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2018版高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理课件新人教A版选修2_2_图文

【课标要求】 1.理解演绎推理的意义. 2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推 理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.

自主学习 基础认识
|新知预习|
1.演绎推理 (1)含义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结 论,这种推理称为演绎推理. (2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理.

2.三段论

一般模式

大前提

已知的一般原理

小前提

所研究的特殊情况

结论 根据一般原理,对特殊情况做出的判断

常用格式 M是P S是M S是P

|自我尝试|
1.判断下列命题(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“三段论”就是演绎推理.( × ) (2)演绎推理的结论一定是正确的.( × ) (3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.( × )

2.下列几种推理过程是演绎推理的是( ) A.某校高三(1)班有 55 人,(2)班有 54 人,(3)班有 52 人, 由此得高三所有班的人数均超过 50 人 B.两条直线平行,同旁内角互补,若∠A 与∠B 是两条平 行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180° C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
D.在数列{an}中,a1=1,an=12(an-1+an+1)(n≥2),由此归 纳出{an}的通项公式

解析:A、D 为归纳推理,C 为类比推理,B 为演绎推理. 答案:B

3.“因为四边形 ABCD 是矩形,所以四边形 ABCD 的对角 线相等”,该推理的大前提是( )
A.矩形都是四边形 B.四边形的对角线都相等 C.矩形都是对角线相等的四边形 D.对角线都相等的四边形是矩形
解析:该推理是省略大前提的演绎推理,因为相关的内容是 “矩形”“对角线相等”,所以易得该推理的大前提是矩形的对 角线相等.
答案:C

4.在△ABC 中,E,F 分别为 AB,AC 的中点,则有 EF∥BC, 这个推理的小前提为( )
A.EF∥BC B.三角形的中位线平行于第三边 C.三角形的中位线等于第三边的一半 D.线段 EF 为△ABC 的中位线
解析:大前提是:三角形的中位线平行于第三边,小前提是 线段 EF 为△ABC 的中位线.
答案:D

5.用三段论证明命题:“任何实数的平方大于 0, 因为 a 是实数,所以 a2>0”,你认为这个推理的错误是________.
解析:这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于 0”,小前提是“a 是实数”,结论是“a2>0”.显然这是个错 误的推理,究其原因,是大前提错误,尽管推理形式是正确的, 但是结论是错误的.
答案:大前提

课堂探究 互动讲练 类型一 用三段论的形式表示演绎推理 [例 1] 将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)等腰三角形的两底角相等,∠A,∠B 是等腰三角形的底 角,则∠A=∠B. (2)通项公式为 an=2n+3 的数列{an}为等差数列.

【解析】 (1)等腰三角形的两底角相等,(大前提) ∠A,∠B 是等腰三角形的底角,(小前提) ∠A=∠B.(结论) (2)数列{an}中,如果当 n≥2 时,an-an-1 为常数,则{an} 为等差数列,(大前提) 通项公式为 an=2n+3 时,若 n≥2,则 an-an-1=2n+3- [2(n-1)+3]=2(常数),(小前提) 通项公式为 an=2n+3 的数列{an}为等差数列.(结论)

方法归纳 将演绎推理写成三段论的方法 (1)用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提. (2)用三段论写推理过程中,有时可省略小前提,有时甚至 也可将大前提与小前提都省略. (3)在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件作为 大前提.

跟踪训练 1 把下列推理写成三段论的形式: (1)因为△ABC 三边的长依次为 3,4,5,所以△ABC 是直角三 角形; (2)函数 y=2x+5 的图象是一条直线.

解析:(1)一条边长的平方等于其他两条边长的平方和的三 角形是直角三角形,大前提
△ABC 三边的长依次为 3,4,5,且 32+42=52,小前提 所以△ABC 是直角三角形.结论 (2)一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,大前提 函数 y=2x+5 是一次函数,小前提 所以函数 y=2x+5 的图象是一条直线.结论

类型二 三段论推理的错因

[例 2] 有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则

平行于平面内所有直线;已知直线 b 在平面 α 外,直线 a 在平面

α 内,直线 b∥平面 α,则直线 b∥直线 a”的结论显然是错误的,

这是因为( )

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误

【解析】 直线平行平面 α,则该直线与平面内的直线平行 或异面,故大前提错误.
【答案】 A

方法归纳 认清三段论的形式
解本题的关键是掌握好三段论推理的形式,然后仔细审查究 竟是大前提错误、小前提错误还是推理形式错误,因为这三者中 的任何一方错误都会导致整个三段论推理的结论错误.

