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第1届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案(非数学类)


首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案 (非数学类,2009)
一、 填空题 y? ? ( x + y ) ln?1 + ? x? ? dxdy =_____________, 其中区域 D 由直线 x + y = 1 (1) 计算 ∫∫ D 1? x ? y 与两坐标轴所围三角形区域. ( 2 ) 设
f ( x) = 3 x 2 ? ∫ f ( x)dx ? 2 , 则
0 2

f ( x) 是 连 续 函 数 , 满 足

f ( x) =___________________.
(3) 曲面 z=

x2 + y2 ? 2 2

平行平面

2x + 2 y ? z = 0

的切平面方程是

________________________.
(4)设函数 y = y ( x) 由方程 xe
f ( y)

= e y ln 29 确定,其中 f 具有二阶导数,

d2y 且 f ′ ≠ 1 ,则 =____________________. dx 2
答案:

16 10 [1 ? f ′( y )]2 ? f ′′( y ) , 3x 2 ? , 2 x + 2 y ? z ? 5 = 0 , ? . 15 3 x 2 [1 ? f ′( y )]3

e x + e2 x + 二、求极限 lim( x →0 n

+ e nx

)

e x

,其中 n 是给定的正整数.

e e x + e2 x + 解:原式 = lim exp{ ln( x →0 x n = exp{lim
x →0

+ e nx

)}

e(ln(e x + e 2 x + x

+ e nx ) ? ln n)

}

其中大括号内的极限是

0 型未定式,由 L′Hospital 法则,有 0
+ e nx ) ? ln n) = lim e(e x + 2e x + x →0 e x + e2 x + + ne nx ) + e nx

lim
x →0

e(ln(e x + e 2 x + x

=

e(1 + 2 + n
原式= e
(

+ n)

=(

n +1 )e 2

于是

n +1 )e 2

.

三、 设函数 f ( x) 连续, g ( x) = ∫ f ( xt )dt , 且 lim
0

1

x →0

f ( x) 求 g ′( x) 并 = A , A 为常数, x

讨论 g ′( x) 在 x = 0 处的连续性. 解:由题设,知 f (0) = 0 , g (0) = 0 .

∫ 令 u = xt ,得 g ( x) =
从而
g ′( x ) =

x

0

f (u )du x
x 0 2

( x ≠ 0) ,

xf ( x) ? ∫ f (u )du x

( x ≠ 0)

由导数定义有

∫ g ′(0) = lim
x →0

x

0

f (u )du x
2

= lim
x →0

f ( x) A = 2x 2 f ( x) ∫ f (u)du = A ? A = A = g ′(0) , ? lim 0 2 x →0 x x 2 2
x

由于

lim g ′( x) = lim
x →0 x →0

xf ( x) ? ∫ f (u )du x
0 2

x

= lim
x →0

从而知 g ′( x) 在 x = 0 处连续. 四、已知平面区域 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ π } ,L 为 D 的正向边界,试证:
sin y ? sin x dx = (1) ∫ xe dy ? ye L

∫ xe
L

? sin y

dy ? yesin x dx ;

sin y ? sin x dx ≥ (2) ∫ xe dy ? ye L

5 2 π . 2

证法一:由于区域 D 为一正方形,可以直接用对坐标曲线积分的计算法计 算.

(1) 左边 =
右边 = 所以

sin y sin x ? sin x ? sin x ∫0 π e dy ? ∫π π e dx = π ∫0 (e + e )dx ,

π

0

π



π e? sin y dy ? ∫ π esin x dx = π ∫ (esin x + e? sin x )dx , 0 0 π

π

0

π

∫ xe
L

sin y

dy ? ye? sin x dx =
sin x

∫ xe
L

? sin y

dy ? yesin x dx

(2) 由于 e

+ e ? sin x ≥ 2 + sin 2 x ,


L

π 5 xesin y dy ? ye ? sin x dx = π ∫ (esin x + e? sin x )dx ≥ π 2 . 0 2

证法二: (1)根据 Green 公式,将曲线积分化为区域 D 上的二重积分

∫ xe
L

sin y

dy ? ye ? sin x dx = ∫∫ (esin y + e ? sin x )d δ
D

∫ xe
L

? sin y

dy ? ye

sin x

dx = ∫∫ (e ? sin y + esin x )d δ
D

因为 关于 y = x 对称,所以

∫∫ (e
D ? sin y

sin y

+ e ? sin x )d δ = ∫∫ (e ? sin y + esin x )d δ ,故
D sin x

∫ xe
L

sin y

dy ? ye

? sin x

dx =


∫ xe
L

dy ? ye

dx .

