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浙江省镇海中学2013年高三适应性测试数学(文)试题(word版)含解析


镇海中学 2013 年高三适应性测试文科数学及参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M ? {x | 3 ? 2 x ? x 2 ? 0} , N ? {x | x ? 1} ,则 M ? N ? ( (A) (3,??) 【答案】B. 【解析】易得 M ? {x ? 1 ? x ? 3} ,故 M ? N ? [1,3) . 2.若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a, b ? R , i 是虚数单位,则复数 a ? bi ? ( ) (B) [1,3) (C) (1,3) (D) (?1,??) )

( A) ?1 ? 2i
【答案】A.

(B ) 1 ? 2i

(C ) ?1 ? 2i

(D) 1 ? 2i

【解析】 a ? ?1, b ? 2 ,故 a ? bi ? ?1 ? 2i . 3.若曲线 y ? ax2 在点 P(1, a) 处的切线与直线 2 x ? y ? 2 ? 0 平行,则 a ? ( )

( A) ?

1 2

( B) ?1

(C )1

( D)

1 2

开始

【答案】B. 【解析】 y' ? 2ax, y' |x?1 ? 2a ? ?2,?a ? ?1. 4.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,则 loga b ? 0 是 (a ? 1)(b ? 1) ? 0 的( (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 【答案】A. 【解析】loga b ? 0 ? ? (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

k ?1
S ? 100

S ? S ?k k ? k ?1


?a ? 1, ?0 ? a ? 1, 或? , (a ? 1)(b ? 1) ? 0 成立, 故 ?b ? 1. ?0 ? b ? 1. ?a ? 1, ?a ? 1, 或? ,若 b ? 0 ,则 ?b ? 1. ?b ? 1.

为充分条件;而 (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ? ?

S ? 0?
是 输出 k

loga b 无意义,则为不必要条件.
5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是( ) (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 【答案】D.

结束 (第 5 题)

【解析】由题意可知即求 1 ? 2 ? ? ? k ? 100 (k ? N *) 时, k ? 1 的最小值,故 k ? 15 .

? 6、 已知 m ,n 是两条不同的直线, ,? , 为三个不同的平面, 则下列命题正确的是 ( ?
(A)若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ∥ ? ; (B)若 m ∥ n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ∥ ? ; (C)若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? ; (D)若 m ∥ n , m ⊥ ? , n ⊥ ? ,则 ? ∥ ? . 【答案】D.



? ? 【解析】 对于 A 选项, 有可能 n ? ? ; 对于 B 选项, 、? 有可能相交; 对于 C 选项, 、?
有可能相交;D 选项正确。 7.同时具有性质:“① 最小正周期是 ? ;② 图象关于直线 x ? 函数”的一个函数是( )

?
3

对称;③ [ ? 在

? ?

, ] 上是增 6 3

x ? ? ? ? ( A) y ? sin( ? ) ( B) y ? cos( 2 x ? ) (C ) y ? sin( 2 x ? ) ( D) y ? sin( 2 x ? ) 2 6 3 6 6
【答案】C. 【解析】对于 A 选项,最小正周期为 4? ;对于 B 选项,在 [ ? 选项,对称轴不为 x ?

? ?

?

, ] 上是减函数;对于 D 6 3

3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8.若两个非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ? 2 a ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角是(
(A)

;C 选项正确。



? 6

(B)

? 3

(C)

2? 3

(D)

5? 6

【答案】C. 9、已知点 F (?c,0)(c ? 0) 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,过 F 且平行于双曲线渐近 a2 b2 2 2 2 2 线的直线与圆 x ? y ? c 交于另一点 P ,且点 P 在抛物线 y ? 4cx 上,记该双曲线的 2 离心率为 e ,则 e ? ( ) 3? 5 5 ?1 1? 5 (A) (B) 5 (C) (D) 2 2 2
x

【答案】D.