跟踪训练 2 (1)有下面一个演绎推理:“所有 4 的倍数都 是 2 的倍数,某偶数是 4 的倍数,所以它是 2 的倍数”.关于这 个推理,下面说法正确的一项是( )
A.推理是正确的 B.推理是错误的,因为大前提错误 C.推理是错误的,因为小前提错误 D.推理是错误的,因为结论错误 (2)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x) =sin(x2+1)是奇函数.以上推理( ) A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确
答案:(1)A (2)C

类型三 演绎推理在几何中的应用 [例 3] 如图,已知空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB, AD 的中点,求证 EF∥平面 BCD.

方法归纳 三段论在几何问题中的应用 (1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式,我们以前学 过的平面几何与立体几何的证明,都不自觉地运用了这种推理, 只不过在利用该推理时,往往省略了大前提. (2)几何证明问题中,每一步都包含着一般性原理,都可以 分析出大前提和小前提,将一般性原理应用于特殊情况,就能得 出相应结论. 特别提醒:在利用三段论证明问题时,大前提可以省略,但 其他的不能省略.

跟踪训练 3 如图,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 上的点, ∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:ED=AF,写出三段论形式的演 绎推理.

证明:因为同位角相等,两条直线平行,大前提 ∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD=∠A,小前提 所以 FD∥AE.结论 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,大前提 DE∥BA,且 FD∥AE,小前提 所以四边形 AFDE 为平行四边形.结论 因为平行四边形的对边相等,大前提 ED 和 AF 为平行四边形 AFDE 的对边,小前提 所以 ED=AF.结论

|素养提升|
1.演绎推理的特点 (1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是 蕴涵于前提之中的个别的、特殊的事实. (2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要 前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论必定是正确的.因 而,演绎推理是数学中用于严格证明的工具. (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它创造性较少,但 却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和 系统化.

2.演绎推理与合情推理之间的区别与联系

合情推理

演绎推理

思维 区 方法

归纳、类比

三段论

别 推理 由部分到整体、由个别到一般的推理 由一般到特

形式

或由特殊到特殊的推理

殊的推理



结 论

结论不一定正确,有待进一 步证明

在两个前提和推理形式都 正确的情况下,得到的结
论一定正确



作 用

具有猜测和发现结论、探索 和提供思路的作用,利于创
新意识的培养

按照严格的逻辑法则推 理,可培养和提高逻辑证
明的能力

就数学而言,演绎推理可以验证合情推理的结论是否正

确,是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程,

联系 但数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理,合

情推理可以为演绎推理提供方向和思路.因此,我们不

仅要学会证明,还要学会猜想

|巩固提升|

1.“所有 9 的倍数都是 3 的倍数,某奇数是 9 的倍数,故

该奇数是 3 的倍数.”上述推理( )

A.小前提错

B.结论错

C.正确

D.大前提错

解析:在上述推理中,大前提、小前提都是正确的,推理的 形式也符合三段论模式,因此结论也是正确的,这个推理是正确 的.
答案:C

2.“π 是无限不循环小数,所以 π 是无理数”,以上推理 的大前提是( )
A.实数分为有理数和无理数 B.π 不是有理数 C.无理数都是无限不循环小数 D.有理数都是有限循环小数
解析:用三段论推导一个结论成立,大前提应该是结论成立 的依据.因为无理数都是无限不循环小数,π 是无限不循环小数, 所以 π 是无理数.故大前提是无理数都是无限不循环小数.
答案:C

3.函数 y=2x+5 的图象是一条直线,用三段论表示为: 大前提:__________________. 小前提:_________________. 结论:_________________.
解析:本题忽略了大前提和小前提.大前提为:一次函数的 图象是一条直线.小前提为:函数 y=2x+5 为一次函数.结论 为:函数 y=2x+5 的图象是一条直线.
答案:①一次函数的图象是一条直线 ②y=2x+5 是一次 函数 ③函数 y=2x+5 的图象是一条直线

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