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《任意角的三角函数》教学设计

《任意角的三角函数》教学设计 一、内容与内容解析 三角函数是函数的一个特例,是函数概念的下位概念,与指数函数、对数函 数具有相同的地位, 但是在具体的定义方式上又有所不同,应该按照概念的体系 将之纳入到原有的认知结构中,揭示彼此之间的关系,认识新概念的本质属性。 因此本课时的教学重点是: 通过概念的同化与精致过程,帮助学生理解任意角三角函数(正弦、余弦、 正切)的定义,并在这个过程中突出单位圆的作用。 二、目标和目标解析 1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。(能 根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值, 能根据定义探究出 三角函数值在各个象限的符号。) 2.在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。(根据角的终边与单位圆的 交点的坐标写出角的各三角函数值,及各三角函数的定义域,利用单位圆的几何 特征写出正弦、余弦的值域。) 3.在概念同化和精致的过程中发展学生研究问题的能力。(知道概念所在 的体系,知道任意角的三角函数与锐角三角函数、函数、指、对数函数等之间的 关系,利用单位圆的几何特征研究三角函数的方法。) 三、教学问题诊断分析 在 概念教学过程中要注意学生已有知识经验的作用,发挥其正迁移,防止 其负迁移。 本课时研究的是任意角的三角函数,学生在初中阶段曾经研究过锐角 三角函数,其 研究范围是锐角;其研究方法是几何的,没有坐标系的参与;其 研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的,因此在教学过 程中要发展学生的已 有认知经验,发挥其正迁移。具体而言要做到:明确研究 范围的变化, 开阔学生的视野, 并揭示由此带来的新问题, 激发学生的学习兴趣; 借助单位圆在坐标系中进 行研究,要先将锐角的三角函数问题置于坐标系中, 帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数, 这样做激活了学生的已 有知识经验,并且用新的视角认 识已有知识经验,复习了旧知识,同时为新的 研究内容做好铺垫;第三,由于研究范围的改变,更加突出了任意角的三角函数 是为研究客观世界中大量存在的周期性 现象服务的。这些都是在本课时的学习 之后应该取得的认知方面的进步。 认 识一个函数,关键是认识函数的三要素。在学生学习过的函数中,一次、 二次、 反比例或者用图、 表表示的对应法则的函数, 其三要素是比较容易找到的, 指、对函 数的学习就需要一定的基础,同样在任意角的三角函数学习过程中也 可能在自变量和对应法则上出现问题,应该注意明确任意角的三角函数的三要 素,比如正弦函数 y=sinα 中自变量是角α ,并且α ∈R,对应法则是一个角与 其正弦值对应, 至于这个值怎么计算,在此处是规定为角α 终边与单位圆交点的 纵坐标,通过例 2 可以看出,也可以利用比值定义。对于一次函数、二次函数也 需要将自变量的值进行计算得到函数值,这一点本质上是统一的,要引导学生类 比理解。 此外,由于学生对角度制的应用已经很熟练,而对弧度制的应用比较陌生, 所以在理解函数的定义域是实数集时可能会出现问题,这需要教师的引导,同时 也需要时间适应。 综合上述分析,本课时的教学难点是: 引导学生将任意角的三角函数的定义同化,帮助学生真正理解定义。 四、教学支持条件分析 利用几何画板改变角的位置, 认识角的终边位于不同象限时如何定义角的三 角函数值,充实学生的直观感知材料,帮助学生形成比较全面的认知。 五、教学过程设计 问题 1 本章研究的问题是三角函数,函数的研究离不开平面直角坐标系, 这在第一节中已经有所感受。 现在请你回忆初中学过的锐角三角函数的定义,并 思考一个问题: 如果将锐角置于平面直角坐标系中,如何用直角坐标系中角的终 边上的点的坐标表示锐角三角函数呢? (设计意图:将已有知识坐标化,分化难点。用新的观点再认识学生的已有 知识经验, 发挥其正迁移作用, 同时使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密 联系,使知识有一个熟悉的起点,扎实的固着点。) 预计的回答: 学生可以回忆出初中学过的锐角三角函数的定义, 但是在用坐 标语言表述时可能会出现困难——即使将角置于坐标系中但是仍然习惯用三角 形边的比值表示锐角三角函数, 需要教师引导学生将之转换为用终边上的点的坐 标表示锐角三角函数。 解答过程: (1)再现锐角三角函数的定义:如图 1,在直角△POM 中,∠M 是直角,那 么 。 (2)坐标化:如图 2,建立平面直角坐标系,设点 P 的坐标为(x,y), 那么 ,于是 。 问题 2 回忆弧度制中 1 弧度角的几何解释,它是借助于单位圆给出的,能 否从中得到启示将上述定义的形式化简,化简的依据是什么?写出最简单的形 式。 (设计意图:引入单位圆。深化对单位圆作用的认识,用数学的简洁美引导 学生进行研究,为定义的拓展奠定基础。该问题与问题 1 结合,分步推进,降低 难度,基本尊重教材的处理方式。) 预计的困难: 由于学生只接触过一次单位圆, 对它所能起的作用只有一般的 了解,所以需要教师的引导。也可以引导学生从形式上对上述定义化简,使得分 母为 1,之后通过分母的几何意义将之与单位圆结合起来。 解答过程: 单位圆中定义锐角三角函数:如图 3,线段 OP=1,点 P 的坐标为(x,y), 那么锐角α 的三角函数可以用坐标表示为: 。 (说明:单位圆的定义建议在弧度制一节中给出。) 依据:三角形相似,比值与具体的点的位置没有关系。 问题 3:上述定义是借助于单位圆,利用角的终边与单位圆的交点的坐标给 出的,它可以推广到任意角的三角函数,请你写出任意角的三角函数的定义。分 小组分别写出角α 的终边位于第二、三、四象限和 x 轴、y 轴上时的三角函数。 (设计意图:具体认识任意角的三角函数,突现本课时的研究重点。如 果 问题太一般化,如设计为:上述定义可以推广到任意角的三角函数,请写出任意 角的三角函数的定义。那么学生不知道“上述定义”是指哪个,而且不明白任意 角 该如何取。所以在问题设计中再次强调要借助于

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