由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,易得|PF2|,再利用余弦定理,即可求得 结论. 【解答】解:∵|PF1|+|PF2|=2a=6,|PF1|=4, ∴|PF2|=6﹣|PF1|=2. 在△F1PF2 中,cos∠F1PF2= ∴∠F1PF2=120°. 故答案为:120° 【点评】 本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题, 考查余弦定理的运用, 考查学生的计算能力,属于基础题. =﹣ ,

24. (2016 秋?贵阳期末)某高校有正教授 120 人,副教授 100 人,讲师 80 人, 助教 60 人,现用分层抽样的方法从以上所有老师中抽取一个容量为 n 的样本, 已知从讲师中抽取人数为 16 人,那么 n= 72 .

【分析】 先求出每个个体被抽到的概率,用总体数量乘以每个个体被抽到的概率 就等于容量 n 的值. 【解答】解:每个个体被抽到的概率为 故答案为 72 【点评】 本题考查分层抽样的定义和方法,用每层的个体数乘以每个个体被抽到 的概率等于该层应抽取的个体数. = ,则 n=(120+100+80+60)× =72,

25. (2016 秋?滨州期末)在区间 “ ”发生的概率为 .

上随机地取一个数 x,则事件

【分析】根据几何概型的概率公式进行求解即可. 【解答】解:在区间 ≤x≤ , 上随机地取一个数 x,事件“ ”,得

则事件“

”发生的概率为 P=

= ,

故答案为 . 【点评】 本题主要考查几何概型的概率的计算,根据三角函数的性质进行求解以 及几何概型的概率公式是解决本题的关键.

三.解答题(共 5 小题) 26. (2016 秋?大武口区校级期末)国家实行二孩生育政策后,为研究家庭经济 状况对生二胎的影响, 某机构在本地区符合二孩生育政策的家庭中,随机抽样进 行了调查,得到如下的列联表: 经济状况 好 愿意生二胎 不愿意生二 胎 合计 70 140 210 50 20 经济状况一 般 50 90 100 110 合计

(1)请完成上面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 1%的前提下认为 家庭经济状况与生育二胎有关? (2)若采用分层抽样的方法从愿意生二胎的家庭中随机抽取 4 个家庭,则经济 状况好和经济状况一般的家庭分别应抽取多少个? (3)在(2)的条件下,从中随机抽取 2 个家庭,求 2 个家庭都是经济状况好的 概率. 附: P(K2≥k0) k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

【分析】 (1)计算 K2<3.841,可得结论. (2)经济状况好和经济状况一般的家庭比例相同,可得结论; (3)求出基本事件的个数,即可求出概率.

【解答】解: (1)2×2 列联表: 经济状况 好 愿意生二胎 50 经济状况一 般 50 合 计 10 0 不愿意生二 胎 合计 70 140 20 90 11 0 21 0 K2= ≈0.2386<3.841,

故不能在犯错误的概率不超过 1%的前提下认为家庭经济状况与生育二胎有关; (2)采用分层抽样的方法从愿意生二胎的家庭中随机抽取 4 个家庭,则经济状 况好和经济状况一般的家庭分别应抽取 2 个; (3)在(2)的条件下,从中随机抽取 2 个家庭,2 个家庭都是经济状况好的概 率是 = .

【点评】本题主要考查独立性的检验,考查概率的计算,属于基础题.

27. (2015?会宁县校级模拟)已知函数 f(x)=x(a+lnx)有极小值﹣e﹣2. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若 k∈Z,且 对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值.

【分析】 (Ⅰ)求函数的定义域,利用极小值﹣e﹣2,求实数 a 的值; (Ⅱ)利用导数求函数的最值即可. 【解答】解: (Ⅰ)因为函数的定义域为(0,+∞) , 函数的导数为 f′(x)=1+a+lnx,由 f′(x)=1+a+lnx=0, 解得 x=e﹣1﹣a,即当 x=e﹣1﹣a,时,函数取得极小值﹣e﹣2. 即 f(e﹣1﹣a)=e﹣1﹣a(a﹣1﹣a)=﹣e﹣1﹣a=﹣e﹣2, 所以解的 a=1,即实数 a 的值为 1.

(Ⅱ)当 a=1 时,f(x)=x(1+lnx) ,所以设 则 .



令 h(x)=x﹣2﹣lnx,x>1. 因为 ,所以函数 h(x)在(1,+∞)上单调递增,

又 h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣ln4=2﹣2ln2>0, 所以 h(x)在(1,+∞)上存在唯一的一个实数根 x0,满足 x0∈(3,4) ,且 h (x0)=0. ,即 x0﹣2﹣ln? x0=0,所以 lnx0=x0﹣2. 当 x∈(1,x0)时,h(x)<0,此时 g′(x)<0, 当 x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,此时 g′(x)>0. 所以 递增, 所以. 所以要使 = ∈(3,4) . 在 x∈(1,x0)时,单调递减,在 x∈(x0,+∞)上单调

对任意 x>1 恒成立,则 k<g(x)min?=x0∈(3,4) ,

因为 k∈Z,所以要 k≤3,即 k 的最大值为 3. 【点评】 本题主要考查了函数的极值和导数之间的关系,以及根的存在性定理的 应用,综合性较强,运算量较大.

