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统计学(第五版)贾俊平 课后思考题和练习题答案(最终完整版)


统计学(第五版)贾俊平 课后思考题和练习题答案(最终完整版) 整理 by__kiss-ahuang

第一部分 思考题
第一章思考题 1.1 什么是统计学 统计学是关于数据的一门学科,它收集,处理,分析,解释来自各个领域的数据并从中得 出结论。 1.2 解释描述统计和推断统计 描述统计;它研究的是数据收集,处理,汇总,图表描述,概括与分析等统计方法。 推断统计;它是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。 1.3 统计学的类型和不同类型的特点 统计数据;按所采用的计量尺度不同分; (定性数据)分类数据:只能归于某一类别的非数字型数据,它是对事物进行分类的结果, 数据表现为类别,用文字来表述; (定性数据)顺序数据:只能归于某一有序类别的非数字型数据。它也是有类别的,但这 些类别是有序的。 (定量数据)数值型数据:按数字尺度测量的观察值,其结果表现为具体的数值。 统计数据;按统计数据都收集方法分; 观测数据:是通过调查或观测而收集到的数据,这类数据是在没有对事物人为控制的条件 下得到的。 实验数据:在实验中控制实验对象而收集到的数据。 统计数据;按被描述的现象与实践的关系分; 截面数据:在相同或相似的时间点收集到的数据,也叫静态数据。 时间序列数据:按时间顺序收集到的,用于描述现象随时间变化的情况,也叫动态数据。 1.4 解释分类数据,顺序数据和数值型数据 答案同 1.3 1.5 举例说明总体,样本,参数,统计量,变量这几个概念 对一千灯泡进行寿命测试,那么这千个灯泡就是总体,从中抽取一百个进行检测,这一百 个灯泡的集合就是样本,这一千个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的 数值就是参数,这一百个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是 统计量,变量就是说明现象某种特征的概念,比如说灯泡的寿命。 1.6 变量的分类 变量可以分为分类变量,顺序变量,数值型变量。 变量也可以分为随机变量和非随机变量。经验变量和理论变量。 1.7 举例说明离散型变量和连续性变量 离散型变量,只能取有限个值,取值以整数位断开,比如“企业数” 连续型变量,取之连续不断,不能一一列举,比如“温度” 。 1.8 统计应用实例 人口普查,商场的名意调查等。 1.9 统计应用的领域 经济分析和政府分析还有物理,生物等等各个领域。

第二章思考题 2.1 什么是二手资料?使用二手资料应注意什么问题 与研究内容有关, 由别人调查和试验而来已经存在, 并会被我们利用的资料为 “二手资料” 。 使用时要进行评估,要考虑到资料的原始收集人,收集目的,收集途径,收集时间使用时 要注明数据来源。 2.2 比较概率抽样和非概率抽样的特点,指出各自适用情况 概率抽样:抽样时按一定的概率以随机原则抽取样本。每个单位别抽中的概率已知或可以 计算,当用样本对总体目标量进行估计时,要考虑到每个单位样本被抽到的概率。技术含 量和成本都比较高。如果调查目的在于掌握和研究对象总体的数量特征,得到总体参数的 置信区间,就使用概率抽样。 非概率抽样:操作简单,时效快,成本低,而且对于抽样中的统计学专业技术要求不是很 高。它适合探索性的研究,调查结果用于发现问题,为更深入的数量分析提供准备。它同 样使用市场调查中的概念测试(不需要调查结果投影到总体的情况) 。 2.3 除了自填式,面访式和电话式还有什么搜集数据的办法 试验式和观察式等 2.4 自填式,面访式和电话式各自的长处和弱点 自填式;优点:1 调查组织者管理容易 2 成本低,可进行大规模调查 3 对被调查者,可选择 方便时间答卷,减少回答敏感问题压力。缺点:1 返回率低 2 不适合结构复杂的问卷,调查 内容有限 3 调查周期长 4 在数据搜集过程中遇见问题不能及时调整。 面访式;优点:1 回答率高 2 数据质量高 3 在调查过程中遇见问题可以及时调整。缺点:1 成本比较高 2 搜集数据的方式对调查过程的质量控制有一定难度 3 对于敏感问题,被访者 会有压力。 电话式;优点:1 速度快 2 对调查员比较安全 3 对访问过程的控制比较容易。缺点:1 实施 地区有限 2 调查时间不能过长 3 使用的问卷要简单 4 被访者不愿回答时,不易劝服。 2.5 老师说这个内容不讲,应该不会考实验数据的 2.6 如何控制调查中的回答误差 对于理解误差,我会去学习一定的心理学知识,对于记忆误差,我会尽量去缩短所涉及的 时间范围,对于有意识的误差,我要做好被调查者的心理工作,要遵守职业道德,为被调 查者保密,尽量在问卷中不涉及敏感问题。 2.7 怎么减少无回答 对于随机误差,要提高样本容量,对于系统误差,只有做好准备工作并做好补救措施。比 如说要一百份的问卷回复,就要做好一百二十到一百三十的问卷准备,进行面访式的时候 要尽量的劝服不愿意回答的被访者,以小物品的馈赠提高回复率。

第三章思考题 3.1 数据预处理内容 数据审核(完整性和准确性;适用性和实效性) ,数据筛选和数据排序。 3.2 分类数据和顺序数据的整理和图示方法各有哪些 分类数据:制作频数分布表,用比例,百分比,比率等进行描述性分析。可用条形图,帕 累托图和饼图进行图示分析。

顺序数据:制作频数分布表,用比例,百分比,比率。累计频数和累计频率等进行描述性 分析。可用条形图,帕累托图和饼图,累计频数分布图和环形图进行图示分析。 3.3 数据型数据的分组方法和步骤 分组方法:单变量值分组和组距分组,组距分组又分为等距分组和异距分组。 分组步骤:1 确定组数 2 确定各组组距 3 根据分组整理成频数分布表 3.4 直方图和条形图的区别 1 条形图使用图形的长度表示各类别频数的多少, 其宽度固定, 直方图用面积表示各组频数, 矩形的高度表示每一组的频数或频率,宽度表示组距,2 直方图各矩形连续排列,条形图分 开排列,3 条形图主要展示分类数据,直方图主要展示数值型数据。 3.5 绘制线图应注意问题 时间在横轴,观测值绘在纵轴。一般是长宽比例 10:7 的长方形,纵轴下端一般从 0 开始, 数据与 0 距离过大的话用折断符号折断。 3.6 饼图和环形图的不同 饼图只能显示一个样本或总体各部分所占比例,环形图可以同时绘制多个样本或总体的数 据系列,其图形中间有个“空洞” ,每个样本或总体的数据系类为一个环。 3.7 茎叶图比直方图的优势,他们各自的应用场合 茎叶图既能给出数据的分布情况,又能给出每一个原始数据,即保留了原始数据的信息。 在应用方面,直方图通常适用于大批量数据,茎叶图适用于小批量数据。 3.8 鉴别图标优劣的准则 P75 明确有答案,我就不写了。 3.9 制作统计表应注意的问题 1,合理安排统计表结构 2 表头一般包括表号,总标题和表中数据的单位等内容 3 表中的上 下两条横线一般用粗线,中间的其他用细线 4 在使用统计表时,必要时可在下方加注释, 注明数据来源。 公式: 组中值=(上限+下限)/2

第4章 数据的概括性度量 4.1 一组数据的分布特征可以从哪几个方面进行测度? 数据分布特征可以从三个方面进行测度和描述:一是分布的集中趋势,反映各数据向 其中心值靠拢或集中的程度;二是分布的离散程度,反映各数据远离其中心值的趋势;三 是分布的形状,反映数据分布的偏态和峰态。 4.2 怎样理解平均数在统计学中的地位? 平均数在统计学中具有重要的地位,是集中趋势的最主要的测度,主要适用于数值型 数据,而不适用于分类数据和顺序数据。 4.3 简述四分位数的计算方法。 四分位数是一组数据排序后处于 25%和 75%位置上的值。根据未分组数据计算四分位数 时,首先对数据进行排序,然后确定四分位数所在的位置,该位置上的数值就是四分位数。 4.4 对于比率数据的平均为什么采用几何平均? 在实际应用中,对于比率数据的平均采用几何平均要比算数平均更合理。从公式 中也可看出,G 就是平均增长率。 ( ( ?G)? ? 1 ? Gi) 1
n i ?1 n

4.5 简述众数、中位数和平均数的特点和应用场合。

众数是一组数据分布的峰值,不受极端值的影响,缺点是具有不唯一性。众数只有在 数据量较多时才有意义,数据量较少时不宜使用。主要适合作为分类数据的集中趋势测度 值。 中位数是一组数据中间位置上的代表值,不受极端值的影响。当数据的分布偏斜较大 时,使用中位数也许不错。主要适合作为顺序数据的集中趋势测度值。 平均数对数值型数据计算的,而且利用了全部数据信息,在实际应用中最广泛。当数 据呈对称分布或近似对称分布时,三个代表值相等或相近,此时应选择平均数。但平均数 易受极端值的影响,对于偏态分布的数据,平均数的代表性较差,此时应考虑中位数或众 数。 4.6 简述异众比率、四分位差、方差或标准差的适用场合 对于分类数据,主要用异众比率来测量其离散程度;对于顺序数据,虽然也可以计算 异众比率,但主要使用四分位差来测量其离散程度;对于数值型数据,虽然可以计算异众 比率和四分位差,但主要使用方差或标准差来测量其离散程度。 4.7 标准分数有哪些用途? 标准分数给出了一组数据中各数值的相对位置。在对多个具有不同量纲的变量进行处 理时,常需要对各变量进行标准化处理。它还可以用来判断一组数据是否有离群数据。 4.8 为什么要计算离散系数? 方差和标准差是反映数据分散程度的绝对值,一方面其数值大小受原变量值本身水平 高低的影响,也就是与变量的平均数大小有关;另一方面,它们与原变量的计量单位相同, 采用不同计量单位的变量值,其离散程度的测度值也就不同。因此,为消除变量值水平高 低和计量单位不同对离散程度测度值的影响,需要计算离散系数。 4.9 测度数据分布形状的统计量有哪些? 对分布形状的测度有偏态和峰态,测度偏态的统计量是偏态系数,测度峰态的统计量 是峰态系数。

第五章 概率与概率分布 5.1 频率与概率有什么关系? 在相同条件下随机试验 n 次,某事件 A 出现 m 次,则比值 m/n 称为事件 A 发生的频率。 随着 n 的增大,该频率围绕某一常数 p 波动,且波动幅度逐渐减小,趋于稳定,这个频率 的稳定值即为该事件的概率。 5.2 独立性与互斥性有什么关系? 互斥事件一定是相互依赖(不独立)的,但相互依赖的事件不一定是互斥的。 不互斥事件可能是独立的,也可能是不独立的,但独立事件不可能是互斥的。 5.3 根据自己的经验体会举几个服从泊松分布的随机变量的实例。 如某种仪器每月出现故障的次数、一本书一页中的印刷错误、某一医院在某一天内的 急诊病人数等 5.4 根据自己的经验体会举几个服从正态分布的随机变量的实例。 如某班某次的考试成绩、某地区成年男性的身高、某公司年销售量、同一车间产品的 质量等 第六章思考题 6.1 统计量:设 X1,X2?,Xn 是从总体 X 中抽取的容量为 n 的一个样本,如果由此样本构造 一个函数 T(X1,X2?,Xn) ,不依赖于任何未知参数,则称函数 T(X1,X2?,Xn)是一个统计

量。 原因:为了使统计推断成为可能。 6.2 T1 和 T2 是 6.3 P159 6.4 统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量为充分统计量 6.5 自由度:独立变量的个数 X ?? Z? ~ N (0,,1) ~ N (01) 6.6 ?2 分布:设 X ~ N (,则 2 ) ?,?

?

F 分布:设若 U 为服从自由度为 n1 的 ?2 分布,即 U~?2(n1),V 为服从自由度为 n2 的 ?2 2 分布,即 V~? (n2),且 U 和 V 相互独立,则

F?

U n1 1 V n2 2

F ~ F (n1 , n2 ) 1 2

称 F 为服从自由度 n1 和 n2 的 F 分布,记为 6.7 抽样分布:样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是 样本统计量 2 6.8 中心极限定理:设从均值为 ?,方差为 ? 的一个任意总体中抽取容量为 n 的样本, 2 当 n 充分大时,样本均值的抽样分布近似服从均值为 μ 、方差为 σ /n 的正态分布

第七章思考题 7.1 估计量:用于估计总体参数的随机变量 估计值:估计参数时计算出来的统计量的具体值 7.2 评价估计量的标准: 无偏性:估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数 有效性:对同一总体参数的两个无偏点估计量 ,有更小标准差的估计量更有效 一致性:随着样本容量的增大,估计量的 值越来越接近被估计的总体参数 7.3 置信区间:由样本统计量所构造的总体参数的估计区间 7.4 95%的置信区间指用某种方法构造的所有区间中有 95%的区间包含总体参数的真值。 7.5 含义: Za/2 是标准正态分布上侧面积为 a/2 的 z 值,公式是统计总体均值时的边际误差。 7.6 独立样本:如果两个样本是从两个总体中独立抽取的,即一个样本中的元素与另一个 样本中的元素相互独立。 匹配样本:一个样本中的数据与另一个样本中的数据相对应。 7.7 (1)、两个总体都服从正态分布 (2)、两个随即样本独立地分别抽自两个总体 7.8 样本量越大置信水平越高,总体方差和边际误差越小

第 8 章思考题 8.1 假设检验和参数估计有什么相同点和不同点? 答:参数估计和假设检验是统计推断的两个组成部分,它们都是利用样本对总体进行某种 推断,然而推断的角度不同。参数估计讨论的是用样本统计量估计总体参数的方法,总体 参数μ 在估计前是未知的。而在参数假设检验中,则是先对μ 的值提出一个假设,然后利 用样本信息去检验这个假设是否成立。 8.2 什么是假设检验中的显著性水平?统计显著是什么意思?

答:显著性水平是一个统计专有名词,在假设检验中,它的含义是当原假设正确时却被拒 绝的概率和风险。 统计显著等价拒绝 H0, 指求出的值落在小概率的区间上, 一般是落在 0.05 或比 0.05 更小的显著水平上。 8.3 什么是假设检验中的两类错误? 答:假设检验的结果可能是错误的,所犯的错误有两种类型,一类错误是原假设 H0 为真却 被我们拒绝了,犯这种错误的概率用 α 表示,所以也称 α 错误或弃真错误;另一类错误 是原假设为伪我们却没有拒绝,犯这种错误的概论用 β 表示,所以也称 β 错误或取伪错 误。 8.4 两类错误之间存在什么样的数量关系? 答:在假设检验中,α 与 β 是此消彼长的关系。如果减小 α 错误,就会增大犯 β 错误的 机会,若减小 β 错误,也会增大犯 α 错误的机会。 8.5 解释假设检验中的 P 值 答:P 值就是当原假设为真时所得到的样本观察结果或更极端结果出现的概率。 (它的大小 取决于三个因素,一个是样本数据与原假设之间的差异,一个是样本量,再一个是被假设 参数的总体分布。 ) 8.6 显著性水平与 P 值有何区别 答:显著性水平是原假设为真时,拒绝原假设的概率,是一个概率值,被称为抽样分布的 拒绝域,大小由研究者事先确定,一般为 0.05。而 P 只是原假设为真时所得到的样本观察 结果或更极端结果出现的概率,被称为观察到的(或实测的)显著性水平 8.7 假设检验依据的基本原理是什么? 答:假设检验依据的基本原理是“小概率原理” ,即发生概率很小的随机事件在一次试验中 是几乎不可能发生的。根据这一原理,可以作出是否拒绝原假设的决定。 8.8 你认为单侧检验中原假设与备择假设的方向如何确定? 答:将研究者想收集证据予以支持的假设作为备择假设 H1,将研究者想收集证据证明其不 正确的假设作为原假设 H0,先确立备择假设 H1,备择假设的方向与想要证明其正确性的方向 一致,原假设与备择假设是互斥的,等号总在原假设上。 (举例说明,如下: “一项研究表 明,采用新技术生产后,将会使产品的使用寿命明显延长到 1500 小时以上。检验这一结论 是否成立” ,则备择假设的方向为“>”(寿命延长),建立的原假设与备择假设应为 H0:μ ≤1500,H1:μ >1500.又例, “一项研究表明,改进生产工艺后,会使产品的废品率降低到 2%以下。检验这一结论是否成立” ,则备择假设的方向为“<”(废品率降低),建立的原假 设与备择假设应为 H0: μ ≥2% ,H1: μ < 2%.)

