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高中数学大题规范解答-全得分系列之(七)空间向量在立体几何中的应用答题模板

利用空间向量证明空间中的线面关系,计算空间的各种角是高考对立体几何的常规考 法,它以代数运算代替复杂的想象,给解决立体几何带来了鲜活的方法.此类问题多以解 答题为主,难度中档偏上,主要考查空间坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用 能力,运算能力要求较高.

“大题规范解答——得全分”系列之(七)

空间向量在立体几何中的应用答题模板 [典例] (2012 安徽高考· 满分 12 分)平面图形 ABB1A1C1C 如图① 所示,其中 BB1C1C 是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC= 2,A1B1 =A1C1= 5,现将该平面图形分别沿 BC 和 B1C1 折叠,使△ABC 与 △A1B1C1 所在平面都与平面 BB1C1C 垂直,再分别连接 A1A,A1B, A1C,得到如图②所示的空间图形.对此空间图形解答下列问题. (1)证明:AA1⊥BC; (2)求 AA1 的长; (3)求二面角 A- A1 的余弦值. BC[教你快速规范审题] 1.审条件,挖解题信息 观察 四边形BB1C1C是矩形,平面ABC⊥平面BB1C1C, 取BC,B1C1的中点D,D1 ― → ― ― 连接DD― ― ― ― ― ― → ― ― 1 条件 平面A1B1C1⊥平面BB1C1C DD1,B1D1,A1D1两两垂直 2.审结论,明解题方向 观察 ― →(1)证明:AA1⊥BC, 结论 (2)求 AA1 的长, (3)求二面角 A-BC-A1 的余弦值― ― ― ― ― → 转化为向量运算解决 ― ― ― ― ― 正确写出相关点的坐标 3.建联系,找解题突破口 D1D,D1B1,D1A1 两两垂直,,BC=2,BB1 =4,AB=AC= 2 ,A1B1=A1C1= 5
需建立空间直角坐标系

― ― ― ― ― → ― ― ― ― ― 直线分别为z轴,x轴,y轴

以D1D,D1B1,D1A1所在

建立空间 正确写出相关点及 ―相关向量的坐标→ ― ― ― ― ― ― ― 直角坐标系

(1)证明 A1 A · =0, BC (2)计算 AA1=| AA1 |, (3)求平面法向量的夹角 ― → 得相应 结论

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[教你准确规范解题]

(1)证明:取 BC,B1C1 的中点分别为 D 和 D1 ,连接 A1D1 , DD1,AD. 由 BB1C1C 为矩形知,DD1⊥B1C1. 因为平面 BB1C1C⊥平面 A1B1C1, 所以 DD1⊥平面 A1B1C1.?(1 分) 又由 A1B1=A1C1 知,A1D1⊥B1C1.?(2 分) 故以 D1 为坐标原点,可建立如图所示的空间直角坐标系 D1- xyz.?(3 分) 由题设, 可得 A1D1=2,AD=1. 由以上可知 AD⊥平面 BB1C1C,A1D1⊥平面 BB1C1C, 于是 AD∥A1D1.?(4 分) 所以 A(0,-1,4),B(1,0,4),A1(0,2,0),C(-1,0,4),D(0,0,4), 故 AA1 =(0,3,-4), BC =(-2,0,0), AA1 · =0,?(5 分) BC 因此 AA1 ⊥ BC ,即 AA1⊥BC.?(6 分) (2)因为 AA1 =(0,3,-4), 所以| AA1 |=5,即 AA1=5.?(8 分) (3)设平面 A1BC 的法向量为 n1=(x1,y1,z1), 又因为 A1C =(-1,-2,4), A1 B =(1,-2,4),?(9 分)

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???? ? ? A1C · 1=0, n ? 所以? ???? ?(10 分) ? n ? A1 B · 1=0, ?
? ? ?x1+2y1-4z1=0, ?x1=0, 即? ?? ? ? ?x1-2y1+4z1=0 ?y1=2z1.

令 z1=1,则 n1=(0,2,1). 又因为平面 ABC⊥z 轴,所以取平面 ABC 的法向量为 n2=(0,0,1), n 1· 2 n 1 5 则 cos〈n1,n2〉= = = ,?(11 分) |n1|· 2| |n 5 5 所以二面角 A-BC-A1 的余弦值为- 5 .?(12 分) 5

[常见失分探因] 坐标系建立不当,不能准确地推证AD∥A1D1,导致点A的坐标求错. 不注意条件“z轴⊥平面ABC”的应用,增大运算量.

求出cos〈n1,n2〉=

5 后,不判断二面角大小直接得出结论从而失误. 5

—————————————[教你一个万能模板]——————————————— 第一步 理清题意 ― → 第二步 确定相关点的坐标 ― → 第三步 确立平面 的法向量 ― → 第四步 转化为向量 运算 ― → 第五步 问题还原 ― → 第六步 反思回顾 回顾检查建系过程、坐标是否有错及是否忽视了所求角的 范围而写错结论. 结合条件与图形,作出结论(注意角的范围). 将空间位置关系转化为向量关系,空间角转化为向量的夹角问题去 论证,求解. 利用点的坐标求出相关直线的方向向量和平面的法向量,若已知某直 线垂直某平面,可直接取直线的一个方向向量为该平面的法向量. 结合建系过程与图形,准确地写出相关点的坐标. 利用条件分析问题,建立恰当的空间直角坐标系.


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