?t t (2) 由 e + e = 2∑

t 2n ≥ 2 + t2 n = 0 (2n)!

∫ xe
L

sin y

5 dy ? ye? sin x dx = ∫∫ (esin y + e? sin x )dδ = ∫∫ (esin x + e? sin x )dδ ≥ π 2 . 2 D D
x 2x

x ?x x 2x 五、已知 y1 = xe + e , y2 = xe + e , y3 = xe + e

? e ? x 是某二阶常系
2x

数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 解:根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识,由题设可知: e

?x x 与 e 是相应齐次方程两个线性无关的解,且 xe 是非齐次的一个特解.因此可

以用下述两种解法 解法一: 故此方程式 y′′ ? y′ ? 2 y = f ( x) 将 y = xe
x

代入上式,得

f ( x) = ( xe x )′′ ? ( xe x )′ ? 2 xe x = 2e x + xe x ? e x ? xe x ? 2 xe x = e x ? 2 xe x ,
x x 因此所求方程为 y′′ ? y′ ? 2 y = e ? 2 xe .

x 2x ?x 解法二:故 y = xe + c1e + c2 e ,是所求方程的通解, x x 2x ?x x x 2x ?x 由 y′ = e + xe + 2c1e ? c2 e , y′′ = 2e + xe + 4c1e + c2 e ,消去 c1 , c2 得所
x x 求方程为 y′′ ? y′ ? 2 y = e ? 2 xe . 2 六、设抛物线 y = ax + bx + 2 ln c 过原点,当 0 ≤ x ≤ 1 时, y ≥ 0 ,又已知该抛物

线与 x 轴及直线 x = 1 所围图形的面积为 旋转一周而成的旋转体的体积 V 最小. 解: 因抛物线过原点,故 c = 1

1 . 试确定 a, b, c, 使此图形绕 x 轴 3

a b 1 2 + = .即 b = (1 ? a) , 0 3 2 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 而 V = π ∫0 (ax + bx) dx = π [ a + ab + b ] 5 2 3 1 1 1 4 = π [ a 2 + a(1 ? a ) + ? (1 ? a ) 2 ] . 5 3 3 9 dv 2 1 2 8 = π [ a + ? a ? (1 ? a)] = 0 , 令 da 5 3 3 27 5 3 得 a = ? ,代入 b 的表达式 得 b = . 所以 y ≥ 0 , 4 2
由题设有

∫ (ax

1

2

+ bx)dx =

d 2v 2 2 8 4 5 3 = π[ ? + ] = π > 0 及实际情况, | 又因 当a = ? , b = , c =1 2 a =? 5 da 5 3 27 135 4 2 4
时,体积最小. 七、已知 un ( x) 满足

un′ ( x) = un ( x) + x n ?1e x ( n 为正整数) ,
e 且 un (1) = ,求函数项级数 n

∑ u ( x) 之和.
n =1 n
∞ n =1



解:先解一阶常系数微分方程,求出 un ( x) 的表达式,然后再求 ∑ un ( x) 的 和.
n ?1 x 由已知条件可知 un′ ( x) ? un ( x) = x e 是关于 un ( x) 的一个一阶常系数线

性微分方程,故其通解为
dx ? dx x un ( x) = e ∫ ( ∫ x n ?1e x e ∫ dx + c) = e x ( + c) , n n

由条件 un (1) =


e xnex u x = c = 0 ( ) ,得 ,故 n , n n
∞ ∞ xnex xn = ex ∑ . n n =1 n

从而

∑ un ( x ) = ∑
n =1 n =1

xn s ( x) = ∑ , 其 收 敛 域 为 n =1 n



[?1, 1) , 当

x ∈ (?1, 1) 时 , 有

s′( x) = ∑ x n ?1 =
n =1



1 , 1? x

故 s ( x) = ∫0

x

1 dt = ? ln(1 ? x) 1? t

当 x = ?1 时,

∑ u ( x ) = ?e
n =1 n



?1

ln 2 .

于是,当 ?1 ≤ x < 1 时,有

2

∑ u ( x) = ?e
n =1 n



x

ln(1 ? x) .

八、求 x → 1 ? 时,与 ∑ x n 等价的无穷大量.
n=0

解: ∫

+∞ 0

x t dt ≤ ∑ x n ≤ 1 + ∫
2 2



+∞ 0

xt dt ,
1 x

2

n =0


=

+∞ 0

xt dt = ∫
2

+∞ 0

e

? t 2 ln

dt

1 ln

1∫ x

+∞ 0

e ?t dt =

2

1 π 1 π ? . 1 2 ln 2 1? x x


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