第 10 章思考题 10.1 什么是方差分析?它研究的是什么? 答:方差分析就是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是 否有显著影响。它所研究的是非类型自变量对数值型因变量的影响。 10.2 要检验多个总体均值是否相等时,为什么不作两两比较,而用方差分析方法? 答:作两两比较十分繁琐,进行检验的次数较多,随着增加个体显著性检验的次数,偶然 因素导致差别的可能性也会增加。而方差分析方法则是同时考虑所有的样本,因此排除了 错误累积的概率,从而避免拒绝一个真实的原假设。 10.3 方差分析包括哪些类型?它们有何区别? 答:方差分析可分为单因素方差分析和双因素方差分析。区别:单因素方差分析研究的是 一个分类型自变量对一个数值型因变量的影响,而双因素涉及两个分类型自变量。

10.4 方差分析中有哪些基本假定? 答:方差分析中有三个基本假定: (1) 每个总体都应服从正态分布 2 (2) 各个总体的方差σ 必须相同 (3) 观测值是独立的 10.5 简述方差分析的基本思想。 答: 它是通过对数据误差来源的分析来判断不同总体的均值是否相等,进而分析自变量对 因变量是否有显著影响。 10.6 解释因子与处理的含义。 答:在方差分析中,所要检验的对象称为因素或因子,因素的不同表现称为水平或处理。 10.7 解释组内误差和组间误差的含义。 答:组内误差(SSE)是指每个水平或组的个样本数据与其组平均值误差的平方和,反映了 每个样本各观测值的离散状况;组间误差(SSA)是指各组平均值 X i 与总平均值的误差平 方和,反映各样本均值之间的差异程度。 10.8 解释组内方差和组间方差的含义。 答:组内方差指因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差,组间方差指因素的不同 水平(不同总体)下各样本之间的方差。 10.9 简述方差分析的基本步骤。 答: (1)提出假设(一般提法形式如下:H0:μ 1=μ 2=μ 3=?=μ i=?.μ k,自变量对因变量没有 显著影响, H1:μ i (i=1,2,3?..,k)不全相等,自变量对因变量有显著影响) (2)构造检验统计量(包括:计算各样本的均值,计算全部观测值的总均值,计算各误差 平方和,计算统计量) (3)统计决策。 (将统计量的值 F 与给定的显著性水平 ? 的临界值 F? 进行比较,作出对原 假设 H0 的决策) 10.10 方差分析中多重比较的作用是什么? 答:通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验到底哪些均值之间存在差异。 10.11 什么是交互作用? 答:交互作用是指几个因素搭配在一起会对因变量产生一种新的效应的作用。 10.12 解释无交互作用和有交互作用的双因素方差分析。 答:在双因素方差分析中,如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的,分别判断行因 素和列因素对试验数据的影响,这时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析 或无重复双因素方差分析;如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影响外,两个因素 的搭配还会对结果产生一种新的影响,这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方 差分析或可重复双因素方差分析。 2 10.13 解释 R 的含义和作用。 2 答:自变量平方和占总平方和的比例记为 R ,即
R2 ? SSA(组间SS) SST(总SS)

作用:其平方根 R 就可以用来测量两个变量之间的关系强度。 10.14 解释试验、试验设计、试验单元的含义。 答:试验是指收集样本数据的过程。试验设计是指收集样本数据的计划。试验单元是指接 受“处理”的对象或实体( “处理”指可控制的因素的各个水平)

10.15 简述完全随机化设计、随机化区组设计、因子设计的含义和区别。 答:完全随机化设计是将 k 种“处理”随机地指派给试验单元的设计。随机化区组设计是 先按一定规则将试验单元划分为若干同质组,称为“区组” ,然后再将各种处理随机地指派 给各个区组。因子设计指考虑两个因素(可推广到多个因素)的搭配试验设计。

第 13 章思考题 13.1 简述时间序列的构成要素。 时间序列的构成要素:趋势,季节性,周期性,随机性 13.2 利用增长率分析时间序列时应注意哪些问题。 (1)当时间序列中的观察值出现 0 或负数时,不宜计算增长率; (2)不能单纯就增长率论增长率,要注意增长率与绝对水平的综合分析;大的增长率背后, 其隐含的绝对值可能很小,小的增长率背后其隐含的绝对值可能很大。 13.3 简述平稳序列和非平稳序列的含义。 1.平稳序列(stationary series) 基本上不存在趋势的序列,各观察值基本上在某个固定的水平上波动或虽有波动,但并不 存在某种规律,而其波动可以看成是随机的 2.非平稳序列 (non-stationary series) 是包含趋势、季节性或周期性的序列,它可能只含有其中的一种成分,也可能是几种成分 的组合。因此,非平稳序列又可以分为有趋势的序列、有趋势和季节性的序列、几种成分 混合而成的复合型序列。 13.4 简述时间序列的预测程序。 第一步:确定时间序列所包含的成分,也就是确定时间序列的类型。 第二步:找出适合此类时间序列的预测方法。 第三步:对可能的预测方法进行评估,以确定最佳预测方案。 第四步:利用最佳预测方案进行预测。 13.5 简述指数平滑法的含义。 1.是加权平均的一种特殊形式 2.对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法 3.观察值时间越远,其权数也跟着呈现指数的下降,因而称为指数平滑 4.有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等 5.该方法使用第 T+1 期的预测值等于 T 期的实际观测值与第 T 期预测值的加权平均值 6.一次指数平滑法也可用于对时间序列进行修匀,以消除随机波动,找出序列的变化趋势 13.6 简述复合型序列预测的步骤 第一步:确定并分离季节成分,计算季节指数,以确定时间序列中的季节成分。然后将季 节性因素从时间序列中分离出去,以便观察和分析时间序列的其他特征。 第二步:对消除了季节成分的时间序列建立适当预测模型,并进行预测。 第三步:计算出最后的预测值。用预测值乘以相应的季节指数,得到最终的预测值 13.7 简述季节指数的计算步骤 1.计算移动平均值(季度数据采用 4 项移动平均,月份数据采用 12 项移动平均),并将其结 果进行“中心化”处理 (将移动平均的结果再进行一次二项的移动平均,即得出“中心化移动平均值”(CMA)) 2.计算移动平均的比值,也成为季节比率 (即将序列的各观察值除以相应的中心化移动平均值,然后再计算出各比值的季度(或月份)

平均值,即季节指数) 3.季节指数调整 (各季节指数的平均数应等于 1 或 100%, 若根据第二步计算的季节比率的平均值不等于 1 时, 则需要进行调整。具体方法是:将第二步计算的每个季节比率的平均值除以它们的总平均 值)

第 14 章思考题 14.1 解释指数的含义。 答:指数最早起源于测量物价的变动。 广义上,是指任何两个数值对比形成的相对数; 狭义上,是指用于测定多个项目在不同场合下综合变动的一种特殊相对数。实际应用中使 用的主要是狭义的指数。 14.2 加权综合指数和加权平均指数有何区别与联系? 加权综合指数:通过加权来测定一组项目的综合变动,有加权数量指数和加权质量指数。使 用条件:必须掌握全面数据(数量指数,测定一组项目的数量变动,如产品产量 指数,商品销售量指数等)(质量指数,测定一组项目的质量变动,如价格指数、产 品成本指数等) 拉式公式:将权数的各变量值固定在基期。 帕式公式:把作为权数的变量值固定在报告期。 加权平均指数:以某一时期的总量为权数对个体指数加权平均。 使用条件: 可以是全面数据、 不完全数据。因权数所属时期的不同,有不同的计算形式。有:算术平均形式、调和平均 形 14.3 解释零售价格指数、消费价格指数、生产价格指数、股票价格指数。 答:零售价格指数:反映城乡商品零售价格变动趋势的一种经济指数。 消费价格指数:反映一定时期内消费者所购买的生活消费品价格和服务项目价格的变动趋 势和程度的一种相对数。 生产价格指数: 测量在初级市场上出售的货物(即在非零售市场上首次购买某种商品时) 的价格变动的一种价格指数。 股票价格指数:反映某一股票市场上多种股票价格变动趋势的一种相对数,简称股价指数。 其单位一般用“点”(point)表示,即将基期指数作为 100,每上升或下降一个单位称为“1 点”。 14.4 消费价格指数有哪些作用? 答:消费价格指数除了能反映城乡居民所购买的生活消费品价格和服务项目价格的变动趋 势和程度外,还具有以下几个方面的作用: (1)用于反映通货膨胀状况 (2)用于反映货币购买力变动 (3)用于反映对职工实际工资的影响 (4)用于缩减经济序列 14.5 在构建多指标综合评价指数时,指标的转换方法有哪几种形式? 答:有以下 3 种形式: (1)统计标准化。 (2)极值标准化。 (3)定基与环比转换。

具体公式见书上 P440. 补充: 1.什么是指数体系? 答:指数体系是指由总量指数及其若干个因素指数构成的数量关系式。 总量指数等于各因素指数的乘积 总量的变动差额等于各因素指数变动差额之和 两个因素指数中通常一个为数量指数,另一个为质量指数 各因素指数的权数必须是不同时期的 2.什么是加权综合指数体系? 答:由加权综合指数及其各因素指数构成的等式。 比较常用的是基期权数加权的数量指数和报告期权数加权的质量指数形成的指数体系。

第二部分:练习题
3.1 为评价家电行业售后服务的质量,随机抽取了由 100 个家庭构成的一个样本。 服务质量的等级分别表示为:A.好;B.较好;C 一般;D.较差;E.差。调查结果如下: B D A B C D B B A C E A D A B A E A D B C C B C C C C C B C C B C D E B C E C E A C C E D C A E C D D D A A B D D A A B C E E B C E C B E C B C D D C C B D D C A E C D B E A D C B E E B C C B E C B C

要求: (1)指出上面的数据属于什么类型。 顺序数据 (2)用 Excel 制作一张频数分布表。 用数据分析——直方图制作: 接收 E D C B A 频率 16 17 32 21 14

(3)绘制一张条形图,反映评价等级的分布。 用数据分析——直方图制作:

直方图 40

频率

20 0 E D C 接收 B A

频率

(4)绘制评价等级的帕累托图。 逆序排序后,制作累计频数分布表: 接收 频数 频率(%) 累计频率(%) C B D E A 32 21 17 16 14 32 21 17 16 14 32 53 70 86 100

35 30 25 20 15 10 5 0 C D B A E

120 100 80 60 40 20 0 频数 累计频率(%)

3.2 某行业管理局所属 40 个企业 2002 年的产品销售收入数据如下: 152 105 117 97 124 119 108 88 129 114 105 123 116 115 110 115 100 87 107 119 103 103 137 138 92 118 120 112 95 142 136 146 127 135 117 113 104 125 108 126

要求: (1)根据上面的数据进行适当的分组,编制频数分布表,并计算出累积频数和累积频率。 1、确定组数:

K ?1 ?

l g? 4 ? 0 l gn ) ( 1.60206 ?1 ? ? ? 1 ? . 3 2 k=6 6 ,取 lg(2) lg 2 0.30103

2、确定组距:

组距=( 最大值 - 最小值)÷ 组数=(152-87)÷6=10.83,取 10 3、分组频数表 销售收入
80.00 - 89.00 90.00 - 99.00 100.00 - 109.00 110.00 - 119.00 120.00 - 129.00 130.00 - 139.00 140.00 - 149.00 150.00+ 总和

频数
2 3 9 12 7 4 2 1 40

频率%
5.0 7.5 22.5 30.0 17.5 10.0 5.0 2.5 100.0

累计频数
2 5 14 26 33 37 39 40

累计频率%
5.0 12.5 35.0 65.0 82.5 92.5 97.5 100.0

(2)按规定, 销售收入在 125 万元以上为先进企业, 115~125 万元为良好企业, 105~115 万元为一般企业,105 万元以下为落后企业,按先进企业、良好企业、一般企业、落后企业 进行分组。
频数 先进企业 良好企业 一般企业 落后企业 总和 10 12 9 9 40 频率% 25.0 30.0 22.5 22.5 100.0 累计频数 10 22 31 40 累计频率% 25.0 55.0 77.5 100.0

3.3 某百货公司连续 40 天的商品销售额如下: 单位:万元 41 46 35 42 25 36 28 36 29 45 46 37 47 37 34 37 38 37 30 49 34 36 37 39 30 45 44 42 38 43 26 32 43 33 38 36 40 44 44 35

要求:根据上面的数据进行适当的分组,编制频数分布表,并绘制直方图。 1、确定组数:

K ?1 ?

l g? 4 ? 0 l gn ) ( 1.60206 ?1 ? ? ? 1 ? . 3 2 k=6 6 ,取 lg(2) lg 2 0.30103

2、确定组距: 组距=( 最大值 - 最小值)÷ 组数=(49-25)÷6=4,取 5 3、分组频数表
销售收入(万元) <= 25 26 - 30 31 - 35 36 - 40 41 - 45 频数 1 5 6 14 10 频率% 2.5 12.5 15.0 35.0 25.0 累计频数 1 6 12 26 36 累计频率% 2.5 15.0 30.0 65.0 90.0

46+ 总和

4 40

10.0 100.0

40

100.0

频数 16 14 12 10 8 6 4 2 0
<= 25 26 - 30 31 - 35 36 - 40 41 - 45 46+

频数

频数

销售收入

3.4 利用下面的数据构建茎叶图和箱线图。 57 23 35 18 21 21 29 47 51 26 46 43 29 23 39 50 41 19 36 28 18 29 52 42 31 28 46 33 28 20

60

50

40

30

20

10 data

data Stem-and-Leaf Plot Frequency 3.00 5.00 7.00 2.00 3.00 3.00 3.00 3.00 1.00 Stem width: Each leaf: Stem & 1 . 2 . 2 . 3 . 3 . 4 . 4 . 5 . 5 . Leaf 889 01133 6888999 13 569 123 667 012 7 10 1 case(s)

3.6一 种 袋 装 食 品 用 生 产 线 自 动 装 填 ,每 袋 重 量 大 约 为 50g,但 由 于 某 些 原 因 , 每 袋 重 量 不 会 恰 好 是 50g 。 下 面 是 随 机 抽 取 的 100 袋 食 品 , 测 得 的 重 量 数 据 如 下: 单位:g 57 46 49 54 55 58 49 61 51 49 51 60 52 54 51 55 60 56 47 47

53 51 48 53 50 52 40 45 57 53 52 51 46 48 47 53 47 53 44 47 50 52 53 47 45 48 54 52 48 46 49 52 59 53 50 43 53 46 57 49 49 44 57 52 42 49 43 47 46 48 51 59 45 45 46 52 55 47 49 50 54 47 48 44 57 47 53 58 52 48 55 53 57 49 56 56 57 53 41 48 要求: (1)构 建 这 些 数 据 的 频 数 分 布 表 。 (2)绘 制 频 数 分 布 的 直 方 图 。 (3)说 明 数 据 分 布 的 特 征 。 解:(1)根据上面的数据进行适当的分组,编制频数分布表,并计算出累积频数和累积频率。 1、确定组数:

K ?1 ?

