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圆的一般方程教案(正式)


人教 A 版高中数学实验教科书选修 2—1

《圆的一般方程》教案

4.2.1 圆的一般方程
课题 授课课时 授课题目(章,节) 教材及参考书目 圆的一般方程 1 课时 课型 授课时长 新 45 分钟

第四章第一节 4.2.1 圆的一般方程 人教 A 版高中数学实验教科书必修 2

●教学目的与要求 一、知识目标:(1)理解记忆圆的一般方程的代数特征。 (2)掌握方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的条件。 二、能力目标:(1)能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程。 (2)能应用待定系数法求圆的一般方程。 (3)能应用代入法求一般曲线的方程。 (4)培养探索发现及分析解决问题的能力。 三、情感目标:(1)培养学生勇于探索的精神。 (2)渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质。 ●教学重点 圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待定系数法求圆的一般方程 的步骤

●教学难点 圆的一般方程和代入法的掌握、应用

●教学方法 师生合作式探究

诱导启发式教学

● 教学辅助 多媒体教学平台

CAI 课件

●教学过程与时间分配 一、复习提问,引入课题 二、探索研究,讲授新课 三、例题讲解,对应练习 四、课堂小结,反馈回授 五、分层作业,巩固提高
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(3 分钟) (22 分钟) (16 分钟) (3 分钟) (1 分钟)

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教学基本内容 一、复习提问,引入课题 问题:求过三点(0,0),(1.1),(4,2)的圆的方程?

设计意图 ⑴以复习回顾的形 式提出新难题, 引出

指出本节课 【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论,回顾旧知识, 新课程, 最后得出运用圆的知识很难解决问题。因为圆的标准方程很 的主要内容. 小组讨 麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性。于是老师提 ⑵质疑提问, 提高了学生学习 问,有没有其他的解决方法呢?带着这个问题我们共同研究 论, 的兴趣. 圆的一般方程。 【辅助手段】 :多媒体课件幻灯片展示问题。 二、探索研究,讲授新课 请同学们写出圆的标准方程:
( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 、圆心(a,b)、半径 r
2 2 2

⑴学生动笔、思考, 老师引导、 启发, 让 学生学会独立分析 问题, 解决问题, 初 步体会数学的魅力.

把圆的标准方程展开,并整理:
x ? y ? 2 ax ? 2 by ? a ? b ? r ? 0
2 2 2 2 2

取 D=-2a E=-2b F= a ? b ? r
2 2

2

⑵引导学生自己探 索寻找圆的一般方 程在什么时候表示 圆,形成分类讨论、

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

这个方程就是圆的方程. 反过来给出一个形如 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的方程,它表 示的曲线一定是圆吗? 把 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 配方得:
(x ? D 2 ) ? (y ?
2

等价转化等数学思 想, 培养学生思维的 多样性、 创造性, 体

E 2

) ?
2

D ? E ? 4F
2 2

2

验成功解决问题的 喜悦. ⑶通过对一个方程 的讨论, 得出圆的一
D 2

4

【师生互动】配方和展开由学生完成,教师最后展示结果。 问题:这个方程是不是表示圆? ⑴当 D ? E ? 4 F ﹥0 时,方程表示以(2 2 2



E 2

般方程, 并指出不是 )为圆心,以 所有的方程都可以 表示圆。 使得学生的 认识不断加深, 同时

1 2

D ? E ? 4 F 为半径的圆.
2 2

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教学基本内容 ⑵当 D 2 ? E 2 ? 4 F 2 =0 时,方程只有实数解 x ? ? 即只表示一个点( ?
D 2 D 2

设计意图 ,y ? ?
E 2

培养思维的严谨性.

,?

E 2

).

⑶当 D 2 ? E 2 ? 4 F 2 ﹤0 时, 方程没有实数解, 因此它不表示任 何图形. 【师生互动】学生在教师的引导下对方程分类讨论,最后师 生共同总结出 3 种情况,即圆的一般方程表示圆的条件。 【归纳总结】圆的一般方程的特点: ⑴① x 2 和 y 2 的系数相同,都等于 1。 ②没有 xy 这样的二次项。 ⑵圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因此只要求 出这三个系数,就能确定圆的一般方程。 ⑶圆的一般方程是一种特殊的二元一次方程,代数特征明 显,圆的标准方程则是几何特征明显。 【师生互动】学生小组讨论交流,老师进行课堂巡视指导, 引导学生归纳。最后师生共同总结出圆的一般方程的特点。 【辅助手段】板书配方和展开过程,多媒体课件幻灯片展示 三、例题讲解,对应练习 检测学 例 1 判断下列二元一次方程是否表示圆的方程?如果是,请 ⑴同步练习, 求出圆的圆心及半径。 ⑴ 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 ⑵ 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 11 ? 0 分析:方法 1 利用配方法将其化为圆的标准形式. 方法 2 应用圆的一般方程来解,这里 D=-1,E=3,F=
9 4

⑴归纳知识, 有利于 学生理清知识脉络. ⑵强调的概念的本 质, 让学生理解记忆 圆的一般方程的代 数特征. ⑶深化学生对圆的 一般方程的理解.

生的掌握情况, 及时 回授, 强化知识点的 应用. ⑵加深对所学知识 的理解应用, 使学生 . 掌握基础知识, 有利 于学生更高思维能 力的培养.