?1? 10.已知函数 f ? x ? ? log3 ? x ? 1? ? ? ? 有两个零点 x1 , x2 ,则( ? 3?
(A)x1 x2 ? 1 【答案】D. (B)x1 x2 ? x1 ? x2 (C)x1 x2 ? x1 ? x2

) (D)x1 x2 ? x1 ? x2

非选择题

共 100 分

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.5000 辆汽车经过某一雷达测速区,其速度频率分布直方图如右图所示,则时速超过 60km/h 的汽车数量为 【答案】1900 12.若平面上点 M ( x, y ) 的 x, y 值由掷骰子确定, 第一次确定 x ,第二次确定 y ,则点 M ( x, y ) 落在圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 18的内部(不包括边 界)的概率是_____ 【答案】

5 9

13.已知 1 ? sin 2? ? ?3 cos 2? ,且 ? ? (0, 【答案】2

?
2

) ,则 tan ? ? _______.

14.已知某个几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示, 则这个几何体的体积是 cm3. 【答案】72

3

3

3 2 2
侧视图

? x?0 ? y?0 ? 15.若不等式组 ? 表示的平面区域是一个四边 ? x? y ?t ?2 x ? y ? 4 ? 形,则 t 的取值范围是 . 【答案】 (2, 4)
16.若 a ? 0, b ? 0 ,且点 ( a, b) 在过点 (1,?1) , (2,?3) 的 直线上,则 s ? 2 ab ? (4a2 ? b2 ) 的最大值是________. 【答案】

正视图

4
俯视图

(第 14 题)

2 ?1 2
?

17.数列 ?an ? 为等差数列, a1 ? 19, a26 ? ?1,设 An ?| an ? an?1 ???? ? an?6 | , n ? N .则

An 的最小值为
【答案】



7 5

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (I)求角 B 的大小; (II)若 b ? 13 ,求△ABC 的面积最大值. 【答案】18: (I)解:由正弦定理

cos B b ?? . cos C 2a ? c

a b c ? ? ? 2R 得 sin A sin B sin C

a ? 2 R s i n ,b ? 2 R s i n ,c ? 2 R s i n A B C
将上式代入已知

cos B b cos B sin B ?? 得 ?? cos C 2a ? c cos C 2 sin A ? sin C

即 2 sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0 即 2 sin A cos B ? sin( B ? C) ? 0 ∵ A ? B ? C ? ?,∴ sin( B ? C) ? sin A,∴2 sin A cos B ? sin A ? 0 ∵sin A≠ 0,∴ cos B ? ?

1 , 2 2 ?. 3
2

∵ 为三角形的内角,∴B ? B
2 2

(II)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 得

13 ? a2 ? c2 ? ac ? 2ac ? ac ,得 ac ?
∴ S? ABC ? . 当a ? c ?

13 3

1 13 3 ac sin B ? 2 12 39 13 3 时,△ABC 的面积最大值为 3 12

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

2x ? 3 1 * ,数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? f ( )(n ? N ) 。 3x an

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ?

1 ,求数列{ bn}的前 n 项和 Tn . an an?1
2?

1 ?3 an 2 ? an ? 解: (1)由题知, an ?1 ? 1 3 3? an
2 为公差的等差数列, 3 2 2 1 所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? n ? . 3 3 3 1 1 9 1 1 (2) bn ? ? ? ( ? ) an an?1 ( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 3 3 3 3 9 1 1 1 1 1 1 9 1 1 3n ? )? ( ? )? 所以, Tn ? ( ? ? ? ? ? ? 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 2 3 2n ? 3 2 n ? 3
故,数列 {an } 是以 1 为首项,

20.(本小题满分 15 分) 如图所示,已知圆 O 的直径 AB 长度为 4,点 D 为线段 AB 上一点,且 AD ?

1 DB ,点 C 3

为圆 O 上一点,且 BC ? 3 AC .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , PD ? BD . (Ⅰ )求证: CD ? 平面 PAB ; (Ⅱ )求 PD 与平面 PBC 所成的角的正弦值。 20.解答: )连接 CO ,由 3AD ? DB 知,点 D 为 AO 的中点, (Ⅰ 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB ,由 3AC ? BC 知, P

?CAB ? 60? ,∴?ACO 为等边三角形,从而 CD ? AO .
∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD ,由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB . 面角。 由(Ⅰ )可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 , ∴VP ? BDC ? 又 PB ?