l g? 1 0?0 l gn ) ( 2 ?1 ? ? ? 1 ? . 6 4 k=6 或 7 6 ,取 lg(2) lg 2 0.30103

2、确定组距: 组距=( 最大值 - 最小值)÷ 组数=(61-40)÷6=3.5,取 3 或者 4、5 组距=( 最大值 - 最小值)÷ 组数=(61-40)÷7=3, 3、分组频数表
组距 3,上限为小于 频数 有效 40.00 - 42.00 43.00 - 45.00 46.00 - 48.00 49.00 - 51.00 52.00 - 54.00 55.00 - 57.00 58.00+ 合计 3 9 24 19 24 14 7 100 百分比 3.0 9.0 24.0 19.0 24.0 14.0 7.0 100.0 累计频数 3 12 36 55 79 93 100 累积百分比 3.0 12.0 36.0 55.0 79.0 93.0 100.0

直方图:

组距3,小于

30

20

Frequency
10

Mean =5.22 Std. Dev. =1.508 N =100 0 0 2 4 6 8 10

组距3,小于

组距 4,上限为小于等于 频数 有效 <= 40.00 41.00 - 44.00 45.00 - 48.00 49.00 - 52.00 53.00 - 56.00 57.00 - 60.00 61.00+ 合计 1 7 28 28 22 13 1 100 百分比 1.0 7.0 28.0 28.0 22.0 13.0 1.0 100.0 累计频数 1 8 36 64 86 99 100 累积百分比 1.0 8.0 36.0 64.0 86.0 99.0 100.0

直方图:

组距4,小于等于

40

30

Frequency

20

10

Mean =4.06 Std. Dev. =1.221 N =100 0 0 2 4 6 8

组距4,小于等于

组距 5,上限为小于等于 频数 有效 <= 45.00 46.00 - 50.00 51.00 - 55.00 56.00 - 60.00 61.00+ 合计 12 37 34 16 1 100 百分比 12.0 37.0 34.0 16.0 1.0 100.0 累计频数 12.0 49.0 83.0 99.0 100.0 累积百分比 12.0 49.0 83.0 99.0 100.0

直方图:

组距5,小于等于

50

40

Frequency

30

20

10 Mean =2.57 Std. Dev. =0.935 N =100 0 0 1 2 3 4 5 6

组距5,小于等于
分布特征:左偏钟型。

3.8 下 面 是 北 方 某 城 市 1— — 2月 份 各 天 气 温 的 记 录 数 据 : -3 2 -4 -7 -11 -1 7 14 6 -8 -14 -18 -8 -6 -22 -15 -12 -15 -13 -9 -16 -11 -9 -6 -19 -12 -6 -1 -15 -19 0 -1 0 -22 -25 -1 7

8 5 -25 -24 5 5

9 -4 -24 -18 -4 -6

-6 -9 -19 -17 -9 -5

-3 2 -4 -4 -16 要求: (1)指 出 上 面 的 数 据 属 于 什 么 类 型 。 数值型数据 (2)对 上 面 的 数 据 进 行 适 当 的 分 组 。 1、确定组数:

K ?1 ?

l g? 6 ? 0 l gn ) ( 1.778151 ,取 ?1 ? ? ? 1 ? . 9 0 9 8 9 k=7 6 lg(2) lg 2 0.30103

2、确定组距: 组距=( 最大值 - 最小值)÷ 组数=(14-(-25))÷7=5.57,取 5

3、分组频数表
温度 -25 - -21 -20 - -16 -15 - -11 -10 - -6 -5 - -1 0-4 5-9 10+ 合计 频数 6 8 9 12 12 4 8 1 60 频率% 10.0 13.3 15.0 20.0 20.0 6.7 13.3 1.7 100.0 累计频数 6 14 23 35 47 51 59 60 累计频率% 10.0 23.3 38.3 58.3 78.3 85.0 98.3 100.0

(3)绘 制 直 方 图 , 说 明 该 城 市 气 温 分 布 的 特 点 。

频数 14 12 10 8 6 4 2 0
-25 - -21 -20 - -16 -15 - -11 -10 - -6 -5 - -1 0 - 4 5 - 9 10+

12 9

12

8 6

8 频数 4 1

3.11 对于下面的数据绘制散点图。 x y 解: 2 25 3 25 4 20 1 30 8 16 7 18

35 30 25 20 15 10 5 0 0 2 4 x 6 8 10

3. 12

y

甲乙两个班各有40名学生, 期末统计学考试成绩的分布如下:
考试成绩 优 良 中 及格 不及格 人数 甲班 3 6 18 9 4 乙班 6 15 9 8 2

要求: (1)根 据 上 面 的 数 据 , 画 出 两 个 班 考 试 成 绩 的 对 比 条 形 图 和 环 形 图 。

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

18 15 人数 甲班 人数 乙班 4 2

9 6 3 6

9

8







及格

不及格

2 8 9 4 3

6 6 优 良 中 及格 不及格

9

18

15

(2)比 较 两 个 班 考 试 成 绩 分 布 的 特 点 。 甲班成绩中的人数较多, 分和低分人数比乙班多, 班学习成绩较甲班好, 高 乙 高分较多,而低分较少。 (3)画 出 雷 达 图 , 比 较 两 个 班 考 试 成 绩 的 分 布 是 否 相 似 。

不及格

优 20 15 10 5 0

良 人数 甲班 人数 乙班

及格



分布不相似。

3.14 已 知 1995— 2004年 我 国 的 国 内 生 产 总 值 数 据 如 下 (按 当 年 价 格 计 算 ): 单位:亿元 国内生产总值 年份 第一产业 第二产业 第三产业

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

58478.1 67884.6 74462.6 78345.2 82067.5 89468.1 97314.8 105172.3 117390.2 136875.9

11993 13844.2 14211.2 14552.4 14471.96 14628.2 15411.8 16117.3 16928.1 20768.07

28538 33613 37223 38619 40558 44935 48750 52980 61274 72387

17947 20428 23029 25174 27038 29905 33153 36075 39188 43721

要求: (1)用Excel绘制国内生产总值的线图。

国内生产总值 160000 140000 120000 100000 80000 60000 40000 20000 0

国内生产总值

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

(2)绘制第一、二、三产业国内生产总值的线图。

80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 0

2004

第一产业 第二产业 第三产业

(3)根据2004年的国内生产总值及其构成数据绘制饼图。

19 95 19 96 19 97 19 98 19 99 20 00 20 01 20 02 20 03 20 04

国内生产总值

20768.07, 15% 43721, 32% 第一产业 第二产业 第三产业 72387, 53%

第四章 统计数据的概括性描述 4.1 一家汽车零售店的 10 名销售人员 5 月份销售的汽车数量(单位:台)排序后如下: 2 4 7 10 10 10 12 12 14 15 要求: (1)计算汽车销售量的众数、中位数和平均数。 (2)根据定义公式计算四分位数。 (3)计算销售量的标准差。 (4)说明汽车销售量分布的特征。 解:
Statistics
汽车销售数量 N Valid Missing Mean Median Mode Std. Deviation Percentiles 25 50 75 10 0 9.60 10.00 10 4.169 6.25 10.00 12.50

Histogram

3

2

Frequency
1

Mean =9.6 Std. Dev. =4.169 N =10 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15

汽车销售数量
4.2 随机抽取 25 个网络用户,得到他们的年龄数据如下: 单位:周岁 19 23 30 23 41 15 21 20 27 20 29 38 19 22 31 25 22 19 34 17 24 18 16 24 23

要求; (1)计算众数、中位数: 1、排序形成单变量分值的频数分布和累计频数分布: 网络用户的年龄
Frequency 15 16 17 Valid 18 19 20 21 1 1 1 1 3 2 1 Percent 4.0 4.0 4.0 4.0 12.0 8.0 4.0 Cumulative Frequency 1 2 3 4 7 9 10 Cumulative Percent 4.0 8.0 12.0 16.0 28.0 36.0 40.0

22 23 24 25 27 29 30 31 34 38 41 Total

2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 25

8.0 12.0 8.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 100.0

12 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25

48.0 60.0 68.0 72.0 76.0 80.0 84.0 88.0 92.0 96.0 100.0

从频数看出,众数 Mo 有两个:19、23;从累计频数看,中位数 Me=23。 (2)根据定义公式计算四分位数。 Q1 位置=25/4=6.25,因此 Q1=19,Q3 位置=3×25/4=18.75,因此 Q3=27,或者,由于 25 和 27 都只有一个,因此 Q3 也可等于 25+0.75×2=26.5。 (3)计算平均数和标准差; Mean=24.00;Std. Deviation=6.652 (4)计算偏态系数和峰态系数: Skewness=1.080;Kurtosis=0.773 (5)对网民年龄的分布特征进行综合分析: 分布,均值=24、标准差=6.652、呈右偏分布。如需看清楚分布形态,需要进行分组。 为分组情况下的直方图:

3

2

Count
1 0 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 27 29 30 31 34 38 41

网络用户的年龄

为分组情况下的概率密度曲线:
3.0

2.5

Count

2.0

1.5

1.0 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 27 29 30 31 34 38 41

网络用户的年龄

分组: 1、确定组数:

K ?1 ?

l g? 2 ? 5 l gn ) ( 1.398 ?1 ? ? ? 1 ? . 6 4 k=6 5 ,取 lg(2) lg 2 0.30103

2、确定组距:组距=( 最大值 - 最小值)÷ 组数=(41-15)÷6=4.3,取 5 3、分组频数表 网络用户的年龄 (Binned)
Frequency <= 15 16 - 20 21 - 25 26 - 30 Valid 31 - 35 36 - 40 41+ Total 2 1 1 25 8.0 4.0 4.0 100.0 23 24 25 92.0 96.0 100.0 1 8 9 3 Percent 4.0 32.0 36.0 12.0 Cumulative Frequency 1 9 18 21 Cumulative Percent 4.0 36.0 72.0 84.0

分组后的均值与方差:
Mean Std. Deviation Variance Skewness 23.3000 7.02377 49.333 1.163

Kurtosis

1.302

分组后的直方图:
10

8

Frequency

6

4

2 Mean =23.30 Std. Dev. =7.024 N =25 0 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00 50.00

组中值

4.3 某银行为缩短顾客到银行办理业务等待的时间。准备采用两种排队方式进行试验:一 种是所有颐客都进入一个等待队列:另—种是顾客在三千业务窗口处列队 3 排等待。 为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短.两种排队方式各随机抽取 9 名顾客。得 到第一种排队方式的平均等待时间为 7.2 分钟,标准差为 1.97 分钟。第二种排队 方式的等待时间(单位:分钟)如下: 5.5 6.6 6.7 6.8 7.1 7.3 7.4 7.8 7.8 要求: (1)画出第二种排队方式等待时间的茎叶图。
第二种排队方式的等待时间(单位:分钟) Stem-and-Leaf Plot Frequency 3.00 3.00 2.00 Stem width: Each leaf: Stem & 6 . 7 . 7 . 1.00 1 case(s) Leaf (=<5.5) 678 134 88 1.00 Extremes

(2)计算第二种排队时间的平均数和标准差。 Mean Std. Deviation Variance 7 0.714143 0.51

(3)比较两种排队方式等待时间的离散程度。 第二种排队方式的离散程度小。 (4)如果让你选择一种排队方式,你会选择哪—种?试说明理由。 选择第二种,均值小,离散程度小。 4.4 某百货公司 6 月份各天的销售额数据如下: 单位:万元 257 271 272 276 292 284 297 261 268 252 281 303 238 301 273 310 274 263 240 267 322 236 280 249 265 291 269 278 258 295

要求: (1)计算该百货公司日销售额的平均数和中位数。 (2)按定义公式计算四分位数。 (3)计算日销售额的标准差。 解:
Statistics
百货公司每天的销售额(万元) N Valid Missing Mean Median Std. Deviation Percentiles 25 50 75 30 0 274.1000 272.5000 21.17472 260.2500 272.5000 291.2500

4.5 甲乙两个企业生产三种产品的单位成本和总成本资料如下: 产品 名称 A B C 单位成本 (元) 15 20 30 甲企业 总成本(元) 2100 3000 1500 19.41176471 140 150 50 甲企业 2 100 3 000 1 500 乙企业 产品数 总成本(元) 3255 1500 1500 18.28947368 产品数 217 75 50 总成本(元) 乙企业 3 255 1 500 1 500

要求:比较两个企业的总平均成本,哪个高,并分析其原因。 产品名称 A B C 单位成本(元) 15 20 30 平均成本(元)

调和平均数计算,得到甲的平均成本为 19.41;乙的平均成本为 18.29。甲的中间成本的 产品多,乙的低成本的产品多。

4.6 在某地区抽取 120 家企业,按利润额进行分组,结果如下: 按利润额分组(万元) 200~300 300~400 400~500 500~600 600 以上 合 计 要求: (1)计算 120 家企业利润额的平均数和标准差。 (2)计算分布的偏态系数和峰态系数。 解:
Statistics
企业利润组中值 Mi(万元) N Valid Missing Mean Std. Deviation Skewness Std. Error of Skewness Kurtosis Std. Error of Kurtosis 120 0 426.6667 116.48445 0.208 0.221 -0.625 0.438

企业数(个) 19 30 42 18 11 120

Histogram

50

40

Frequency

30

20

10 Mean =426.67 Std. Dev. =116.484 N =120 200.00 300.00 400.00 500.00 600.00 700.00

0

企业利润组中值Mi(万元)
Cases weighted by 企业个数

4.7 为研究少年儿童的成长发育状况,某研究所的一位调查人员在某城市抽取 100 名 7~ 17 岁的少年儿童作为样本,另一位调查人员则抽取了 1 000 名 7~17 岁的少年儿童作 为样本。请回答下面的问题,并解释其原因。 (1)两位调查人员所得到的样本的平均身高是否相同?如果不同,哪组样本的平均身高较 大? (2)两位调查人员所得到的样本的标准差是否相同?如果不同,哪组样本的标准差较大? (3)两位调查人员得到这 l 100 名少年儿童身高的最高者或最低者的机会是否相同?如果 不同,哪位调查研究人员的机会较大? 解: (1)不一定相同,无法判断哪一个更高,但可以判断,样本量大的更接近于总体平均身 高。 (2)不一定相同,样本量少的标准差大的可能性大。 (3)机会不相同,样本量大的得到最高者和最低者的身高的机会大。 4.8 一项关于大学生体重状况的研究发现.男生的平均体重为 60kg,标准差为 5kg;女生 的平均体重为 50kg,标准差为 5kg。请回答下面的问题: (1)是男生的体重差异大还是女生的体重差异大?为什么? 女生,因为标准差一样,而均值男生大,所以,离散系数是男生的小,离散程度是 男生的小。 (2)以磅为单位(1ks=2.2lb),求体重的平均数和标准差。 都是各乘以 2.21, 男生的平均体重为 60kg×2.21=132.6 磅, 标准差为 5kg×2.21=11.05

磅;女生的平均体重为 50kg×2.21=110.5 磅,标准差为 5kg×2.21=11.05 磅。 (3)粗略地估计一下,男生中有百分之几的人体重在 55kg 一 65kg 之间? 计算标准分数: Z1=

x ? x 55 ? 60 x ? x 65 ? 60 = =-1;Z2= = =1,根据经验规则,男生大约有 68% s 5 s 5

的人体重在 55kg 一 65kg 之间。 (4)粗略地估计一下,女生中有百分之几的人体重在 40kg~60kg 之间? 计算标准分数: Z1=

x ? x 40 ? 50 x ? x 60 ? 50 = =-2;Z2= = =2,根据经验规则,女生大约有 95% s 5 s 5

的人体重在 40kg 一 60kg 之间。 4.9 一家公司在招收职员时,首先要通过两项能力测试。在 A 项测试中,其平均分数是 100 分,标准差是 15 分;在 B 项测试中,其平均分数是 400 分,标准差是 50 分。一 位应试者在 A 项测试中得了 115 分,在 B 项测试中得了 425 分。与平均分数相比,该 应试者哪一项测试更为理想? 解:应用标准分数来考虑问题,该应试者标准分数高的测试理想。 ZA=

x ? x 115 ? 100 x ? x 425 ? 400 = =1;ZB= = =0.5 s s 15 50

因此,A 项测试结果理想。 4.10 一条产品生产线平均每天的产量为 3 700 件,标准差为 50 件。如果某一天的产量低 于或高于平均产量,并落人士 2 个标准差的范围之外,就认为该生产线“失去控制” 。 下面是一周各天的产量,该生产线哪几天失去了控制? 时间 产量(件) 周一 3 850 时间 产量(件) 日平均产量 日产量标准差 标准分数 Z 标准分数界限 周六超出界限,失去控制。 4.11 对 10 名成年人和 10 名幼儿的身高进行抽样调查,结果如下: 成年组 幼儿组 166 68 169 69 l72 68 177 70 180 7l 170 73 172 72 174 73 168 74 173 75 3 -2 2 -0.6 -2 2 -0.2 -2 2 周二 3 670 周一 3850 周三 3 690 周二 3670 周三 3690 周四 3 720 周四 3720 3700 50 0.4 -2 2 -1.8 -2 2 -2.2 -2 2 0 -2 2 周五 3 610 周五 3610 周六 3590 周六 3 590 周日 3700 周日 3 700

要求: (1)如果比较成年组和幼儿组的身高差异,你会采用什么样的统计量?为什么? 均值不相等,用离散系数衡量身高差异。 (2)比较分析哪一组的身高差异大?

