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一元线性回归模型典型例题分析


第二章 一元线性回归模型典型例题分析

例 1、令 kids 表示一名妇女生育孩子的数目,educ 表示该妇女接受过教育的年数。生育率 对教育年数的简单回归模型为

kids = β 0 + β1educ + ?
(1)随机扰动项 ? 包含什么样的因素?它们可能与教育水平相关吗? (2)上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗?请解释。

例 2.已知回归模型 E = α + β N + ? ,式中 E 为某类公司一名新员工的起始薪金(元) ,N 为所受教育水平(年) 。随机扰动项 ? 的分布未知,其他所有假设都满足。如果被解释变量 新员工起始薪金的计量单位由元改为 100 元, 估计的截距项与斜率项有无变化?如果解释变 量所受教育水平的度量单位由年改为月,估计的截距项与斜率项有无变化?

例 3.对于人均存款与人均收入之间的关系式 S t = α + β Yt + ? t 使用美国 36 年的年度数据 得如下估计模型,括号内为标准差:

? S t = 384.105 + 0.067Yt (151.105)
R2
=0.538

(0.011)
? σ = 199.023

(1) β 的经济解释是什么? (2) α 和 β 的符号是什么?为什么?实际的符号与你的直觉一致吗?如果有冲突的话, 你可以给出可能的原因吗? (3)对于拟合优度你有什么看法吗? (4)检验统计值?

例 4.下列方程哪些是正确的?哪些是错误的?为什么? ⑴ yt = α + β xt t = 1,2, L , n ⑵ y t = α + β x t + ?t t = 1,2, L , n
$ $ ⑶ yt = α + β xt + ?t t = 1,2, L , n
1

$ $ $ ⑷ y t = α + β x t + ?t $ $ ⑸ yt = α + β xt $ $ $ ⑹ yt = α + β xt $ $ $ ⑺ y t = α + β x t + ?t $ $ $ $ ⑻ y t = α + β x t + ?t

t = 1,2, L , n t = 1,2, L , n t = 1,2, L , n t = 1,2, L , n t = 1,2, L , n

其中带“^”者表示“估计值” 。

例 5.对于过原点回归模型 Yi =

β1 X i + u i ,试证明

Var ( β 1 ) =



σ u2

∑X

2 i

例 6、对没有截距项的一元回归模型

Yi = β 1 X i + ? i
称之为过原点回归(regression through the origin) 。试证明 (1)如果通过相应的样本回归模型可得到通常的正规方程组

∑e = 0 ∑e X = 0
i i i

? 则可以得到 β1 的两个不同的估计值: β1 = Y X , β1 = ~

~

(∑ X Y ) (∑ X ) 。
i i
2 i

? (2)在基本假设 E ( ? i ) = 0 下, β1 与 β1 均为无偏估计量。 ~ ~ ? ? (3)拟合线 Y = β 1 X 通常不会经过均值点 ( X , Y ) ,但拟合线 Y = β 1 X 则相反。 ? (4)只有 β1 是 β1 的 OLS 估计量。

解: (1)由第一个正规方程

∑e

t

= 0得
t

∑ (Y


~ ? β1 X t ) = 0 ~ = β1 ∑ X t
2

∑Y

t

求解得 由第 2 个下规方程

β1 = Y / X

~

∑X

t

? (Yt ? β 1 X t ) = 0 得

∑X Y
t

t

? = β 1 ∑ X t2

求解得

? β 1 = (∑ X t Yt ) /(∑ X t2 ) ~

(2)对于 β 1 = Y / X ,求期望

~ 1 1 E ( β 1 ) = E (Y X ) = E[ ( β 1 X t + ? t )] X n β X 1 = [ E{ 1 t ) + E ( ? t )] X n X = β1 = β1 X
这里用到了 X t 的非随机性。

? 对于 β 1 = (

∑ X Y ) /(∑ X
t t

2 t

) ,求期望

? E ( β 1 ) = E (∑ X t Yt / ∑ X t2 ) =( =( 1 1 ) E ( X t Yt ) = ( )∑ E[ X t ( β 1 X t + ? t )] 2 ∑ ∑ Xt ∑ X t2 1 1 ) β 1 ∑ ( X t2 ) + ( )∑ X t E ( ? t ) = β 1 2 ∑ Xt ∑ X t2

? ? ? ? (3)要想拟合值 Y = β 1 X 通过点 ( X , Y ) , β1 X 必须等于 Y 。但 β 1 X = ? ? 通常不等于 Y 。这就意味着点 ( X , Y ) 不太可能位于直线 Y = β 1 X 上。 ? 相反地,由于 β1 X = Y ,所以直线 Y =
(4)OLS 方法要求残差平方和最小 Min

∑X Y ∑X
t 2 t

t

X,

~

β1 X 经过点 ( X , Y ) 。

~

? RSS = ∑ et2 = ∑ (Yt ? β 1 X t ) 2

? 关于 β1 求偏导得

?RSS ? = 2∑ (Yt ? β 1 X t )(? X t ) = 0 ? ?β
1



∑X

t

? (Yt ? β 1 X t ) = 0
3

? β1 = (∑ X i Yi )
? 可见 β1 是 OLS 估计量。

(∑ X )
2 i

4


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