例 2 求过三点 A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个 圆的半径长和圆心坐标。 分析:根据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的

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教学基本内容 一般方程则只需确定三个系数,而条件给出了三个坐标,不 妨试着先写出圆的一般方程。 【教师讲解】设圆的方程为 x 2
? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

设计意图

∵A(0,0),B(1,1),C(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程 的解,代入方程得到:
?F ? 0 ? ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ? 4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ?

⑴进一步熟悉圆的 一般方程. 即 D=-8 E=6 F=O ⑵通过本题的练习, 使学生掌握待定系 数法求解圆的一般
E 2

∴所求的方程为 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 6 y ? 0
r ? 1 2 D ? E ? 4F
2 2 2

=5、 ?

D 2

=4、 ?

=-3

方程的步骤.

∴圆心坐标为(4,-3) 或将 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 化为圆的标准方程:
( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤 ⑴根据条件,选择是标准方程还是一般方程。 ⑵根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组。 ⑶解出 a、b、r 或 D、E、F 并将其代入其相关方程。 例 3 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3),端点 A 在圆上
( x ? 1) ? y ? 4 运动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。
2 2

⑴总结题目方法, 提 炼出解决一般问题 的方法, 形成类型题 的方法. ⑵强调方法的本质, 加深学生对方法的 理解应用.

分析:如图点 A 运动引起 M 运动,而点 A 在圆上运动点 A 的坐标满足方程 ( x ? 1) ? y ? 4 ,建立点 M 与点 A 的关系,
2 2

就可以建立点 M 的坐标满足的条件,也就出了 M 的方程。

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教学基本内容 【教师讲解】设点 M 的坐标是( x , y ), A 的坐标是( x 0 , y 0 ), : 点 由于点 B 的坐标是(4,3), M 是线段 AB 的中点, 且 所以有:
x? x0 ? 4 2

设计意图

,y ?

y0 ? 4 2

⑴进一步熟悉圆的 一般方程. ⑵掌握运用代入法

于是有

x0 ? 2 x ? 4

, y0 ? 2 y ? 3

因为点 A 在圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 上运动,所以点 A 的坐标满 求解曲线的轨迹方 足方程 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 即
( x 0 ? 1) ? y 0 ? 4
2 2

程的步骤. ⑶培养学生运用知 识的能力.
2

把①代入②,得:
(2 x ? 4 ? 1) ? (2 y ? 3) ? 4
2

整理,得:
(x ? 3 2 ) ? (y ?
2

3 2 3 2

) ?1
2

所以,点 M 的轨迹是以( ,

3 2

)为圆心,半径是 1 的圆. ⑴总结归纳, 把方法 系统化,形成能力.

【归纳总结】运用代入法求轨迹方程的步骤 ⑴建立适当的坐标系,用有序数对(x,y)表示曲线上任意一 点 M 的坐标. ⑵写出适合条件的点 M 的集合. ⑶列出方程 f ( x , y ) ? 0 . ⑷化方程 f ( x , y ) ? 0 为最简形式. 【课堂练习】 1 求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长 ⑴ x ? y ? 6x ? 0
2 2

⑴让学生熟悉巩固 知识, 运用方法, 另 外还可让学生上台 演习各自解题过程. 这样既可及时反馈 学生知识的掌握情 况, 又可以纠正学生 在解题过程中出现 的各种问题, 如方法 错误、 书写不规范等

⑵ x ? y ? 2 by ? 0
2 2

⑶ x 2 ? y 2 ? 2 ax ? 2 3 ay ? 3 a 2 ? 0 2 判断下列方程分别表示什么图形 ⑴ x2 ? y2 ? 0 ⑶ x 2 ? y 2 ? 2 ax ? b 2 ? 0 ⑵ x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0

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教学基本内容 3 如图,等腰梯形 ABCD 的底边长分别为 6 和 4,高为 3, 求这个等腰梯形的外接圆的方程,并求出圆心坐标和半径. 提示:待定系数法的应用.

设计意图 问题. ⑵进一步巩固代入 法等数学方法, 提高 学生的思维能力和 运用知识解答问题 的能力.

【师生互动】⑴第一二题练习课让学生通过抢答的形式进行. ⑵第三题练习是待定系数法方法的运用,教师 可叫几个同学上黑板进行板演,教师适当点 评,最后教师讲解解题过程. ⑴有利于学生理清

【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示,学生自练或板演,教 本节课的重难点, 深 师讲评解题过程. 化对圆的一般方程 四、课堂小结,反馈回授 的理解, 帮助学生从

1、 对方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的讨论和圆的一般方程的 感性认识上升为理 代数特征理解. 2、圆的一般方程和标准方程的互化. 3、待定系数法求解圆的一般方程. 4、代入法求解曲线的轨迹方程. 五、分层作业,巩固提高 必做题:教材 134 页 3、4 选做题: 1.已知点 M 与两个定点 O(0,0)、A(3,0)的距离的比为 点 M 的轨迹方程。 【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示作业 ⑴必做题与选做题 相结合, 面向全体学 生,激发学生兴趣.
1 2

性认识. ⑵有利于学生把知 识转化为能力, 形成 数学方法和数学思 维. ⑶启发引导学生进 行归纳整理, 培养学 生宏观掌握知识的 ,求 能力.

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教学基本内容 六、板书设计
课题 标准方程的展开 例1 例3

设计意图

一般方程的配方 例2 一般方程什么时候表 示圆的讨论 课后作业 课堂小结

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