成年组 平均 标准差 离散系数 幼儿组的身高差异大。 172.1 平均 4.201851 标准差 0.024415 离散系数

幼儿组 71.3 2.496664 0.035016

4.12 一种产品需要人工组装,现有三种可供选择的组装方法。为检验哪种方法更好,随 机抽取 15 个工人,让他们分别用三种方法组装。下面是 15 个工人分别用三种方法在 相同的时间内组装的产品数量: 单位:个 方法 A 164 167 168 165 170 165 164 168 164 162 163 166 167 166 165 方法 B 129 130 129 130 131 ]30 129 127 128 128 127 128 128 125 132 方法 C 125 126 126 127 126 128 127 126 127 127 125 126 116 126 125

要求: (1)你准备采用什么方法来评价组装方法的优劣? (2)如果让你选择一种方法,你会作出怎样的选择?试说明理由。 解:对比均值和离散系数的方法,选择均值大,离散程度小的。 方法 A 平均 165.6 平均 方法 B 128.7333333 平均 方法 C 125.5333333

标准差 2.131397932 标准差 1.751190072 标准差 2.774029217 离散系数: VA=0.01287076,VB= 0.013603237,VC= 0.022097949 均值 A 方法最大,同时 A 的离散系数也最小,因此选择 A 方法。 4.13 在金融证券领域,一项投资的预期收益率的变化通常用该项投资的风险来衡量。预 期收益率的变化越小,投资风险越低;预期收益率的变化越大,投资风险就越高。下 面的两个直方图, 分别反映了 200 种商业类股票和 200 种高科技类股票的收益率分布。 在股票市场上,高收益率往往伴随着高风险。但投资于哪类股票,往往与投资者的类

型有一定关系。 (1)你认为该用什么样的统计量来反映投资的风险? 标准差或者离散系数。 (2)如果选择风险小的股票进行投资,应该选择商业类股票还是高科技类股票? 选择离散系数小的股票,则选择商业股票。 (3)如果进行股票投资,你会选择商业类股票还是高科技类股票? 考虑高收益,则选择高科技股票;考虑风险,则选择商业股票。

6.1 调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为 ? 盎司, 通过观察这台装瓶机对每个 瓶子的灌装量服从标准差 ? ? 1.0 盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的 9 个瓶子形 成一个样本,并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过 0.3 盎司的概 率。 解:总体方差知道的情况下,均值的抽样分布服从 N 标准化得到标准正态分布:z= 为:
2

? ?,? n ? 的正态分布,由正态分布,

x ?? ~ N ? 0,1? ,因此,样本均值不超过总体均值的概率 P ? n

? x ?? ? ?0.3 x ? ? 0.3 ? 0.3 ? P ? x ? ? ? 0.3? = P ? ? ? ? ? = P? ? ?? n ? n ? ?1 9 ? n 1 9 ?
= P ? ?0.9 ? z ? 0.9? =2 ? ? 0.9? -1,查标准正态分布表得 ? ? 0.9 ? =0.8159 因此, P x ? ? ? 0.3 =0.6318

?

?

6.3 Z1 , Z 2 ,??, Z6 表示从标准正态总体中随机抽取的容量,n=6 的一个样本,试 确定常数 b,使得
? 6 ? P ? ? Zi2 ? b ? ? 0.95 ? i ?1 ?

解:由于卡方分布是由标准正态分布的平方和构成的: 设 Z1,Z2,……,Zn 是来自总体 N(0,1)的样本,则统计量
2 2 ? 2 ? Z12 ? Z2 ? ? ? Zn

服从自由度为 n 的 χ2 分布,记为 χ2~ χ2(n)
6 6 ? 6 ? 因此,令 ? 2 ? ? Z i2 ,则 ? 2 ? ? Z i2 ? ? 2 ? 6 ? ,那么由概率 P ? ? Zi2 ? b ? ? 0.95 ,可知: i ?1 i ?1 ? i ?1 ?

b= ?12?0.95 ? 6? ,查概率表得:b=12.59 6.4 在习题 6.1 中,假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差 ? 2 ? 1 的标准正态分布。假定 我们计划随机抽取 10 个瓶子组成样本,观测每个瓶子的灌装量,得到 10 个观测值,用这 1 n 10 个观测值我们可以求出样本方差 S 2 ( S 2 ? ? (Yi ? Y )2 ) ,确定一个合适的范围使得有 n ? 1 i ?1 较大的概率保证 S2 落入其中是有用的,试求 b1,b2,使得
p(b1 ? S 2 ? b2 ) ? 0.90

解:更加样本方差的抽样分布知识可知,样本统计量:

(n ? 1 s 2 )

?

2

~ ? 2 (n ? 1 )

此处,n=10, ? 2 ? 1 ,所以统计量

(n ? 1) s 2

?2

?

(10 ? 1) s 2 ? 9s 2 ~ ? 2 (n ? 1) 1

根据卡方分布的可知:

P ?b1 ? S 2 ? b2 ? ? P ?9b1 ? 9S 2 ? 9b2 ? ? 0.90
又因为:
2 P ? ?12?? 2 ? n ? 1? ? 9S 2 ? ?? 2 ? n ? 1?? ? 1 ? ?

因此:
2 P ?9b1 ? 9S 2 ? 9b2 ? ? P ? ?12?? 2 ? n ? 1? ? 9S 2 ? ?? 2 ? n ? 1?? ? 1 ? ? ? 0.90 2 ? P ?9b1 ? 9S 2 ? 9b2 ? ? P ? ?12?? 2 ? n ? 1? ? 9S 2 ? ?? 2 ? n ? 1?? 2 2 ? P ? ?0.95 ?9? ? 9S 2 ? ?0.05 ?9?? ? 0.90

则:
2 2 ? 9b1 ? ?0.95 ?9? ,9b2 ? ?0.05 ?9? ? b1 ?
2 ? 0.95 ? 9 ?

9

, b2 ?

2 ? 0.05 ? 9 ?

9

2 2 查概率表: ?0.95 ? 9 ? =3.325, ?0.05 ? 9 ? =19.919,则
2 ? 0.95 ? 9 ? 2 ? 0.05 ? 9 ?

b1 ?

9

=0.369, b2 ?

9

=1.88

第四章 抽样分布与参数估计
7.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额。在为期 3 周的时间里选取 49 名顾客 组成了一个简单随机样本。 (1)假定总体标准差为 15 元,求样本均值的抽样标准误差。

?x ?

?
n

?

15 =2.143 49

(2)在 95%的置信水平下,求边际误差。

? x ? t ? ? x ,由于是大样本抽样,因此样本均值服从正态分布,因此概率度 t= z? 2
因此, ? x ? t ? ? x ? z? 2 ?? x ? z0.025 ? ? x =1.96×2.143=4.2 (3)如果样本均值为 120 元,求总体均值 的 95%的置信区间。 置信区间为:

? x ? ?x , x ? ?x ? = ?120 ? 4.2,120 ? 4.2? =(115.8,124.2)
7.4 从总体中抽取一个 n=100 的简单随机样本,得到 x =81,s=12。 要求: 大样本,样本均值服从正态分布: x ? N ? ? ,

? ?

?2 ?
n ?

? 或 x ? N ? ?, ?

?

s2 ? ? n?

置信区间为: ? x ? z? 2 ?

? ?

s 12 s s ? = =1.2 , x ? z? 2 ? ?, 100 n n n?

(1)构建 ? 的 90%的置信区间。

z? 2 = z0.05 =1.645,置信区间为: ?81?1.645?1.2,81?1.645?1.2? =(79.03,82.97)
(2)构建 ? 的 95%的置信区间。

z? 2 = z0.025 =1.96,置信区间为: ?81 ?1.96 ?1.2,81 ?1.96 ?1.2? =(78.65,83.35)
(3)构建 ? 的 99%的置信区间。

z? 2 = z0.005 =2.576,置信区间为: ?81 ? 2.576 ?1.2,81 ? 2.576 ?1.2? =(77.91,84.09)
7.7 某大学为了解学生每天上网的时间, 在全校 7 500 名学生中采取重复抽样方法随机抽取 36 人,调查他们每天上网的时间,得到下面的数据(单位:小时): 3.3 4.4 2.1 4.7 3.1 2.0 1.9 1.4 6.2 5.4 1.2 1.2 5.8 2.6 5.1 2.9 2.3 6.4 4.3 3.5 4.1 1.8 4.2 2.4 5.4 3.5 3.6 0.5 4.5 5.7 0.8 3.6 3.2 2.3 1.5 2.5

求该校大学生平均上网时间的置信区间,置信水平分别为 90%,95%和 99%。 解:

(1)样本均值 x =3.32,样本标准差 s=1.61; (2)抽样平均误差: 重复抽样: ? x =

?
n

?

s =1.61/6=0.268 n

不重复抽样: ? x =

?
n

?

N ?n s N ? n 1.61 7500 ? 36 = ? ? ? N ?1 N ?1 7500 ? 1 n 36

=0.268× 0.995 =0.268×0.998=0.267 (3)置信水平下的概率度:

1 ? ? =0.9,t= z? 2 = z0.05 =1.645 1 ? ? =0.95,t= z? 2 = z0.025 =1.96 1 ? ? =0.99,t= z? 2 = z0.005 =2.576
(4)边际误差(极限误差) :

?x ? t ?? x ? z? 2 ??

x

1 ? ? =0.9, ?x ? t ? ? x ? z? 2 ? ? x = z0.05 ? ? x
重复抽样: ?x ? z? 2 ?? x = z0.05 ? ? x =1.645×0.268=0.441 不重复抽样: ?x ? z? 2 ?? x = z0.05 ? ? x =1.645×0.267=0.439

1 ? ? =0.95, ?x ? t ? ? x ? z? 2 ? ? x = z0.025 ? ? x
重复抽样: ?x ? z? 2 ?? x = z0.025 ? ? x =1.96×0.268=0.525 不重复抽样: ?x ? z? 2 ?? x = z0.025 ? ? x =1.96×0.267=0.523

1 ? ? =0.99, ?x ? t ? ? x ? z? 2 ? ? x = z0.005 ? ? x
重复抽样: ?x ? z? 2 ?? x = z0.005 ? ? x =2.576×0.268=0.69 不重复抽样: ?x ? z? 2 ?? x = z0.005 ? ? x =2.576×0.267=0.688 (5)置信区间:

? x ? ?x , x ? ?x ?
1 ? ? =0.9,
重复抽样: ? x ? ?x , x ? ?x ? = ?3.32 ? 0.441,3.32 ? 0.441? =(2.88,3.76)

不重复抽样: ? x ? ?x , x ? ?x ? = ?3.32 ? 0.439,3.32 ? 0.439? =(2.88,3.76)

1 ? ? =0.95,
重复抽样: ? x ? ?x , x ? ?x ? = ?3.32 ? 0.525,3.32 ? 0.525? =(2.79,3.85) 不重复抽样: ? x ? ?x , x ? ?x ? = ?3.32 ? 0.441,3.32 ? 0.441? =(2.80,3.84)

1 ? ? =0.99,
重复抽样: ? x ? ?x , x ? ?x ? = ? 3.32 ? 0.69,3.32 ? 0.69? =(2.63,4.01) 不重复抽样: ? x ? ?x , x ? ?x ? = ?3.32 ? 0.688,3.32 ? 0.688? =(2.63,4.01) 7.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离,抽取了由 16 个人组成的一个随机样 本,他们到单位的距离(单位:km)分别是: 10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2 假定总体服从正态分布,求职工上班从家里到单位平均距离的 95%的置信区间。 解:小样本,总体方差未知,用 t 统计量

t?

x ?? ? t ? n ?1? s n

均值=9.375,样本标准差 s=4.11 置信区间:

s s ? ? , x ? t? 2 ? n ? 1? ? ? x ? t? 2 ? n ? 1? ? ? n n? ?
1 ? ? =0.95,n=16, t? 2 ? n ?1? = t0.025 ?15? =2.13

s s ? ? , x ? t? 2 ? n ? 1? ? ? x ? t? 2 ? n ? 1? ? ? n n? ?
= ? 9.375 ? 2.13 ?

? ?

4.11 4.11 ? ,9.375 ? 2.13 ? ? =(7.18,11.57) 16 16 ?

7.11 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装,每袋标准重量为 l00g。现从某天生产 的一批产品中按重复抽样随机抽取 50 包进行检查,测得每包重量(单位:g)如下: 每包重量(g) 96~98 98~100 100~102 102~104 104~106 合计 包数 2 3 34 7 4 50

已知食品包重量服从正态分布,要求: (1)确定该种食品平均重量的 95%的置信区间。 解:大样本,总体方差未知,用 z 统计量

z?

x ?? ? N ? 0,1? s n

样本均值=101.4,样本标准差 s=1.829 置信区间:

s s ? ? , x ? z? 2 ? ? x ? z? 2 ? ? n n? ?
1 ? ? =0.95, z? 2 = z0.025 =1.96

s s ? ? , x ? z? 2 ? ? x ? z? 2 ? ? n n? ?
= ?101.4 ? 1.96 ?

? ?

1.829 1.829 ? ,101.4 ? 1.96 ? ? =(100.89,101.91) 50 50 ?

(2)如果规定食品重量低于 l00g 属于不合格,确定该批食品合格率的 95%的置信区间。 解:总体比率的估计 大样本,总体方差未知,用 z 统计量

z?

p ?? p ?1 ? p ? n

? N ? 0,1?

样本比率=(50-5)/50=0.9 置信区间:

? p ?1 ? p ? p ?1 ? p ? ? ? p ? z? 2 ? ? , p ? z? 2 ? ? ? n n ? ?
1 ? ? =0.95, z? 2 = z0.025 =1.96

? p ?1 ? p ? p ?1 ? p ? ? ? p ? z? 2 ? ? , p ? z? 2 ? ? ? n n ? ?
= ? 0.9 ? 1.96 ?

? ? ?

0.9 ?1 ? 0.9 ? 0.9 ?1 ? 0.9 ? ? ? =(0.8168,0.9832) ,0.9 ? 1.96 ? ? 50 50 ?

7.13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间,为此随机抽取了 18 个员工。得到他们每周加班的时间数据如下(单位:小时): 6 3 21 8 17 12 20 11 7 9 0 21 8 25 16 15 29 16

假定员工每周加班的时间服从正态分布。估计网络公司员工平均每周加班时间的 90% 的置信区间。 解:小样本,总体方差未知,用 t 统计量

t?

x ?? ? t ? n ?1? s n

均值=13.56,样本标准差 s=7.801 置信区间:

s s ? ? , x ? t? 2 ? n ? 1? ? ? x ? t? 2 ? n ? 1? ? ? n n? ?
1 ? ? =0.90,n=18, t? 2 ? n ?1? = t0.05 ?17 ? =1.7369

s s ? ? , x ? t? 2 ? n ? 1? ? ? x ? t? 2 ? n ? 1? ? ? n n? ?
= ?13.56 ? 1.7369 ?

