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福建省南平市2016届高三3月质量检查数学理试题


2016 年南平市普通高中毕业班质量检查

理科数学试题
(满分:150 分 考试时间:120 分钟)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.全部答案答在答题卡上,答在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
2 x (1) 集合 A ? x x ? 2 x ? 8≤0 , B ? x 2 ? 8 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

(2) 已知 i 为虚数单位,若 ?x ? 2i ??x ? i ?? 6 ? 2i ,则实数 x 的值等于 (A)4 (B)-2 (C)2 (D)3 (3) 已知满足线性相关关系的两个变量 x , y 的取值如下表:

(A) (??,2]

(B) [?2,3)

(C) [?4,3)

(D) (??,3]

x
y

0 2.2

1 4.3

3 4.8

4 6.7

y ? 0.95x ? a ,则 a ? 若回归直线方程为 ? (A)3.2 (B)2.6 (C)2.8
2 2

(D)2.0

(4) 若双曲线 等于

x y ? 2 ? 1 ?a ? 0,b ? 0? 的一条渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 ,则它的离心率 2 a b

5 2 13 (C) 2
(A)

5 3 13 (D) 3
(B)

开始 k=1 S=0 否 是 S=S-2k k=k -1 输出 S 结束

(5) 一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果 为 10,则判断框中应填入的条件是 (A) k ≥-3 (B) k ≥-2 (C) k <-3 (D) k ≤-3 (6) 数列 ?an ? 中 a1 ?

an 1 1 , an?1 ? , 记数列 { } 的前 n 项 an 2 1 ? 3an
(B)77 (D)126

和为 Tn ,则 T8 的值为 (A)57 (C)100

理科数学试题 第 1 页(共 4 页)

(7) 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积为 (A)

10 3

(B)

8 3
正视图 侧视图

(C)4

(D)3

? x ? y ≥0, ? (8) 设 ? 为不等式组 ? x ? y ? 4≥ 0, (m ? 0) 表示的 ? x m, ? ≤
平面区域.若 ? 的面积为 9,则 m = (A)8 (B)6 (C)4 (D)1
10 10 2 2

俯视图
10 10

(9) 已知正实数 m ,若 , x x? a ? ?0a ? a m mx ? )? x)a ? a m mx ? ) x???????? ) ???????? a10a (10 m(? mx ? ) x) 0a 1( 1 (? 2( 2 (? 其中 a8 ? 180,则 m 值为 (A)4 (B)2 (C)3 (D)6 (10) 已知球 O 的一个内接三棱锥 P ? ABC ,其中 ?ABC 是边长为 2 的正三角形,PC 为 球 O 的直径,且 PC ? 4 ,则此三棱锥的体积为

4 4 2 2 6 6 (C) (D) 3 3 3 (11) 过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A ,与
(A) (B) 抛物线的准线的交点为 B ,点 A 在抛物线的准线上的射影为 C ,若 AF ? FB ,

2 3 3

BA? BC ? 48 ,则抛物线的方程为 (A) y 2 ? 16x (B) y 2 ? 8x (C) y 2 ? 4 2 x (D) y 2 ? 4 x 1 9 (12) 已知 x ? 0, y ? 0, 且 4 x ? ? y ? ? 26 ,则函数 F ( x, y) ? 4 x ? y 的最大值与 x y
最小值的差为 (A)24 (B)25 (C)26 (D)27

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须作答。第(22)~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13) 函数 f ? x ? ? sinx ? 3cos x , x ? [0 , ] 的值域是

(14) 在 1 和 16 之间插入 n ? 2 ( n ≥3)个实数,使这 n 个实数构成递增的等比数列,若记这 . n 个实数的积为 bn ,则 b3 ? b4 ???? ? bn ?

? 2

.

