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立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量:在直线上任取一非零向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面 α 的法向
?n· a=0, ? 量,则求法向量的方程组为? ?n· b=0. ?

2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)?v1∥v2. (2)设直线 l 的方向向量为 v,与平面 α 共面的两个不共线向量 v1 和 v2,则 l∥α 或 l?α?存 在两个实数 x,y,使 v=xv1+yv2. (3)设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l∥α 或 l?α?v⊥u. (4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1,u2,则 α∥β?u1∥u2. 3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1⊥l2?v1⊥v2?v1· v2=0. (2)设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l⊥α?v∥u. (3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2,则 α⊥β?u1⊥u2?u1· u2=0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( ) ) ) ) ) )

(3)若两平面的法向量平行,则两平面平行.(

(4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( (5)若 a∥b,则 a 所在直线与 b 所在直线平行.(

(6)若空间向量 a 平行于平面 α,则 a 所在直线与平面 α 平行.(

1.下列各组向量中不平行的是(

)

A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4) B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0) C.e=(2,3,0),f=(0,0,0) D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40) 2. 已知平面 α 内有一点 M(1, -1,2), 平面 α 的一个法向量为 n=(6, -3,6), 则下列点 P 中, 在平面 α 内的是( A.P(2,3,3) C.P(-4,4,0) ) B.P(-2,0,1) D.P(3,-3,4)

→ → → → → 3.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且 BP⊥平面 ABC, 则实数 x,y,z 分别为______________. 19 5 5 4.若 A(0,2, ),B(1,-1, ),C(-2,1, )是平面 α 内的三点,设平面 α 的法向量 n=(x, 8 8 8 y,z),则 x∶y∶z=________.

题型一 证明平行问题 例 1 (2013· 浙江改编)如图, 在四面体 A-BCD 中, AD⊥平面 BCD, BC⊥CD, AD=2, BD=2 2, M 是 AD 的中点, P 是 BM 的中点, 点 Q 在线段 AC 上, 且 AQ=3QC. 证明:PQ∥平面 BCD.

如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,M,N 分别是棱 AB, AD,A1B1,A1D1 的中点,点 P,Q 分别在棱 DD1,BB1 上移动,且 DP=BQ=λ(0<λ<2). (1)当 λ=1 时,证明:直线 BC1∥平面 EFPQ;

(2)是否存在 λ, 使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在, 求出 λ 的值; 若不存在,说明理由.

题型二 证明垂直问题 例 2 如图所示,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱

柱)ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2, D 为 CC1 的中点. 求证: AB1⊥

平面 A1BD.

如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,PC= 2, 在四边形 ABCD 中, ∠B=∠C=90° , AB=4, CD=1, 点 M 在 PB 上,

PB=4PM,PB 与平面 ABCD 成 30° 角. (1)求证:CM∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PAD.

题型三 解决探索性问题 例3 如图,棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的所有棱长都等于 2,∠ABC 和∠A1AC 均为 60° ,平面

AA1C1C⊥平面 ABCD.

(1)求证:BD⊥AA1; (2)求二面角 D-A1A-C 的余弦值; (3)在直线 CC1 上是否存在点 P,使 BP∥平面 DA1C1,若存在,求出点 P 的位置,若不存在, 请说明理由.

如图所示,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长 都是底面边长的 2倍,P 为侧棱 SD 上的点. (1)求证:AC⊥SD.

(2)若 SD⊥平面 PAC,则侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC.若存在,求 SE∶EC 的值;若不存在,试说明理由.

利用向量法解决立体几何问题 典例:如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点.

(1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设二面角 D-AE-C 为 60° ,AP=1,AD= 3,求三棱锥 E-ACD 的体积.

错误!

A 组 专项基础训练 1.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的法向量为 n=(-2,0,-4),则( A.l∥α B.l⊥α )

C.l?α

D.l 与 α 相交 )

→ → → 2.若AB=λCD+μCE,则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是( A.相交 C.在平面内 B.平行 D.平行或在平面内

3.已知 A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则平行四边形 ABCD 的顶点 D 的坐标是( A.(2,4,-1) C.(-3,1,5) B.(2,3,1) D.(5,13,-3)

)

4.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若 a,b,c 三向量共面,则实数 λ 等 于( ) 60 65 C. D. 7 7

62 63 A. B. 7 7

5.如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,AA1= 3,AD=2 2, P 为 C1D1 的中点,M 为 BC 的中点.则 AM 与 PM 所成的角为( A.60° C.90° B.45° D.以上都不正确 )

6.已知平面 α 内的三点 A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面 β 的一个法向量 n=(-1,-1, -1),则不重合的两个平面 α 与 β 的位置关系是________. 7.设点 C(2a+1,a+1,2)在点 P(2,0,0)、A(1,-3,2)、B(8,-1,4)确定的平 面上,则 a=________. 8.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN= 2a ,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是________. 3

1 9.如图, 四边形 ABCD 为正方形, PD⊥平面 ABCD,PD∥QA, QA=AB= PD. 2 证明:平面 PQC⊥平面 DCQ.

10.如图,在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,E,F 分别是 PC,PD 的 中点,PA=AB=1,BC=2. (1)求证:EF∥平面 PAB;

(2)求证:平面 PAD⊥平面 PDC.

B 组 专项能力提升 11.如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直,AB= 2,AF =1,M 在 EF 上,且 AM∥平面 BDE,则 M 点的坐标为( A.(1,1,1) B.( C.( D.( 2 2 , ,1) 3 3 2 2 , ,1) 2 2 2 2 , ,1) 4 4 ) )

12.设 u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分别是平面 α,β 的法向量,若 α⊥β,则 t 等于( A.3 B.4 C.5 D.6 13. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, P 为正方形 A1B1C1D1 四边上的动点, O 为底面正方形 ABCD 的中心,M,N 分别为 AB,BC 的中点,点 Q 为 → → 平面 ABCD 内一点, 线段 D1Q 与 OP 互相平分, 则满足MQ=λMN的实数 λ 有________个.

14.如图所示,已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,△ABC 为等腰直角三角 形, ∠BAC=90° , 且 AB=AA1, D、 E、 F 分别为 B1A、 C1C、 BC 的中点. 求

证: (1)DE∥平面 ABC; (2)B1F⊥平面 AEF.

15.在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E、F 分别 是 AB、PB 的中点.

(1)求证:EF⊥CD; (2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论.