? ?

7.801 7.801 ? ,13.56 ? 1.7369 ? ? =(10.36,16.75) 18 18 ?

7.15 在一项家电市场调查中.随机抽取了 200 个居民户,调查他们是否拥有某一品牌的 电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占 23%。求总体比例的置信区间,置信水平分别 为 90%和 95%。 解:总体比率的估计 大样本,总体方差未知,用 z 统计量

z?

p ?? p ?1 ? p ? n

? N ? 0,1?

样本比率=0.23 置信区间:

? p ?1 ? p ? p ?1 ? p ? ? ? p ? z? 2 ? ? , p ? z? 2 ? ? ? n n ? ?
1 ? ? =0.90, z? 2 = z0.025 =1.645

? p ?1 ? p ? p ?1 ? p ? ? ? p ? z? 2 ? ? , p ? z? 2 ? ? ? n n ? ?
= ? 0.23 ? 1.645 ?

? ? ?

0.23 ?1 ? 0.23? 0.23 ?1 ? 0.23? ? ? , 0.23 ? 1.645 ? ? 200 200 ?

=(0.1811,0.2789)

1 ? ? =0.95, z? 2 = z0.025 =1.96

? p ?1 ? p ? p ?1 ? p ? ? ? p ? z? 2 ? ? , p ? z? 2 ? ? ? n n ? ?
= ? 0.23 ? 1.96 ?

? ? ?

0.23 ?1 ? 0.23? 0.23 ?1 ? 0.23? ? ? = ( 0.1717 , ,0.23 ? 1.96 ? ? 200 200 ?

0.2883) 7. 20 顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间, 而等待时间的长短与许多因素有关, 比如,银行业务员办理业务的速度,顾客等待排队的方式等。为此,某银行准备采取两 种排队方式进行试验,第一种排队方式是:所有顾客都进入一个等待队列;第二种排队 方式是:顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间 更短,银行各随机抽取 10 名顾客,他们在办理业务时所等待的时间(单位:分钟)如下: 方式 1 方式 2 6.5 4.2 6.6 5.4 6.7 5.8 6.8 6.2 7.1 6.7 7.3 7.7 7.4 7.7 7.7 8.5 7.7 9.3 7.7 10

要求: (1)构建第一种排队方式等待时间标准差的 95%的置信区间。 解:估计统计量

? n ? 1? S 2 ~ ? 2 n ? 1 ? ? 2
?
2 经计算得样本标准差 s2 =3.318

置信区间:

? n ? 1? S 2 ? ? 2 ? ? n ? 1? S 2 2 ?? 2 ? n ? 1? ?12?? 2 ? n ? 1?
2 2 2 1 ? ? =0.95,n=10, ?? 2 ? n ?1? = ?0.025 ? 9? =19.02, ?12?? 2 ? n ?1? = ?0.975 ? 9? =2.7

? ? n ? 1? S 2 ? n ? 1? S 2 ? = ? 9 ? 0.2272 , 9 ? 0.2272 ? =(0.1075,0.7574) , ? 2 ? ? ?? 2 ? n ? 1? ?12?? 2 ? n ? 1? ? ? 19.02 ? ? 2.7 ? ? ?
因此,标准差的置信区间为(0.3279,0.8703) (2)构建第二种排队方式等待时间标准差的 95%的置信区间。 解:估计统计量

? n ? 1? S 2 ~ ? 2 n ? 1 ? ? 2
?
2 经计算得样本标准差 s1 =0.2272

置信区间:

? n ? 1? S 2 ? ? 2 ? ? n ? 1? S 2 2 ?? 2 ? n ? 1? ?12?? 2 ? n ? 1?

2 2 2 1 ? ? =0.95,n=10, ?? 2 ? n ?1? = ?0.025 ? 9? =19.02, ?12?? 2 ? n ?1? = ?0.975 ? 9? =2.7

? ? n ? 1? S 2 ? n ? 1? S 2 ? = ? 9 ? 3.318 , 9 ? 3.318 ? =(1.57,11.06) , ? 2 ? ? ?? 2 ? n ? 1? ?12?? 2 ? n ? 1? ? ? 19.02 ? ? 2.7 ? ? ?
因此,标准差的置信区间为(1.25,3.33) (3)根据(1)和(2)的结果,你认为哪种排队方式更好? 第一种方式好,标准差小! 7.23 下表是由 4 对观察值组成的随机样本。 配对号 1 2 3 4 来自总体 A 的样本 2 5 10 8 来自总体 B 的样本 0 7 6 5

(1)计算 A 与 B 各对观察值之差,再利用得出的差值计算 d 和 s d 。
d =1.75, s d =2.62996

(2)设 ?1和?2 分别为总体 A 和总体 B 的均值,构造 ?d ? ?1 ? ?2 的 95%的置信区间。 解:小样本,配对样本,总体方差未知,用 t 统计量

td ?

d ? ?d ? t ? n ?1? sd n

均值=1.75,样本标准差 s=2.62996 置信区间:

sd s ? ? , d ? t? 2 ? n ? 1? ? d ? ? d ? t? 2 ? n ? 1? ? n n? ?
1 ? ? =0.95,n=4, t? 2 ? n ?1? = t0.025 ?3? =3.182

sd s ? ? , d ? t? 2 ? n ? 1? ? d ? ? d ? t? 2 ? n ? 1? ? n n? ?
= ?1.75 ? 3.182 ?

? ?

2.62996 2.62996 ? ,1.75 ? 3.182 ? ? =(-2.43,5.93) 4 4 ?

7. 25 从两个总体中各抽取一个 n1 ? n2 =250 的独立随机样本, 来自总体 1 的样本比例为 p1 =40%,来自总体 2 的样本比例为 p2 =30%。要求:

(1)构造 ?1 ? ? 2 的 90%的置信区间。 (2)构造 ?1 ? ? 2 的 95%的置信区间。 解:总体比率差的估计 大样本,总体方差未知,用 z 统计量

z?

p1 ? p2 ? ?? 1 ? ? 2 ? p1 ?1 ? p1 ? p2 ?1 ? p2 ? ? n1 n2

? N ? 0,1?

样本比率 p1=0.4,p2=0.3 置信区间:

? p ?1 ? p1 ? p2 ?1 ? p2 ? p ?1 ? p1 ? p2 ?1 ? p2 ? ? ? p1 ? p2 ? z? 2 ? 1 ? ? , p1 ? p2 ? z? 2 ? 1 ? ? ? n1 n2 n1 n2 ? ?
1 ? ? =0.90, z? 2 = z0.025 =1.645

? p ?1 ? p1 ? p2 ?1 ? p2 ? p ?1 ? p1 ? p2 ?1 ? p2 ? ? ? p1 ? p2 ? z? 2 ? 1 ? ? , p1 ? p2 ? z? 2 ? 1 ? ? ? n1 n2 n1 n2 ? ?
=

? 0.4 ?1 ? 0.4 ? 0.3 ?1 ? 0.3? 0.4 ?1 ? 0.4 ? 0.3 ?1 ? 0.3? ? ? 0.1 ? 1.645 ? ? ? , 0.1 ? 1.645 ? ? ? ? 250 250 250 250 ? ?
=(3.02%,16.98%)

1 ? ? =0.95, z? 2 = z0.025 =1.96

? p ?1 ? p1 ? p2 ?1 ? p2 ? p ?1 ? p1 ? p2 ?1 ? p2 ? ? ? p1 ? p2 ? z? 2 ? 1 ? ? , p1 ? p2 ? z? 2 ? 1 ? ? ? n1 n2 n1 n2 ? ?
=

? 0.4 ?1 ? 0.4 ? 0.3 ?1 ? 0.3? 0.4 ?1 ? 0.4 ? 0.3 ?1 ? 0.3 ? ? ? 0.1 ? 1.96 ? ? ? , 0.1 ? 1.96 ? ? ? ? 250 250 250 250 ? ?
=(1.68%,18.32%) 7.26 生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。当方差较大时,需要对序进行改进以减 小方差。下面是两部机器生产的袋茶重量(单位:g)的数据: 机器 1 3.45 3.2 3.22 2.98 3.9 3.7 3.22 3.38 机器 2 3.28 3.19 3.35 3.3

3.22 3.5 2.95 3.16 3.2

3.75 3.38 3.45 3.48 3.18

3.28 3.35 3.2 3.12 3.25

3.3 3.3 3.34 3.28 3.3

3.2 3.29 3.35 3.16 3.34

3.05 3.33 3.27 3.28 3.25

2 要求:构造两个总体方差比 ?12 / ? 2 的 95%的置信区间。

解:统计量:

s12
2 s2

? 12
2 ?2

? F ? n1 ?1, n2 ?1?

置信区间:

? ? s12 s12 2 2 ? ? s2 s2 , ? ? ? F? 2 ? n1 ? 1, n2 ? 1? F1?? 2 ? n1 ? 1, n2 ? 1? ? ? ? ? ?
2 s12 =0.058, s2 =0.006

n1=n2=21

1 ? ? =0.95, F? 2 ? n1 ?1, n2 ?1? = F0.025 ? 20,20? =2.4645,

F1?? 2 ? n1 ?1, n2 ?1? =

1 F? 2 ? n2 ? 1, n1 ? 1?
1 =0.4058 F0.025 ? 20, 20 ?

F1?? 2 ? n1 ?1, n2 ?1? = F0.975 ? 20,20? =

? ? s12 s12 2 2 ? ? s2 s2 , ? ? =(4.05,24.6) ? F? 2 ? n1 ? 1, n2 ? 1? F1?? 2 ? n1 ? 1, n2 ? 1? ? ? ? ? ?
7.27 根据以往的生产数据,某种产品的废品率为 2%。如果要求 95%的置信区间,若要 求边际误差不超过 4%,应抽取多大的样本? 解: z?
2

?

?p p ?1 ? p ? n

n?

2 z? 2 ? p ??1 ? p ?

?2 p

1 ? ? =0.95, z? 2 = z0.025 =1.96
2 z? 2 ? p ? ?1 ? p ? 1.962 ? 0.02 ? 0.98 = =47.06,取 n=48 或者 50。 n? 0.042 ?2 p

7.28 某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验,标准差大约 为 120 元, 现要求以 95%的置信水平估计每个顾客平均购物金额的置信区间, 并要求边 际误差不超过 20 元,应抽取多少个顾客作为样本? 解: n ?
2 z? 2 ? ? 2

?2 x
2 z? 2 ? ? 2

, 1 ? ? =0.95, z? 2 = z0.025 =1.96,

n?

?2 x

?

1.962 ?1202 =138.3,取 n=139 或者 140,或者 150。 202

7.29 假定两个总体的标准差分别为: ? 1 ? 12 , ? 2 ? 15 ,若要求误差范围不超过 5,相应 的置信水平为 95%,假定 n1 ? n2 ,估计两个总体均值之差 ?1 ? ?2 时所需的样本量为多 大? 解:n1=n2= n ?
2 2 z? 2 ? ?? 12 ? ? 2 ?

? 21 ? x2 x
2 2 z? 2 ? ?? 12 ? ? 2 ?

, 1 ? ? =0.95, z? 2 = z0.025 =1.96,

n1=n2= n ?

? 21 ? x2 x

=

1.962 ? ?122 ? 152 ? 52

=56.7,取 n=58,或者 60。

7.30 假定 n1 ? n2 ,边际误差 E=0.05,相应的置信水平为 95%,估计两个总体比例之 差 ?1 ? ? 2 时所需的样本量为多大?
2 z? 2 ? ? p1 ?1 ? p1 ? ? p2 ?1 ? p2 ? ? ? ? , 1 ? ? =0.95 , z = z 解 : n1=n2= n ? 0.025 =1.96 , 取 ? 2 ? 21 ? p2 p

p1=p2=0.5,
2 2 2 2 z? 2 ? ? p1 ?1 ? p1 ? ? p2 ?1 ? p2 ? ? 1.96 ? ? 0.5 ? 0.5 ? ? ?= n1=n2= n ? =768.3,取 n=769, 0.052 ? 21 ? p2 p

或者 780 或 800。

8.2 一种元件,要求其使用寿命不得低于 700 小时。现从一批这种元件中随机抽取 36 件, 测得其平均寿命为 680 小时。已知该元件寿命服从正态分布,? =60 小时,试在显著 性水平 0.05 下确定这批元件是否合格。 解:H0:μ≥700;H1:μ<700 已知: x =680 ? =60 由于 n=36>30,大样本,因此检验统计量:

z?

x ? ?0 s n



680 ? 700 =-2 60 36

当 α=0.05,查表得 z? =1.645。因为 z<- z? ,故拒绝原假设,接受备择假设,说明这批产 品不合格。 8.4 糖厂用自动打包机打包,每包标准重量是 100 千克。每天开工后需要检验一次打包机 工作是否正常。某日开工后测得 9 包重量(单位:千克)如下: 99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5 已知包重服从正态分布,试检验该日打包机工作是否正常(a=0.05)? 解:H0:μ=100;H1:μ≠100 经计算得: x =99.9778 S=1.21221 检验统计量:

t?

x ? ?0 s n



99.9778 ? 100 =-0.055 1.21221 9
2

当 α=0.05,自由度 n-1=9 时,查表得 t?

?9? =2.262。因为 t < t? 2 ,样本统计量落

在接受区域,故接受原假设,拒绝备择假设,说明打包机工作正常。 8.5 某种大量生产的袋装食品,按规定不得少于 250 克。今从一批该食品中任意抽取 50 袋,发现有 6 袋低于 250 克。若规定不符合标准的比例超过 5%就不得出厂,问该批 食品能否出厂(a=0.05)? 解:解:H0:π≤0.05;H1:π>0.05 已知: p=6/50=0.12 检验统计量:

Z?

? 0 ?1 ? ? 0 ? n

p ??0



0.12 ? 0.05 0.05 ? ?1 ? 0.05 ? 50

=2.271

当 α=0.05,查表得 z? =1.645。因为 z > z? ,样本统计量落在拒绝区域,故拒绝原假设, 接受备择假设,说明该批食品不能出厂。 8.7 某种电子元件的寿命 x(单位:小时)服从正态分布。现测得 16 只元件的寿命如下: 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170

问是否有理由认为元件的平均寿命显著地大于 225 小时(a=0.05)? 解:H0:μ≤225;H1:μ>225 经计算知: x =241.5 s=98.726 检验统计量:

t?

x ? ?0 s n



241.5 ? 225 =0.669 98.726 16

当 α=0.05,自由度 n-1=15 时,查表得 t? ?15? =1.753。因为 t< t? ,样本统计量落在接 受区域,故接受原假设,拒绝备择假设,说明元件寿命没有显著大于 225 小时。 8.10 装配一个部件时可以采用不同的方法,所关心的问题是哪一个方法的效率更高。劳 动效率可以用平均装配时间反映。现从不同的装配方法中各抽取 12 件产品,记录各 自的装配时间(单位:分钟)如下: 甲方法:31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26 乙方法:26 24 28 29 30 29 32 26 31 29 32 28 两总体为正态总体,且方差相同。问两种方法的装配时间有无显著不同 (a=0.05)? 解:建立假设 H0:μ1-μ2=0 H1:μ1-μ2≠0 总体正态,小样本抽样,方差未知,方差相等,检验统计量

t?

? x1 ? x2 ?
sp 1 1 ? n1 n2

根据样本数据计算,得 n1 =12, n2 =12, x1 =31.75, s1 =3.19446, x2 =28.6667,

s2 =2.46183。
s
2 p

? n1 ?1? s12 ? ? n1 ?1? s22 ?
n1 ? n2 ? 2


?12 ? 1? ? 0.922162 ? ?12 ? 1? ? 0.710672 =8.1326
12 ? 12 ? 2
=2.648

t?

