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2017届辽宁省沈阳二中高三上学期12月月考试卷 数学文科


2016—2017 学年度上学期 12 月阶段测试 高三(17 届)
说明:1、测试时间:120 分钟

数学文科试题

命题:高三数学备课组 总分:150 分

2、客观题涂在答题卡上,主观题答在答题纸上

第Ⅰ卷(60 分)
一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 P ? {3, log 2 a} , Q ? ?a, b?,若 P ? Q ? {0} ,则 P ? Q ? ( A. ?3,0? B. ?3,0,2? C. ?3,0,1? D. ?3,0,1,2? )

2.若奇函数 f(x)的定义域为 R,则有( ) A.f(x)>f(-x) C.f(x)≤f(-x) C.f(x) ·f(-x)≤0 D.f(x) ·f(-x)>0 3.若 a,b 是异面直线,且 a∥平面? ,那么 b 与平面??的位置关系是( ) A.b∥? B.b 与??相交 C.b ? ? D.以上三种情况都有可能 4.下列函数中,图象的一部分如右图所示的是( )

?? ? ? 6? ? ?? ? (C) y ? cos ? 4 x ? ? 3? ?
(A) y ? sin ? x ?

(B) y ? sin ? 2 x ?

?? ? ? 6? ? ?? ? (D) y ? cos ? 2 x ? ? 6? ?


2 2 5.已知等比数列{ an }的前 n 项和 S n ? 2n ? 1 ,则 a12 ? a2 等于( ? … ? an

A. (2n ? 1) 2 C. 4 n ? 1

1 B. ( 2 n ? 1) 3 1 D. (4 n ? 1) 3

6.若两个非零向量 , 满足| + |=| ﹣ |=2| |,则向量 + 与 ﹣ 的夹角是( A. B. C. D.



7.设变量 x,y 满足约束条件 A. ﹣7
8.下列函数中在 A.y=﹣tanx

,则 z=﹣2x+y 的最小值为( C. ﹣1 D. 2




B. ﹣6

上为减函数的是( B.

-1-

C.y=sin2x+cos2x

D.y=2cos2x﹣1

9.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组 成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图 如图所示, 若该几何体的表面积为 16 ? 20? , 则r ? ( ) (A) 1 ( C) 4 (B) 2 (D) 8

10. 已 知 三 个 互 不 重 合 的 平 面 ?、?、? , 且

? ? ? ? a, ? ? ? ? b, ? ? ? ? c ,给出下列命题:①若 a ? b, a ? c ,则 b ? c ;②若 a ? b ? P ,则
a ? c ? P ;③若 a ? b, a ? c ,则 ? ? ? ;④若 a // b ,则 a // c .其中正确命题个数为(
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

11.已知点 P 为函数 f(x)=lnx 的图象上任意一点,点 Q 为圆[x﹣(e+ )]2+y2=1 任意一点, 则线段 PQ 的长度的最小值为( A. B. ) C. D.e+ ﹣1

12.已知 f(x)=x(1+lnx) ,若 k∈Z,且 k(x﹣2)<f(x)对任意 x>2 恒成立,则 k 的最 大值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第Ⅱ卷(90 分)
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分)
2 ? ?log ( x ? 1)(x ? 0) 13. f ( x) ? ? x ?13 ,则f ( 10) ? f (?1) ? _____ ? 2 ( x ? 0 ) ?

14.若a, b ? 0, a ? b ? 5 ,则 a ? 1+ b+3最大值为________
15.正三角形 ABC 的边长为 2,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 球表面积为______. ,此时四面体 ABCD 外接

16 .过双曲线

=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0)作圆 x2+y2=a2 的切线,切点为 ,则双曲线的离心率为 .

E,延长 FE 交抛物线 y2=4cx 于点 P,O 为原点,若

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 sin(?x) ? 2 sin 2

?x
2

? m(? ? 0) 的最小正周期为 3? ,当 x ? [0, ? ] 时,

函数 f ( x ) 的最小值为 0.
-2-

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)在△ABC,若 f (C) ? 1, 且2 sin 2 B ? cos B ? cos(A ? C),求sin A 的值

18. (本小题满分 12 分)
2 ? 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1,n ? N , 且 a2 , a5 , a14 构成等比数

列. (1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

19. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x 2 ? y 2 ? 12x ? 32 ? 0 的圆心为 M,过点

P(0,2)的斜率为 k 的直线与圆 M 相交于不同的两点 A、B. (1)求 k 的取值范围;
(2)是否存在常数 k,使得向量 OA ? OB 与 MP 平行?若存在,求 k 值,若不存在,请说明理由.
y