3x 2 ? sin x ? 3 (15) 曲线 y ? 的对称中心坐标为 . x2 ?1 (16) 在 ?AOB 中, OA ? 1, OB ? 2, ?AOB ? 120? , MN 是过点 O 的一条线段,且
OM ? ON ? 3 ,若 OC ? 2?OA ? 2(1 ? ? )OB, (? ? R),则 CM ? CN 的最小值
为 . 理科数学试题 第 2 页(共 4 页)

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 在 △ABC 中,角 A, B ,C 的对边分别为 a ,b , c .若 sin? A ? B? ? sinC ? 2sinA . (Ⅰ)求角 B 的值;
2 2 (Ⅱ)若 b ? 2 ,求 a ? c 的最大值,并求取得最大值时角 A,C 的值.

(18)(本小题满分 12 分)
? 如图,在直角梯形 ABCD 中, AB // CD , ?DAB ? 90 ,点 E 、 F 分别在 CD 、 90?

AB 上,且 EF ? CD , BE ? BC , BC ? 1 , CE ? 2 .现将矩形 ADEF 沿 EF 折 起,使平面 ADEF 与平面 EFBC 垂直. (Ⅰ)求证: CD ∥面 ABF ; (Ⅱ)当 AF 的长为何值时,二面角 A ? BC ? F 的大小为 30 ? .
F A F D D E C E (19)(本小题满分 12 分) 某研究性学习小组为了解学生每周用于体育锻炼时间的情况,在甲、乙两所学校随 机抽取了各 50 名学生,做问卷调查,并作出如下频率分布直方图:
频率 组距 0.32 0.24 0.20 0.12 0.08 0.04 频率 组距 0.28 0.24

A

B

B

C

y

y

0.08

x
5 6 7 8 9 10 11 时间(小时) 甲图

x O
5 6 7 8 9 10 11 时间(小时) 乙图

O

(Ⅰ)根据直方图计算:两所学校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数; (Ⅱ)在这 100 名学生中,要从每周用于体育锻炼时间不低于 10 小时的学生中选出 3 人,该 3 人中来自乙学校的学生数记为 X ,求 X 的分布列和数学期望.

理科数学试题 第 3 页(共 4 页)

(20)(本小题满分 12 分) 已知点 P (1,? ) 在椭圆 C :

3 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 ,过椭圆 C 的右焦点 F 且垂 a2 b2

直于椭圆长轴的弦长为 3. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 MN 是过椭圆 C 的右焦点 F 的动弦(非长轴) ,点 T 为椭圆 C 的左顶点, 记直线 TM , TN 的斜率分别为 k1 , k 2 .问 k1k 2 是否为定值?若为定值,请求出 定值;若不为定值,请说明理由. (21)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln( 1 ? x) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? g ( x) ,当 x ≥0 时,

x(1 ? tx) ,求 t 的最小值; 1 ? g ( x) 1 1 1 1 * ? ??? ?? ? ln 2 . (Ⅱ)当 n ? N 时,证明: n ?1 n ? 2 2n 4n
f ( x) ≤
请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。 如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方 框涂黑。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 A 如图,已知 D 点在⊙ O 直径 BC 的延长线上, E DA 切⊙ O 于 A 点, DE 是 ? ADB 的平分线, F 交 AC 于 F 点,交 AB 于 E 点. D B C (Ⅰ)求 ? AEF 的度数; O (Ⅱ)若 AB ? AD ,求

AD 的值. BD

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线

C : ? sin 2 ? ? 2cos? ,过定点 P(?2, ?4) 的直线 l 的参数方程为
? 2 t ? x ? ?2 ? ? 2 ,若直线 l 和曲线 C 相交于 M 、N 两点. (t为参数) ? ? y ? ?4 ? 2 t ? ? 2 (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;

(Ⅱ)证明: PM 、 MN 、 PN 成等比数列. (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? a ,其中 a 为实常数. (Ⅰ)若函数 f ( x) 的最小值为 2,求 a 的值; (Ⅱ)当 x ??0,1? 时,不等式 x ? 2 ≥ ? f ( x) 恒成立,求 a 的取值范围. 理科数学试题 第 4 页(共 4 页)

理科数学试题 第 5 页(共 4 页)

理科数学试题 第 6 页(共 4 页)

理科数学试题 第 7 页(共 4 页)

理科数学试题 第 8 页(共 4 页)

理科数学试题 第 9 页(共 4 页)

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