? x1 ? x2 ?
sp 1 1 ? n1 n2

α=0.05 时,临界点为 t? 2 ? n1 ? n2 ? 2? = t0.025 ? 22 ? =2.074,此题中 t > t? 2 ,故拒绝 原假设,认为两种方法的装配时间有显著差异。 8.11 调查了 339 名 50 岁以上的人,其中 205 名吸烟者中有 43 个患慢性气管炎,在 134 名不吸烟者中有 13 人患慢性气管炎。调查数据能否支持“吸烟者容易患慢性气管炎”

这种观点(a=0.05)? 解:建立假设 H0:π1≤π2;H1:π1>π2 p1=43/205=0.2097 n1=205 检验统计量

p2=13/134=0.097 n2=134

z?

? p1 ? p2 ? ? d p1 ?1 ? p1 ? p2 ?1 ? p2 ? ?
n1 n2



? 0.2098 ? 0.097 ? ? 0 0.2098 ?1 ? 0.2098? 0.097 ?1 ? 0.097 ? ?
205 134

=3 当 α=0.05,查表得 z? =1.645。因为 z > z? ,拒绝原假设,说明吸烟者容易患慢性气管炎。 8. 12 为了控制贷款规模, 某商业银行有个内部要求, 平均每项贷款数额不能超过 60 万元。 随着经济的发展,贷款规模有增大的趋势。银行经理想了解在同样项目条件下,贷款 的平均规模是否明显地超过 60 万元, 故一个 n=144 的随机样本被抽出, 测得 x =68. 1 万元,s=45。用 a=0.01 的显著性水平,采用 p 值进行检验。 解:H0:μ≤60;H1:μ>60 已知: x =68.1 s=45 由于 n=144>30,大样本,因此检验统计量:

z?

x ? ?0 s n



68.1 ? 60 =2.16 45 144

由于 x >μ,因此 P 值=P(z≥2.16)=1- ? ? 2.16? ,查表的 ? ? 2.16? =0.9846,P 值=0.0154 由于 P>α=0.01,故不能拒绝原假设,说明贷款的平均规模没有明显地超过 60 万元。 8.13 有一种理论认为服用阿司匹林有助于减少心脏病的发生,为了进行验证,研究人员 把自愿参与实验的 22 000 人随机平均分成两组, 一组人员每星期服用三次阿司匹林(样 本 1),另一组人员在相同的时间服用安慰剂(样本 2)持续 3 年之后进行检测,样本 1 中有 104 人患心脏病,样本 2 中有 189 人患心脏病。以 a=0.05 的显著性水平检验服 用阿司匹林是否可以降低心脏病发生率。 解:建立假设 H0:π1≥π2;H1:π1<π2 p1=104/11000=0.00945 n1=11000 p2=189/11000=0.01718 n2=11000 检验统计量

z?

? p1 ? p2 ? ? d p1 ?1 ? p1 ? p2 ?1 ? p2 ? ?
n1 n2



? 0.00945 ? 0.01718? ? 0 0.00945 ?1 ? 0.00945? 0.01718 ?1 ? 0.01718? ?
11000 11000

=-5 当 α=0.05,查表得 z? =1.645。因为 z <- z? ,拒绝原假设,说明用阿司匹林可以降低心脏 病发生率。 8.15 有人说在大学中男生的学习成绩比女生的学习成绩好。现从一个学校中随机抽取了 25 名男生和 16 名女生,对他们进行了同样题目的测试。测试结果表明,男生的平均 成绩为 82 分,方差为 56 分,女生的平均成绩为 78 分,方差为 49 分。假设显著性水 平 α=0.02,从上述数据中能得到什么结论? 解:首先进行方差是否相等的检验: 建立假设
2 2 H0: ? 12 = ? 2 ;H1: ? 12 ≠ ? 2 2 2 n1=25, s1 =56,n2=16, s2 =49

F?

56 s12 = =1.143 2 49 s2

当 α=0.02 时, F? 2 ? 24,15? =3.294, F ?? 2 ? 24,15? =0.346。由于 F ?? 2 ? 24,15? <F 1 1 < F? 2 ? 24,15? ,检验统计量的值落在接受域中,所以接受原假设,说明总体方差无显 著差异。 检验均值差: 建立假设 H0:μ1-μ2≤0 H1:μ1-μ2>0 总体正态,小样本抽样,方差未知,方差相等,检验统计量

t?

? x1 ? x2 ?
sp 1 1 ? n1 n2
2 2

根据样本数据计算,得 n1 =25, n2 =16, x1 =82, s1 =56, x2 =78, s2 =49

s

2 p

? n1 ?1? s12 ? ? n1 ?1? s22 =53.308 ?
n1 ? n2 ? 2

t?

? x1 ? x2 ?
sp 1 1 ? n1 n2

=1.711

α=0.02 时,临界点为 t? ? n1 ? n2 ? 2? = t0.02 ? 39? =2.125,t< t? ,故不能拒绝原假设,不能 认为大学中男生的学习成绩比女生的学习成绩好。

10.3 一家牛奶公司有 4 台机器装填牛奶,每桶的容量为 4L。下面是从 4 台机器中抽取的 样本数据: 机器 l 4.05 4.01 4.02 4.04 4.00 4.00 取显著性水平 a=0.01,检验 4 台机器的装填量是否相同? 解:
ANOVA
每桶容量(L) 平方和 组间 组内 总数 0.007 0.004 0.011 df 3 15 18 均方 0.002 0.000 F 8.721 显著性 0.001

机器 2 3.99 4.02 4.01 3.99 4.00

机器 3 3.97 3.98 3.97 3.95

机器 4 4.00 4.02 3.99 4.0l

不相同。 10.7 某企业准备用三种方法组装一种新的产品,为确定哪种方法每小时生产的产品数量 最多,随机抽取了 30 名工人,并指定每个人使用其中的一种方法。通过对每个工人生产的 产品数进行方差分析得到下面的结果; 方差分析表 差异源 组间 组内 总计 SS 420 3836 4256 df 2 27 29 MS 210 142.0740741 — F 1.47810219 — — P-value 0.245946 — — F crit 3.354131 — —

要求: (1)完成上面的方差分析表。 (2)若显著性水平 a=0.05,检验三种方法组装的产品数量之间是否有显著差异? 解: (2)P=0.025>a=0.05,没有显著差异。

10.9 有 5 种不同品种的种子和 4 种不同的施肥方案,在 20 块同样面积的土地上,分别采 用 5 种种子和 4 种施肥方案搭配进行试验,取得的收获量数据如下表: 品种 1 2 3 4 5 施肥方案 1 12.0 13.7 14.3 14.2 13.0 2 9.5 11.5 12.3 14.0 14.0 3 10.4 12.4 11.4 12.5 13.1 4 9.7 9.6 11.1 12.0 11.4

检验种子的不同品种对收获量的影响是否有显著差异?不同的施肥方案对收获量的影响

是否有显著差异(a=0.05)? 解:这线图:
均 值 收 获 量
15.00

施肥方法
施肥方法1 施肥方法2 施肥方法3 施肥方法4

14.00

13.00

12.00

11.00

10.00

9.00 品种1 品种2 品种3 品种4 品种5

品种

__

似乎交互作用不明显: (1)考虑无交互作用下的方差分析:
主体间效应的检验
因变量: 收获量 源 校正模型 截距 Fertilization_Methods Variety 误差 总计 校正的总计
a. R 方 = .825(调整 R 方 = .723)

III 型平方和 37.249(a) 2,930.621 18.182 19.067 7.901 2,975.770 45.150

df 7 1 3 4 12 20 19

均方 5.321 2,930.621 6.061 4.767 0.658

F 8.082 4,451.012 9.205 7.240

Sig. 0.001 0.000 0.002 0.003

结果表明施肥方法和品种都对收获量有显著影响。 (2)考虑有交互作用下的方差分析:
主体间效应的检验
因变量: 收获量 源 校正模型 截距 Fertilization_Methods Variety Fertilization_Methods * Variety III 型平方和 45.150(a) 2,930.621 18.182 19.067 7.901 df 19 1 3 4 12 均方 2.376 . 2,930.621 . 6.061 . 4.767 . 0.658 . F . . . . . Sig.

误差 总计 校正的总计
a. R 方 = 1.000(调整 R 方 = .)

0.000 2,975.770 45.150

0. 20 19

由于观测数太少,得不到结果! 10.11 一家超市连锁店进行一项研究,确定超市所在的位置和竞争者的数 量对销售额是否有显著影响。下面是获得的月销售额数据(单位:万元)。 超市位置 位于市内 居民小区 位于写字 楼 竞争者数量 0 41 30 45 25 31 22 18 位于郊区 29 33 1 38 31 39 29 35 30 72 17 25 2 59 48 51 44 48 50 29 28 26 3 个以 h 47 40 39 43 42 53 24 27 32

取显著性水平 a=0.01,检验: (1)竞争者的数量对销售额是否有显著影响? (2)超市的位置对销售额是否有显著影响? (3)竞争者的数量和超市的位置对销售额是否有交互影响? 解:画折线图:

均 值 月 销 售 额 万 元

55.00

超市位置
位于市内居民小区 位于写字楼 位于郊区

50.00

交互作用不十分明显。 (1)进行无交互方差分析:
主体间效应的检验 因变量: 月销售额(万元) 源 III 型平方和 df 均方 F Sig. 0.000 0.000 0.000 0.000 校正模型 2814.556(a) 截距 44,802.778 Location_SuperMaket 1,736.222 Amount_competitors 1,078.333 误差 1,110.667 总计 48,728.000 校正的总计 3,925.222 a. R 方 = .717(调整 R 方 = .670) 5 562.911 15.205 1 44,802.778 1,210.159 2 868.111 23.448 3 359.444 9.709 30 37.022 36 35

看到超市位置有显著影响,而竞争者数量没有显著影响,且影响强度仅为 0.327,因此 考虑是否存在交互作用。 (2)有交互方差分析: 看到超市位置有显著影响,而竞争者数量和交互作用均无显著影响。

因变量: 月销售额(万元) 源 校正模型 III 型平方和 3317.889(a) df 11 均方 301.626 F 11.919 Sig. 0.000

( )

45.00

40.00

35.00

30.00

25.00 0个竞争者 1个竞争者 2个竞争者 3个以上竞争者

竞争者数量

主体间效应的检验

截距 44,802.778 Location_SuperMaket 1,736.222 Amount_competitors 1,078.333 Location_SuperMaket * 503.333 Amount_competitors 误差 607.333 总计 48,728.000 校正的总计 3,925.222 a. R 方 = .845(调整 R 方 = .774)

1 44,802.778 1,770.472 2 868.111 34.305 3 359.444 14.204 6 24 36 35 83.889 25.306 3.315

0.000 0.000 0.000 0.016

11.5 一家物流公司的管理人员想研究货物的运输距离和运输时间的关系,为此,他抽出了 公司最近 10 个卡车运货记录的随机样本,得到运送距离(单位:km)和运送时间(单位:天) 的数据如下:
运送距离 x 运送时间 y 825 3.5 215 1.0 1 070 4.0 550 2.0 480 1.0 920 3.0 1 350 4.5 1.5 325 3.0 670 5.0 1 215

要求: (1)绘制运送距离和运送时间的散点图,判断二者之间的关系形态: (2)计算线性相关系数,说明两个变量之间的关系强度。 (3)利用最小二乘法求出估计的回归方程,并解释回归系数的实际意义。 解: (1)
运 送 时 间 天

可能存在线性关系。 (2)
相关性
x 运送距离(km) x 运送距离(km) Pearson 相关性 显著性(双侧) N y 运送时间(天) Pearson 相关性 显著性(双侧) N
**. 在 .01 水平(双侧)上显著相关。

y
5

( )
4 3 2 1 250 500 750 1000 1250

x运送距离(km)

__

y 运送时间(天) 1 .949(**) 0.000

10 .949(**) 0.000 10

10 1

10

有很强的线性关系。 (3)
系数(a)
非标准化系数 模型 1 (常量) x 运送距离(km)
a. 因变量: y 运送时间(天)

标准化系数 Beta t 0.333 0.949 8.509 显著性 0.748 0.000

B 0.118 0.004

标准误 0.355 0.000

回归系数的含义:每公里增加 0.004 天。

11.6 下面是 7 个地区 2000 年的人均国内生产总值(GDP)和人均消费水平的统计数据:
地区 北京 辽宁 上海 江西 河南 贵州 陕西 人均 GDP(元) 22 460 11 226 34 547 4 851 5 444 2 662 4 549 人均消费水平(元) 7 326 4 490 11 546 2 396 2 208 1 608 2 035

要求: (1)人均 GDP 作自变量,人均消费水平作因变量,绘制散点图,并说明二者之间的关系 形态。 (2)计算两个变量之间的线性相关系数,说明两个变量之间的关系强度。 (3)利用最小二乘法求出估计的回归方程,并解释回归系数的实际意义。 (4)计算判定系数,并解释其意义。 (5)检验回归方程线性关系的显著性(a=0.05)。 (6)如果某地区的人均 GDP 为 5 000 元,预测其人均消费水平。 (7)求人均 GDP 为 5 000 元时,人均消费水平 95%的置信区间和预测区间。 解: (1)

人 均 消 费 水 平 元

12000

10000

可能存在线性关系。 (2)相关系数:
相关性
人均 GDP(元) 人均 GDP(元) Pearson 相关性 显著性(双侧) N 人均消费水平(元) Pearson 相关性 显著性(双侧) N
**. 在 .01 水平(双侧)上显著相关。

有很强的线性关系。 (3)回归方程:
系数(a)
非标准化系数 模型 1 (常量) 人均 GDP(元)
a. 因变量: 人均消费水平(元)

回归系数的含义:人均 GDP 没增加 1 元,人均消费增加 0.309 元。 (4)
模型摘要

( )

8000

6000

4000

2000

0 0 10000 20000 30000 40000

人均GDP(元)

__

人均消费水平(元) 1 .998(**) 0.000 7 7 1

.998(**) 0.000 7

7

标准化系数 Beta t 5.265 0.998 36.492 显著性 0.003 0.000

B 734.693 0.309

标准误 139.540 0.008

模型 1
a. 预测变量:(常量), 人均 GDP(元) 。

R .998(a)

R 方 0.996

调整的 R 方 0.996

估计的标准差 247.303

人均 GDP 对人均消费的影响达到 99.6%。 (5)F 检验:
ANOVA(b)
模型 1 回归 残差 合计
a. 预测变量:(常量), 人均 GDP(元) 。 b. 因变量: 人均消费水平(元)

平方和 81,444,968.680 305,795.034 81,750,763.714

df 1 5 6

均方 81,444,968.680 61,159.007

F 1,331.692



回归系数的检验:t 检验
系数(a)
非标准化系数 模型 1 (常量) 人均 GDP(元)
a. 因变量: 人均消费水平(元)

标准化系数 Beta t 5.265 0.998 36.492 显著性 0.003 0.000

B 734.693 0.309

标准误 139.540 0.008

(6) 某地区的人均 GDP 为 5 000 元,预测其人均消费水平为 2278.10657 元。 (7) 人均 GDP 为 5 000 元时,人均消费水平 95%的置信区间为[1990.74915,2565.46399],预测 区间为[1580.46315,2975.74999]。

11.9 某汽车生产商欲了解广告费用(x)对销售量(y)的影响,收集了过去 12 年的有关数据。 通过计算得到下面的有关结果: 方差分析表 变差来源 回归 残差 总计 df 1 10 11 SS 1602708.6 40158.07 1642866.67 MS 1602708.6 4015.807 — 参数估计表 Coefficients Intercept XVariable1 363.6891 1.420211 标准误差 62.45529 0.071091 tStat 5.823191 19.97749 P—value 0.000168 2.17E—09 F 399.1000065 — — SignificanceF 2.17E—09 — —