P M O
x

20. (本小题满分 12 分) 已知点 F 为抛物线 C : y ? 4x 的焦点, 点 P 是准线 l 上的动点, 直线 PF 交抛物线 C 于 A, B 两点, 若点 P
2

的纵坐标为 m (m ? 0) ,点 D 为准线 l 与 x 轴的交点. (1)求直线 PF 的方程; (2)求 ?DAB 的面积 S 范围;
P

y

? ??? ? ??? ? ??? ? ??? (3)设 AF ? ? FB , AP ? ? PB ,求证 ? ? ? 为定值
-3-

A D O F x

l

B

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? 1 ? e .
?x

(Ⅰ)证明:当 x>-1 时, f ? x ? ? (Ⅱ)设当 x ? 0 时, f ? x ? ?

x ; x ?1

x ,求 a 的取值范围. ax ? 1

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 作答时请在答题卡涂上题号. 22. (本小题满分 10 分)

1 x2 已知P (1, )是椭圆 ? y 2 ? 1 内一定点,椭圆上一点M 到直线x ? y ? 2 5 ? 0的 2 4 距离为d . 23. (本小题 (1)当点M 在椭圆上移动时,求d的最小值; (2)设直线MP与椭圆的另一个交点为N , 求 PM ? PN 的最大值。
满分 10 分)

已知x, y, z ? R? , 且x ? y ? z ? 1. (1)若2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 z 2 ? 1, 求x, y, z的值。 (2)若2 x 2 ? 3 y 2 ? tz 2 ? 1恒成立,求正数t的取值范围。

2016—2017 学年度上学期 12 月阶段测试 高三(17 届)
选择填空 1.C 2.C 3.D 13. 3 14. 4.D 5.D 6.C

数学文科试题答案

7. A 8.B 9.B 10.C 11.C 12. B

3 2

15.5π

16.



17.解: f ( x) ?

1 ? cos( ?x) ? ? m ? 2 sin(?x ? ) ? 1 ? m. ………2 分 2 6 2? 2 ? 3? , 解得 ? ? . 依题意函数 f ( x)的最小正周期为 3? , 即 ? 3 2x ? ? ) ? 1 ? m. …………4 分 所以 f ( x) ? 2 sin( 3 6 3 sin(?x) ? 2 ?

? 2x ? 5 ? 1 当x ? [ 0 ? , 时 ] ,? ? ? , ? 6 3 6 6 2

x 2 ? sin ?( ? 3 6

)

1, 2x ? 2 s i?n ( ? ? )分 1 . 3 6 6

所以f ( x ) 的最小值为m 依题意 . m , ? 所以 0. f x ( ? )
(Ⅱ) f (C ) ? 2 sin(

2C ? 2C ? ? ) ? 1 ? 1,? sin( ? ) ? 1. 3 6 3 6
-4-



?
6

?

2C ? 5? 2C ? ? ? ? ? , 所以 ? ? .解得C ? .????8分 3 6 6 3 6 2 2

在Rt?ABC中,? A ? B ?

?
2

,2 sin 2 B ? cos B ? cos(A ? C ), ?1? 5 .????10分 2

? 2 cos2 A ? sin A ? sin A ? 0, 解得 sin A ? ? 0 ? sin A ? 1,? sin A ?

5 ?1 .????12分 2
4a1 ? 5

2 2 18.解:(1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,? an ? 0 ? a2 ?

2 2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4
2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an?1 ? an ? 2 [来源:学,科,网 Z,X,X,K] 2

? 当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 ? a2 , a5 , a14 构成等比数列,?a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

2 由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,?a1 ? 1

? a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
(3)

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? a1a2 a2 a3 an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ?1?? 2n ? 1?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? ? 2
19.解:(1)圆的方程可化为 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 4 ,直线可设为 y ? kx ? 2 , 方法一:代入圆的方程,整理得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 4(k ? 3) x ? 36 ? 0 , 因为直线与圆 M 相交于不同的两点 A、B,得

? ?0 ??

3 ? k ? 0; 4 3 , k ? 0 ,结合图形,可知 4

方 法 二 : 求 过 点 P 的 圆 的 切 线 , 由 点 M 到 直 线 的 距 离 =2, 求 得 k ? ?

?