A

D C

O

B

第 20 题 (Ⅱ )法 1:过 D 作 DH ? 平面 PBC 交平面于点 H ,连接 PH ,则 ?DPH 即为所求的线

1 1 1 1 1 3 3 . S?BDC ? PD ? ? DB ? DC ? PD ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 3 2 3 2 2

PD2 ? DB2 ? 3 2 ,PC ? PD2 ? DC 2 ? 2 3 ,BC ? DB2 ? DC 2 ? 2 3 ,
1 9 3 15 . ? 3 2 ? 12 ? ? 2 2 2
∴sin ?DPH ?

∴?PBC 为等腰三角形,则 S?PBC ?

由 VP? BDC ? VD?PBC 得, DH ?

3 5 5

DH 5 ? PD 5

法 2:由(Ⅰ )可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 , 过点 D 作 DE ? CB ,垂足为 E ,连接 PE ,再过点 D 作 DF ? PE ,垂足为 F . ∵PD ? 平面 ABC ,又 CB ? 平面 ABC ,∴PD ? CB ,又 PD ? DE ? D , ∴CB ? 平面 PDE ,又 DF ? 平面 PDE ,∴CB ? DF ,又 CB ? PE ? E , ∴DF ? 平面 PBC ,故 ? DPF 为所求的线面角 在 Rt?DEB 中, DE ? DB ? sin 30 ?
?

3 3 5 2 2 , PE ? PD ? DE ? , 2 2

sin ?DPF ? sin ?DPE ?

DE 5 ? PE 5

21(本题满分 15 分)

2 已 知 集 合 A ? x x ? 0 , B ? x x ? ? a ? b ? x ? ab ? 0, a, b ? R , D ? A ? B , 函 数

?

?

?

?

f ? x ? ? x3 ? x2 ? bx ?1

(1) 当 b ? 1 时,求函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2) 当 a ? b ? 1 ,且 f ? x ? 在 D 上有极小值时,求 b 的取值范围; (3) 在(2)的条件下,不等式 f ? x ? ? 1 对任意的 x ? D 恒成立,求 b 的取值范围。 解: (1) f ? x ? ? x3 ? x2 ? x ? 1, f ? ? x ? ? 3x2 ? 2x ?1 ,所以 y ? 6 x ? 2 (2) A ? x x ? 0 , B ? x b ? x ? b ? 1 , D ? A ? B ? ? ,则 b ? ?1 当 ?1 ? b ? 0 时, D ? ? 0, b ?1? , f ? ?b ?1? ? 0 ,则 当 b ? 0 时, D ? ?b, b ?1? , ?

?

?

?

?

?

?

21 ? 9 ? b ? 0; 6

? f ? ? b ? 1? ? 0 ? ,舍 ? f ? ?b? ? 0 ?

所以

21 ? 9 ?b?0 6

? ? f ?0? ? 0 ? 21 ? 9 ? (3)由(2)可知, ? f ? b ? 1? ? 0 ,解得 ?b? 2 ?2 6 ? ? 21 ? 9 ? b ? 0 ? 6 ?
22(本题满分 14 分) 已知抛物线 C 的方程为 x2 ? 2 py ,设点 M 的准线距离为

? x0 ,1? ? x0 ? 0? 在抛物线 C 上,且它到抛物线 C

5 ; 4 (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 过点 M 作倾斜角互补的两条直线分别交抛物
线 C 于 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点( M 、 A 、

B 三点互不相同) ,求当 ?MAB 为钝角时,点 A 的纵坐标 y1 的取值范围。

第 22 题

解: (1)由定义得 1 ?

p 5 ? ,则抛物线 C 的方程: x2 ? y 2 4

(2)设直线 AM 的方程为: y ? k ? x ?1? ? 1 联立方程 ?

? y ? k ? x ? 1? ? 1 ? 2 得 x ? kx ? k ? 1 ? 0 , 2 ?x ? y ?
2

A k ? 1, ? k ? 1?

?

?

?1 ? 0 即 k ? 2
2

同理 B ?k ? 1, ? ?k ? 1? 令 y1 ? ? k ? 1?
2

?

?

? 2 ? 0 即 k ? ?2 ,

, ABAM ? 0

??? ? ?????

2 3 2 则 AB AM ? 2k ? k ? 2 ? ? 4k 2k ? k ? ?4k ? 10k ? 4k ? 0

??? ? ?????

?

?

所以 k ? 2 或 0 ? k ?

1 2

?1 ? y1 ? ? ,1? ? ?1, ?? ? ?4 ?


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