要求: (1)完成上面的方差分析表。 (2)汽车销售量的变差中有多少是由于广告费用的变动引起的? (3)销售量与广告费用之间的相关系数是多少? (4)写出估计的回归方程并解释回归系数的实际意义。 (5)检验线性关系的显著性(a=0.05)。 解: (2)R2=0.9756,汽车销售量的变差中有 97.56%是由于广告费用的变动引起的。 (3)r=0.9877。 (4)回归系数的意义:广告费用每增加一个单位,汽车销量就增加 1.42 个单位。 (5)回归系数的检验:p=2.17E—09<α,回归系数不等于 0,显著。 回归直线的检验:p=2.17E—09<α,回归直线显著。 11.11 从 20 的样本中得到的有关回归结果是:SSR=60,SSE=40。要检验 x 与 y 之间的线 性关系是否显著,即检验假设: H 0 : ?1 ? 0 。 (1)线性关系检验的统计量 F 值是多少? (2)给定显著性水平 a=0.05,Fa 是多少? (3)是拒绝原假设还是不拒绝原假设? (4)假定 x 与 y 之间是负相关,计算相关系数 r。 (5)检验 x 与 y 之间的线性关系是否显著? 解: (1)SSR 的自由度为 k=1;SSE 的自由度为 n-k-1=18;

SSR 60 k 因此:F= = 1 =27 SSE 40 n ? k ? 1 18
(2) F? ?1,18? = F0.05 ?1,18? =4.41 (3)拒绝原假设,线性关系显著。 (4)r=

SSR = 0.6 =0.7746,由于是负相关,因此 r=-0.7746 SSR ? SSE

(5)从 F 检验看线性关系显著。 11.15 随机抽取 7 家超市,得到其广告费支出和销售额数据如下: 超市 A B C D E F G 广告费支出(万元) l 2 4 6 10 14 20 销售额(万元) 19 32 44 40 52 53 54

要求: (1)用广告费支出作自变量 x,销售额作因变量 y,求出估计的回归方程。 (2)检验广告费支出与销售额之间的线性关系是否显著(a=0.05)。 (3)绘制关于 x 的残差图,你觉得关于误差项 ? 的假定被满足了吗? (4)你是选用这个模型,还是另寻找一个更好的模型? 解: (1)
系数(a)
非标准化系数 模型 1 (常量) 广告费支出(万元)
a. 因变量: 销售额(万元)

标准化系数 Beta t 6.116 0.831 3.339 显著性 0.002 0.021

B 29.399 1.547

标准误 4.807 0.463

(2)回归直线的 F 检验:
ANOVA(b)
模型 1 回归 残差 合计
a. 预测变量:(常量), 广告费支出(万元) 。 b. 因变量: 销售额(万元)

平方和 691.723 310.277 1,002.000

df 1 5 6

均方 691.723 62.055

F 11.147

显著性 .021(a)

显著。 回归系数的 t 检验:
系数(a)
非标准化系数 模型 1 (常量) 广告费支出(万元)
a. 因变量: 销售额(万元)

标准化系数 Beta t 6.116 0.831 3.339 显著性 0.002 0.021

B 29.399 1.547

标准误 4.807 0.463

显著。 (3)未标准化残差图:

10.00000

5.00000

Unstandardized Residual

0.00000

-5.00000

-10.00000

-15.00000 0 5 10 15 20

广告费支出(万元)

__
标准化残差图:

1.00000

Standardized Residual

0.00000

-1.00000

-2.00000 0 5 10 15 20

广告费支出(万元)

学生氏标准化残差图:
2.00000

1.00000

Studentized Residual

0.00000

-1.00000

-2.00000 0 5 10 15 20

广告费支出(万元)

看到残差不全相等。 (4)应考虑其他模型。可考虑对数曲线模型: y=b0+b1ln(x)=22.471+11.576ln(x)。

12.2 根据下面 Excel 输出的回归结果,说明模型中涉及多少个自变量、少个观察值?写出
2 回归方程,并根据 F,se,R2 及调整的 Ra 的值对模型进行讨论。

SUMMARY OUTPUT 回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 方差分析 df 回归 残差 总计 Intercept X Variable 1 X Variable 2 X Variable 3 3 11 14 SS 321946.8018 131723.1982 453670 Coefficients 657.0534 5.710311 -0.416917 -3.471481 MS 107315.6006 11974.84 标准误差 167.459539 1.791836 0.322193 1.442935 F 8.961759 Significance F 0.002724 0.842407 0.709650 0.630463 109.429596 15

t Stat 3.923655 3.186849 -1.293998 -2.405847

P-value 0.002378 0.008655 0.222174 0.034870

解:自变量 3 个,观察值 15 个。

? 回归方程: y =657.0534+5.710311X1-0.416917X2-3.471481X3
2 拟合优度:判定系数 R2=0.70965,调整的 Ra =0.630463,说明三个自变量对因变量的影响的

比例占到 63%。 估计的标准误差 S yx =109.429596,说明随即变动程度为 109.429596 回归方程的检验:F 检验的 P=0.002724,在显著性为 5%的情况下,整个回归方程线性关系 显著。 回归系数的检验: ?1 的 t 检验的 P=0.008655,在显著性为 5%的情况下,y 与 X1 线性关系显 著。

?2 的 t 检验的 P=0.222174,在显著性为 5%的情况下,y 与 X2 线性关系
不显著。 在显著性为 5%的情况下, 与 X3 线性关系显 y ?3 的 t 检验的 P=0.034870, 著。 因此,可以考虑采用逐步回归去除 X2,从新构建线性回归模型。

? 12.3 根据两个自变量得到的多元回归方程为 y ? ?18.4 ? 2.01x1 ? 4.74 x2 ,并且已知 n=10,

SST=6 724.125,SSR=6 216.375, s?? ? 0.0813 , s?? =0.056 7。要求:
1 2

(1)在 a=0.05 的显著性水平下, x1 , x2 与 y 的线性关系是否显著? (2)在 a=0.05 的显著性水平下, ? 1 是否显著? (3)在 a=0.05 的显著性水平下, ?2 是否显著? 解(1)回归方程的显著性检验: 假设:H0: ?1 = ? 2 =0 H1: ?1 , ? 2 不全等于 0

SSE=SST-SSR=6 724.125-6 216.375=507.75 F=

SSR p 6724.125 2 = =42.85 SSE n ? p ? 1 507.75 10 ? 2 ? 1

F? ? 2,7 ? =4.74,F> F? ? 2,7 ? ,认为线性关系显著。
(2)回归系数的显著性检验: 假设:H0: ?1 =0 t= H1: ?1 ≠0

2.01 ?1 = =24.72 S ? 0.0813
1

t? 2 ? n ? p ?1? =2.36, t > t? 2 ? 7 ? ,认为 y 与 x1 线性关系显著。
(3)回归系数的显著性检验: 假设:H0: ? 2 =0 t= H1: ? 2 ≠0

?2
S ?2

=

4.74 =83.6 0.0567

t? 2 ? n ? p ?1? =2.36, t > t? 2 ? 7 ? ,认为 y 与 x2 线性关系显著。

12.4 一家电器销售公司的管理人员认为,每月的销售额是广告费用的函数,并想通过 广告费用对月销售额作出估计。下面是近 8 个月的销售额与广告费用数据: 月销售收入 y(万元) 电视广告费用工:x1 (万元) 报纸广告费用 x2(万元)

96 90 95 92 95 94 94 94

5.0 2.0 4.0 2.5 3.0 3.5 2.5 3.0

1.5 2.0 1.5 2.5 3.3 2.3 4.2 2.5

要求: (1)用电视广告费用作自变量,月销售额作因变量,建立估计的回归方程。 (2)用电视广告费用和报纸广告费用作自变量,月销售额作因变量,建立估计的回归方 程。 (3)上述(1)和(2)所建立的估计方程, 电视广告费用的系数是否相同?对其回归系数分别进 行解释。 (4)根据问题(2)所建立的估计方程,在销售收入的总变差中,被估计的回归方程所解释 的比例是多少? (5)根据问题(2)所建立的估计方程,检验回归系数是否显著(a=0.05)。 ? 解: (1)回归方程为: y ? 88.64+1.6x
? (2)回归方程为: y ? 83.23 ? 2.29x1 ? 1.3x2

(3)不相同, (1)中表明电视广告费用增加 1 万元,月销售额增加 1.6 万元; (2) 中表明,在报纸广告费用不变的情况下,电视广告费用增加 1 万元,月销售额增加 2.29 万 元。
2 (4)判定系数 R2= 0.919,调整的 Ra = 0.8866,比例为 88.66%。

(5)回归系数的显著性检验: Coefficients标准误差 t Stat Intercept 电视广告费用工:x1 (万元) 报纸广告费用 x2(万元) 假设:H0: ?1 =0 t= P-value Lower 95%Upper 95%下限 95.0%上限 95.0% 79.18433 1.508561 0.476599 87.27585 3.071806 2.125379 83.23009 1.57386952.88248 4.57E-08 79.18433 87.27585 2.290184 0.3040657.5318990.000653 1.508561 3.071806 1.300989 0.3207024.0566970.009761 0.476599 2.125379

H1: ?1 ≠0

?1 2.29 = =7.53 S ? 0.304
1

t0.025 ?5? =2.57, t > t0.025 ?5? ,认为 y 与 x1 线性关系显著。
(3)回归系数的显著性检验: 假设:H0: ? 2 =0 t= H1: ? 2 ≠0

?2
S ?2

=

1.3 =4.05 0.32

t0.025 ?5? =2.57, t > t0.025 ?5? ,认为 y 与 x2 线性关系显著。
12.5 某农场通过试验取得早稻收获量与春季降雨量和春季温度的数据如下: 收获量 y(kg/hm2) 2 250 3 450 4 500 6 750 7 200 7 500 8 250 降雨量 x1(mm) 25 33 45 105 110 115 120 温度 x2(℃ ) 6 8 10 13 14 16 17

要求: (1)试确定早稻收获量对春季降雨量和春季温度的二元线性回归方程。 (2)解释回归系数的实际意义。 (3)根据你的判断,模型中是否存在多重共线性?
? 解: (1)回归方程为: y ? -0.591 ? 22.386x1 ? 327.672x2

(2)在温度不变的情况下,降雨量每增加 1mm,收获量增加 22.386kg/hm2,在降雨 量不变的情况下,降雨量每增加 1 度,收获量增加 327.672kg/hm2。 (3) x1 与 x 2 的相关系数 rx1x2 =0.965,存在多重共线性。 12.9 下面是随机抽取的 15 家大型商场销售的同类产品的有关数据(单位:元)。 企业编号 l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 l l 1 1 1 1 1 1 l l 1 1 1 1 销售价格 y l 238 266 200 193 106 303 313 144 286 084 120 156 083 263 246 购进价格 x1 966 894 440 664 791 852 804 905 77l 511 505 85l 659 490 696 销售费用 x2 223 257 387 310 339 283 302 214 304 326 339 235 276 390 316

要求: (1)计算 y 与 x1、y 与 x2 之间的相关系数,是否有证据表明销售价格与购进价格、销售 价格与销售费用之间存在线性关系? (2)根据上述结果,你认为用购进价格和销售费用来预测销售价格是否有用? (3)用 Excel 进行回归,并检验模型的线性关系是否显著(a=0.05)。 (4)解释判定系数 R2,所得结论与问题(2)中是否一致? (5)计算 x1 与 x2 之间的相关系数,所得结果意味着什么? (6)模型中是否存在多重共线性?你对模型有何建议? 解: (1)y 与 x1 的相关系数=0.309,y 与 x2 之间的相关系数=0.0012。对相关性进行检 验:
相关性
销售价格 销售价格 Pearson 相关性 显著性(双侧) N 购进价格 Pearson 相关性 显著性(双侧) N 销售费用 Pearson 相关性 显著性(双侧) N
**. 在 .01 水平(双侧)上显著相关。

购进价格 1 0.309 0.263 15 15 1

销售费用 0.001 0.997 15 -.853(**) 0.000 15 15 1

0.309 0.263 15 0.001 0.997 15

-.853(**) 0.000 15

15

可以看到,两个相关系数的 P 值都比较的,总体上线性关系也不现状,因此没有明显 的线性相关关系。 (2)意义不大。 (3) 回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 方差分析 df 回归分析 残差 总计 2 12 14 SS 31778.1539 58382.7794 90160.9333 t Stat MS 15889.08 4865.232 F Significance F 0.073722 3.265842 0.593684 0.35246 0.244537 69.75121 15

Coefficients 标准误差 Intercept 购进价格 x1 销售费用 x2

P-value Lower 95%Upper 95%下限 95.0%上限 95.0% -363.91 0.079317 0.002386 1115.114 0.996365 2.912001

375.6018339.410562 1.106630.290145 -363.91 1115.114 0.5378410.210446742.555711 0.0252 0.079317 0.996365 1.4571940.667706592.1823860.049681 0.002386 2.912001

从检验结果看,整个方程在 5%下,不显著;而回归系数在 5%下,均显著,说明回归 方程没有多大意义,并且自变量间存在线性相关关系。 (4)从 R2 看,调整后的 R2=24.4%,说明自变量对因变量影响不大,反映情况基本一 致。 (5)方程不显著,而回归系数显著,说明可能存在多重共线性。 (6)存在多重共线性,模型不适宜采用线性模型。 12.11 一家货物运输公司想研究运输费用与货物类型的关系,并建立运输费用与货物类型 的回归模型,以此对运输费用作出预测。该运输公司所运输的货物分为两种类型:易碎品和 非易碎品。下表给出了 15 个路程大致相同,而货物类型不同的运输费用数据。 每件产品的运输费用 y(元) 17.2 11.1 12.0 10.9 13.8 6.5 10.0 11.5 7.0 8.5 2.1 l。3 3.4 7.5 2.0 货物类型 易碎品 易碎品 易碎品 易碎品 易碎品 易碎品 易碎品 易碎品 非易碎品 非易碎品 非易碎品 非易碎品 非易碎品 非易碎品 非易碎品 x1 1 1 1 l 1 l 1 1 0 0 0 0 0 0 0

要求: (1)写出运输费用与货物类型之间的线性方程。 (2)对模型中的回归系数进行解释。 (3)检验模型的线性关系是否显著(a=0.05)。 解: df 回归分析 残差 总计 1 13 14 SS 187.2519 120.3721 307.624 MS 187.2519 9.259396 F 20.2229 Significance F 0.000601

Coefficients标准误差 t Stat

P-value Lower 95%Upper 95%下限 95.0%上限 95.0% 2.058179 3.679857 7.027535 10.48443

Intercept 4.542857 1.1501183.9499060.001662 2.058179 7.027535 x1 7.082143 1.5748644.4969880.000601 3.679857 10.48443 ? (1)回归方程为: y ? 4.54 ? 7.08x

(2)非易碎品的平均运费为 4.54 元,易碎品的平均运费为 11.62 元,易碎品与非易碎

品的平均运费差为 7.08 元。 (3)回归方程的显著性检验: 假设:H0: ?1 =0 H1: ?1 不等于 0

SSR=187.25195,SSE=120.3721, F=

SSR p 6724.125 1 = =20.22 SSE n ? p ? 1 507.75 15 ? 1 ? 1

P=0.000601<0.05,或者 F0.05 ?1,13? =4.67,F> F0.05 ?1,13 ? ,认为线性关系显著。 或者,回归系数的显著性检验: 假设:H0: ?1 =0 t= H1: ?1 ≠0

?1 7.08 = =4.5 S ? 1.57
1

P=0.000601<0.05,或者 t? 2 ? n ? p ?1? = t0.025 ?13? =2.16, t > t0.025 ?13? ,认为 y 与 x 线 性关系显著。 12.12 为分析某行业中的薪水有无性别歧视,从该行业中随机抽取 15 名员工,有关数据如 下: 月薪 y(元) 548 629 1 011 l 229 l 746 1 528 l 018 1 190 l 551 985 l 610 1 432 1 215 990 1 585 l l 工龄 x1 3.2 3.8 2.7 3.4 3.6 4.1 3.8 3.4 3.3 3.2 3.5 2.9 3.3 2.8 3.5 性别(1=男,0=女)x2 l l 0 0 l 1 0 0 l 0 l l 0 0 l