3 ? k ? 0. 4

-5-

y

P M O
x

(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,因

P(0,2),M(6,0), OA ? OB = ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , MP ? (?6,2) ,向量 OA ? OB 与 MP 平
即 2( x1 ? x2 ) ? ?6( y1 ? y 2 ) ①.

由 (1 ? k 2 ) x 2 ? 4(k ? 3) x ? 36 ? 0 , x1 ? x 2 ? ? 代入①式,得 k ? ?

4( k ? 3) , y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 , 1? k 2

3 3 ,由 ? ? k ? 0 ,所以不存在满足要求的 k 值. 4 4

20.解: (1)由题知点 P, F 的坐标分别为 (?1, m) , (1, 0) , 于是直线 PF 的斜率为 ?

m , 2 m ( x ? 1) ,即为 mx ? 2 y ? m ? 0 . 2

所以直线 PF 的方程为 y ? ?

(2)设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,

? y 2 ? 4 x, ? 由? 得 m2 x2 ? (2m2 ? 16) x ? m2 ? 0 , m ? y ? ? ( x ? 1), ? 2
所以 x1 ? x2 ?

2m2 ? 16 4m2 ? 16 | AB | ? x ? x ? 2 ? , . 于是 . x x ? 1 1 2 1 2 m2 m2

点 D 到直线 mx ? 2 y ? m ? 0 的距离 d ?

2| m| m2 ? 4



1 1 4(m2 ? 4) 2 | m | 4 所以 S ? | AB | d ? ? 4 1? 2 . 2 2 2 2 m m m ?4
因为 m ? R 且 m ? 0 ,于是 S ? 4 , 所以 ?DAB 的面积 S 范围是 (4, ??) . (3)由(2)及 AF ? ? FB , AP ? ? PB ,得
-6-

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(1 ? x1, ? y1 ) ? ?( x2 ?1, y2 ) , (?1 ? x1, m ? y1 ) ? ? ( x2 ? 1, y2 ? m) ,
于是 ? ?

1 ? x1 ?1 ? x1 ,? ? ( x2 ? ?1). x2 ? 1 x2 ? 1

所以 ? ? ? ?

1 ? x1 ?1 ? x1 2 ? 2 x1 x2 ? ? ?0. x2 ? 1 x2 ? 1 ( x2 ? 1)( x2 ? 1)

所以 ? ? ? 为定值 0 . 21.解:(I)当 x ? ?1 时,

f ( x) ?

x 当且仅当 e x ? 1 ? x. x ?1

令 g ( x) ? e x ? x ? 1.则g ' ( x) ? e x ? 1. 当 x ? 0时g ' ( x) ? 0 , g ( x)在?0,??? 是增函数; 当 x ? 0时g ' ( x) ? 0, g ( x)在?? ?,0? 是减函数. 于是 g ( x) 在 x=0 处达到最小值,因而当 x ? R 时, g ( x) ? g (0),即e x ? 1 ? x. 所以当 x ? ?1时, f ( x) ?

x . 、 x ?1

(II)由题设 x ? 0, 此时f ( x) ? 0. 当 a ? 0时, 若x ? ?

1 x x ,则 ? 0, f ( x) ? 不成立; a ax ? 1 ax ? 1

当 a ? 0时, 令h( x) ? axf ( x) ? f ( x) ? x, 则

f ( x) ?

x 当且令当 h( x) ? 0. ax ? 1

h' ( x) ? af ( x) ? af ' ( x) ? f ' ( x) ? 1 ? af ( x) ? axf ( x) ? ax ? f ( x).
(i)当 0 ? a ?

1 时,由(I)知 x ? ( x ? 1) f ( x), 2

h' ( x) ? af ( x) ? axf ( x) ? a( x ? 1) f ( x) ? f ( x), ? (2a ? 1) f ( x) ? 0,

h( x)在?0,??? 是减函数, h( x) ? h(0) ? 0,即f ( x) ?
(ii)当 a ?

x . ax ? 1

1 时,由(I)知 x ? f ( x). 2

h' ( x) ? af ( x) ? axf ( x) ? ax ? f ( x),
-7-

? af ( x) ? axf ( x) ? af ( x) ? f ( x) ? (2a ? 1 ? ax) f ( x).

2a ? 1 x . 时, h' ( x) ? 0, 所以 h( x) ? h(0) ? 0, 即f ( x) ? a ax ? 1 1 综上,a 的取值范围是 [0, ]. 2
当0 ? x ?

22.(1)d min ?
23.(1) x ?

10 (2)2 2
1 1 1 , y ? , z ? .(2)t ? 6 2 3 6

-8-


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