28. (2016 秋?高台县校级期末)△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别是 a、b、c, 且 cosA= . (1)求 sin2 (2)若 a= +cos2A 的值; ,求△ABC 面积的最大值.

【分析】 (1)利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简,代入即可得到所求 值; (2)运用余弦定理和面积公式,结合基本不等式,即可得到最大值. 【解答】解: (1)sin2 +cos2A=sin2 +2cos2A﹣1

=cos2 +2cos2A﹣1=

+2cos2A﹣1

=

+2× ﹣1=﹣ ; = ,

(2)cosA= ,可得 sinA=

由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣ bc ≥2bc﹣﹣ bc= bc, 即有 bc≤ a2= ,当且仅当 b=c= ,取得等号. 则△ABC 面积为 bcsinA≤ × × = . .

即有 b=c= 时,△ABC 的面积取得最大值

【点评】本题考查三角函数的化简和求值,注意运用诱导公式和二倍角公式,考 查三角形的余弦定理和面积公式,以及基本不等式的运用,属于中档题.

29. (2016 秋?衡阳期末)数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=n2,数列{bn}满足: ①b3= ,②bn>0,③bn+12+bn+1bn﹣bn2=0. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设 cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【分析】 (1)数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=n2,可得 n=1 时,a1=S1=1;n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1.数列{bn}满足:①b3= ,②bn>0,③bn+12+bn+1bn﹣bn2=0.变形 + ﹣1=0,解得 = .利用等比数列的通项公式即可得出. ,令 q= .cn= .利

(2)cn=anbn=(2n﹣1)×

用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出. 【解答】解: (1)∵数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=n2,∴n=1 时,a1=S1=1;n ≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣(n﹣1)2=2n﹣1. n=1 时也成立,∴an=2n﹣1. ∵数列{bn}满足:①b3= ,②bn>0,③bn+12+bn+1bn﹣bn2=0.



+

﹣1=0,解得

=

. . ,令 q= .

∴数列{bn}是等比数列,bn= (2)cn=anbn=(2n﹣1)× cn= .

数列{cn}的前 n 项和 Tn= [q﹣2+3?q﹣1+5+…+(2n﹣1)?qn﹣3]. qTn= [q﹣1+3+5q+…+(2n﹣3)?qn﹣3+(2n﹣1)qn﹣2], ∴ ( 1 ﹣ q ) Tn= [q


2

+2 ( q



1

+1+q+…+qn



3

) ﹣ ( 2n ﹣ 1 ) qn



2

]= + ﹣

, .其中 q= .

∴Tn=

【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列递推 关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

30. (2016 秋?衡阳期末)已知函数 f(x)=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2.记 g(x)为 f(x) 的导函数. (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线垂直于直线 x+y+3=0,求 a 的值; (2)讨论 g(x)=0 的解的个数; (3)证明:对任意的 0<s<t<2,恒有 <1.

【分析】 (1)求出 f(x)的导数,可得切线的斜率,由两直线垂直的条件:斜率 之积为﹣1,解方程可得 a; (2)由题意可得 a=x﹣1﹣lnx,x>0,设 h(x)=x﹣1﹣lnx,求出导数,单调区 间和极值、最值,讨论 a 的范围,即可得到解的个数; (3)由题意可得即有 <0,即证 g(x)﹣x 在(0,2)为减函

数.可令 k(x)=g(x)﹣x=﹣2(1+lnx)+x﹣2a,0<x<2,求出导数,判断单 调性即可得证.

【解答】解: (1)函数 f(x)=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2 的导数为 f′(x)=﹣2(1+lnx)+2x﹣2a, 可得曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线斜率为﹣2+2﹣2a=﹣2a, 切线垂直于直线 x+y+3=0,可得﹣2a=1,解得 a=﹣ ; (2)g(x)=f′(x)=﹣2(1+lnx)+2x﹣2a=0, 即为 a=x﹣1﹣lnx,x>0, 设 h(x)=x﹣1﹣lnx,h′(x)=1﹣ = 当 x>1 时,h′(x)>0,h(x)递增; 当 0<x<1 时,h′(x)<0,h(x)递减. 可得 h(x)在 x=1 处取得极小值,也为最小值 0, 则当 a=0 时,g(x)=0 有一解; 当 a<0 时,g(x)=0 无解; 当 a>0 时,g(x)=0 有两解; (3)证明:对任意的 0<s<t<2,恒有 即有 <0, <1, ,

即证 g(x)﹣x 在(0,2)为减函数. 可令 k(x)=g(x)﹣x=﹣2(1+lnx)+x﹣2a,0<x<2, k′(x)=﹣2? +1= ,

由 0<x<2 可得 k′(x)<0, 可得 k(x)=g(x)﹣x 在(0,2)递减, 故对任意的 0<s<t<2,恒有 <1 .

【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值和最值,考查分 类讨论思想方法和构造法的运用,同时考查化简整理的运算能力,属于中档题,


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