要求:用 Excel 进行回归,并对结果进行分析。 解: 回归统计 Multiple R 0.943391

R Square 0.889987 Adjusted R Square0.871652 96.79158 标准误差 15 观测值 方差分析 df 回归分析 残差 总计 2 12 14 SS 909488.4 112423.3 1021912 MS 454744.2 9368.61 F Significance F 1.77E-06 48.53914

Coefficients标准误差 t Stat Intercept 工龄 x1 性别(1=男,0=女)x2

P-value Lower 95%Upper 95%下限 95.0%上限 95.0% 218.7664 -45.8361 342.208 1245.355 268.2765 575.1601

732.0606 235.58443.1074250.009064 218.7664 1245.355 111.2202 72.083421.5429370.148796 -45.8361 268.2765 458.6841 53.4585 8.58019 1.82E-06 342.208 575.1601

拟合优度良好,方程线性显著,工龄线性不显著,性别线性显著。

13.1 下 表 是 1981 年 —1999 年 国 家 财 政 用 于 农 业 的 支 出 额 数 据
年份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 支出额(亿元) 110.21 120.49 132.87 141.29 153.62 184.2 195.72 214.07 265.94 307.84 年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 支出额(亿元) 347.57 376.02 440.45 532.98 574.93 700.43 766.39 1154.76 1085.76

( 1) 绘 制 时 间 序 列 图 描 述 其 形 态 。 ( 2) 计 算 年 平 均 增 长 率 。 ( 3) 根 据 年 平 均 增 长 率 预 测 2000 年 的 支 出 额 。 详细答案: ( 1) 时 间 序 列 图 如 下 :

从时间序列图可以看出,国家财政用于农业的支出额大体上呈指数 上升趋势。 ( 2) 年 平 均 增 长 率 为 :

。 ( 3) 。

13.2 下 表 是 1981 年 —2000 年 我 国 油 彩 油 菜 籽 单 位 面 积 产 量 数 据 ( 单 位 : kg / hm2)
年份 1981 1982 1983 1984 单位面积产量 1451 1372 1168 1232 年份 1991 1992 1993 1994 单位面积产量 1215 1281 1309 1296

1985 1986 1987 1988 1989 1990

1245 1200 1260 1020 1095 1260

1995 1996 1997 1998 1999 2000

1416 1367 1479 1272 1469 1519

( 1) 绘 制 时 间 序 列 图 描 述 其 形 态 。 ( 2) 用 5 期 移 动 平 均 法 预 测 2001 年 的 单 位 面 积 产 量 。 ( 3) 采 用 指 数 平 滑 法 , 分 别 用 平 滑 系 数 a=0.3 和 a=0.5 预 测 2001 年 的 单 位面积产量,分析预测误差,说明用哪一个平滑系数预测更合适? 详细答案: ( 1) 时 间 序 列 图 如 下 :

( 2) 2001 年 的 预 测 值 为 :

| ( 3) 由 Excel 输 出 的 指 数 平 滑 预 测 值 如 下 表 :
指数平滑预测 年份 单位面积产量 a=0.3 1981 1451 误差平方 a=0.5 指数平滑预测 误差平方

1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 合计

1372 1168 1232 1245 1200 1260 1020 1095 1260 1215 1281 1309 1296 1416 1367 1479 1272 1469 1519 —

1451.0 1427.3 1349.5 1314.3 1293.5 1265.4 1263.8 1190.7 1162.0 1191.4 1198.5 1223.2 1249.0 1263.1 1308.9 1326.4 1372.2 1342.1 1380.2 —

6241.0 67236.5 13808.6 4796.5 8738.5 29.5 59441.0 9151.5 9611.0 558.1 6812.4 7357.6 2213.1 23387.7 3369.9 23297.7 10031.0 16101.5 19272.1 291455.2

1451.0 1411.5 1289.8 1260.9 1252.9 1226.5 1243.2 1131.6 1113.3 1186.7 1200.8 1240.9 1275.0 1285.5 1350.7 1358.9 1418.9 1345.5 1407.2 —

6241.0 59292.3 3335.1 252.0 2802.4 1124.3 49833.6 1340.8 21518.4 803.5 6427.7 4635.8 442.8 17035.9 264.4 14431.3 21589.8 15260.3 12491.7 239123.0

2001 年 a=0.3 时 的 预 测 值 为 :

a=0.5 时 的 预 测 值 为 :

比 较 误 差 平 方 可 知 , a=0.5 更 合 适 。 13.3 下 面 是 一 家 旅 馆 过 去 18 个 月 的 营 业 额 数 据
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 营业额(万元) 295 283 322 355 286 379 381 431 424 月份 10 11 12 13 14 15 16 17 18 营业额(万元) 473 470 481 449 544 601 587 644 660

( 1) 用 3 期 移 动 平 均 法 预 测 第 19 个 月 的 营 业 额 。 ( 2)采 用 指 数 平 滑 法 ,分 别 用 平 滑 系 数 a=0.3、a=0.4 和 a=0.5 预 测 各 月 的 营业额,分析预测误差,说明用哪一个平滑系数预测更合适? ( 3) 建 立 一 个 趋 势 方 程 预 测 各 月 的 营 业 额 , 计 算 出 估 计 标 准 误 差 。 详细答案: ( 1) 第 19 个 月 的 3 期 移 动 平 均 预 测 值 为 :

( 2)

预测 营业额 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 合计 295 283 322 355 286 379 381 431 424 473 470 481 449 544 601 587 644 660 — 295.0 291.4 300.6 316.9 307.6 329.0 344.6 370.5 386.6 412.5 429.8 445.1 446.3 475.6 513.2 535.4 567.9 — 144.0 936.4 2961.5 955.2 5093.1 2699.4 7459.6 2857.8 7468.6 3305.6 2626.2 15.0 9547.4 15724.5 5443.2 11803.7 8473.4 87514.7 a=0.3 误差平方

预测 误差平方 a=0.4

预测 误差平方 a=0.5

295.0 290.2 302.9 323.8 308.7 336.8 354.5 385.1 400.7 429.6 445.8 459.9 455.5 490.9 534.9 555.8 591.1 —

144.0 1011.2 2712.3 1425.2 4949.0 1954.5 5856.2 1514.4 5234.4 1632.9 1242.3 117.8 7830.2 12120.5 2709.8 7785.2 4752.7 62992.5

295.0 289.0 305.5 330.3 308.1 343.6 362.3 396.6 410.3 441.7 455.8 468.4 458.7 501.4 551.2 569.1 606.5 —

144.0 1089.0 2450.3 1958.1 5023.3 1401.6 4722.3 748.5 3928.7 803.1 633.5 376.9 7274.8 9929.4 1283.3 5611.7 2857.5 50236

由 Excel 输 出 的 指 数 平 滑 预 测 值 如 下 表 : a=0.3 时 的 预 测 值 : , 误 差 均 方 = 87514.7。

a=0.4 时 的 预 测 值 : , 误 差 均 方 = 62992.5.。 a=0.5 时 的 预 测 值 : , 误 差 均 方 = 50236。 比 较 各 误 差 平 方 可 知 , a=0.5 更 合 适 。 ( 3) 根 据 最 小 二 乘 法 , 利 用 Excel 输 出 的 回 归 结 果 如 下 :

回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 0.9673 0.9356 0.9316 31.6628 18

方差分析 df 回归分析 残差 总计 1 16 17 SS 232982.5 16040.49 249022.9 MS 232982.5 1002.53 F 232.3944 Significance F 5.99E-11

Coefficients Intercept X Variable 1 239.73203 21.928793

标准误差 15.57055 1.438474

t Stat 15.3965 15.24449

P-value 5.16E-11 5.99E-11

Lower 95% 206.7239 18.87936

Upper 95% 272.7401 24.97822

。估计标准误差



13.4 下 表 是 1981 年 —2000 年 我 国 财 政 用 于 文 教 、科 技 、卫 生 事 业 费 指 出 额数据
年份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 支出(万元) 171.36 196.96 223.54 263.17 316.70 379.93 402.75 486.10 553.33 617.29 年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 支出(万元) 708.00 792.96 957.77 1278.18 1467.06 1704.25 1903.59 2154.38 2408.06 2736.88

( 1) 绘 制 时 间 序 列 图 描 述 其 趋 势 。 ( 2)选 择 一 条 适 合 的 趋 势 线 拟 合 数 据 , 并 根 据 趋 势 线 预 测 2001 年 的 支 出 额。 详细答案: ( 1) 趋 势 图 如 下 :

( 2) 从 趋 势 图 可 以 看 出 , 我 国 财 政 用 于 文 教 、 科 技 、 卫 生 事 业 费 指 出 额 呈 现 指 数 增 长 趋 势 , 因 此 , 选 择 指 数 曲 线 。 经 线 性 变 换 后 , 利 用 Excel 输 出的回归结果如下:

回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 0.998423 0.996849 0.996674 0.022125 20

方差分析 df 回归分析 残差 总计 1 18 19 SS 2.787616 0.008811 2.796427 MS 2.787616 0.000489 F 5694.885 Significance F 5.68E-24

Coefficients

标准误差

t Stat

P-value

Lower 95%

Upper 95%

Intercept X Variable 1

2.163699 0.064745

0.010278 0.000858

210.5269 75.46446

5.55E-32 5.68E-24

2.142106 0.062942

2.185291 0.066547

, 指数曲线方程为: 2001 年 的 预 测 值 为 :

; 。



。所以,



13.5 我 国 1964 年 ~ 1999 年 的 纱 产 量 数 据 如 下 ( 单 位 : 万 吨 ) :
年份 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 纱产量 97.0 130.0 156.5 135.2 137.7 180.5 205.2 190.0 188.6 196.7 180.3 210.8 年份 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 纱产量 196.0 223.0 238.2 263.5 292.6 317.0 335.4 327.0 321.9 353.5 397.8 436.8 年份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 纱产量 465.7 476.7 462.6 460.8 501.8 501.5 489.5 542.3 512.2 559.8 542.0 567.0

( 1) 绘 制 时 间 序 列 图 描 述 其 趋 势 。 ( 2)选 择 一 条 适 合 的 趋 势 线 拟 合 数 据 ,并 根 据 趋 势 线 预 测 2000 年 的 产 量 。

详细答案: ( 1) 趋 势 图 如 下 :

( 2)从 图 中 可 以 看 出 ,纱 产 量 具 有 明 显 的 线 性 趋 势 。用 Excel 求 得 的 线 性 趋势方程为:

2000 年 预 测 值 为 : =585.65( 万 吨 ) 。

13.6 对 下 面 的 数 据 分 别 拟 合 线 性 趋 势 线 和阶次曲线

、二阶曲线 。并 对 结 果 进 行 比 较 。

时间 t 1 2 3 4 5 6

观测值 Y 372 370 374 375 377 377

时间 t 19 20 21 22 23 24

观测值 Y 360 357 356 352 348 353

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

374 372 373 372 369 367 367 365 363 359 358 359

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

356 356 356 359 360 357 357 355 356 363 365

详细答案: 在 求 二 阶 曲 线 和 三 阶 曲 线 时 , 首 先 将 其 线 性 化 ,然 后 用 最 小 二 乘 法 按 线 性 回 归 进 行 求 解 。 用 Excel 求 得 的 趋 势 直 线 、 二 阶 曲 线 和 三 阶 曲 线 的 系 数 如 下:
直线 Intercept X Variable 1 374.1613 -0.6137 二阶曲线 Intercept X Variable 1 X Variable 2 381.6442 -1.8272 0.0337 三阶曲线 Intercept X Variable 1 X Variable 2 X Variable 3 372.5617 1.0030 -0.1601 0.0036

各趋势方程为: 线性趋势: 二阶曲线: 三阶曲线: 根据趋势方程求得的预测值和预测误差如下表:
直线 观测值 Y 时间 t 预测 372 370 374 375 377 377 374 372 373 372 369 367 367 365 363 359 373.5 372.9 372.3 371.7 371.1 370.5 369.9 369.3 368.6 368.0 367.4 366.8 366.2 365.6 365.0 364.3 误差平方 2.4 8.6 2.8 10.8 34.9 42.5 17.1 7.6 19.0 15.8 2.5 0.0 0.7 0.3 3.8 28.5 预测 379.9 378.1 376.5 374.9 373.4 371.9 370.5 369.2 367.9 366.7 365.6 364.6 363.6 362.7 361.8 361.0 误差平方 61.6 66.0 6.1 0.0 13.3 26.1 12.2 7.9 25.7 27.6 11.4 5.9 11.6 5.4 1.4 4.2 预测 373.4 374.0 374.2 374.2 374.0 373.6 373.0 372.2 371.2 370.2 369.0 367.7 366.4 365.1 363.7 362.3 误差平方 2.0 15.6 0.1 0.6 8.9 11.6 1.1 0.0 3.1 3.3 0.0 0.6 0.3 0.0 0.5 11.1 二阶曲线 三阶曲线



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 合计

358 359 360 357 356 352 348 353 356 356 356 359 360 357 357 355 356 363 365 —

363.7 363.1 362.5 361.9 361.3 360.7 360.0 359.4 358.8 358.2 357.6 357.0 356.4 355.7 355.1 354.5 353.9 353.3 352.7 —

32.8 16.9 6.3 23.9 27.8 75.0 145.1 41.4 7.9 4.9 2.5 4.1 13.2 1.6 3.5 0.2 4.4 94.2 151.8 854.9

360.3 359.7 359.1 358.6 358.1 357.8 357.5 357.2 357.0 356.9 356.9 356.9 357.0 357.2 357.4 357.7 358.1 358.5 359.0 —

5.4 0.5 0.8 2.5 4.6 33.2 89.3 17.7 1.1 0.9 0.8 4.4 9.0 0.0 0.2 7.2 4.2 20.4 36.2 524.7

361.0 359.7 358.4 357.3 356.3 355.4 354.6 354.0 353.7 353.5 353.6 353.9 354.5 355.5 356.7 358.3 360.3 362.7 365.4 —

8.9 0.5 2.4 0.1 0.1 11.3 43.7 1.1 5.5 6.3 5.9 25.8 29.8 2.3 0.1 11.0 18.4 0.1 0.2 232.1

不同趋势线预测的标准误差如下:

直线:

二阶曲线:

三阶曲线: 比较各预测误差可知,直线的误差最大,三阶曲线的误差最小。 从不同趋势方程的预测图也可以看出,三阶曲线与原序列的拟合最好。

13.7 下 表 是 1981—2000 年 我 国 的 原 煤 产 量 数 据
年份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 原煤产量(亿吨) 6.22 6.66 7.15 7.89 8.72 8.94 年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 原煤产量(亿吨) 10.87 11.16 11.50 12.40 13.61 13.97

1987 1988 1989 1990

9.28 9.80 10.54 10.80

1997 1998 1999 2000

13.73 12.50 10.45 9.98

( 1) 绘 制 时 间 序 列 图 描 述 其 趋 势 。 ( 2)选 择 一 条 适 合 的 趋 势 线 拟 合 数 据 ,并 根 据 趋 势 线 预 测 2001 年 的 产 量 。 详细答案: ( 1) 原 煤 产 量 趋 势 图 如 下 :

从趋势图可以看出,拟合二阶曲线比较合适。 ( 2) 用 Excel 求 得 的 二 阶 曲 线 趋 势 方 程 为 :

2001 年 的 预 测 值 为 : 。

13.8 一 家 贸 易 公 司 主 要 经 营 产 品 的 外 销 业 务 ,为 了 合 理 地 组 织 货 源 ,需 要 了 解 外 销 订 单 的 变 化 状 况 。 下 表 是 1997—2001 年 各 月 份 的 外 销 定 单 金 额 (单位:万元)。
年/月 1997 1998 1999 2000 2001

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

54.3 46.6 62.6 58.2 57.4 56.6 56.1 52.9 54.6 51.3 54.8 52.1

49.1 50.4 59.3 58.5 60.0 55.6 58.0 55.8 55.8 59.8 59.4 55.5

56.7 52.0 61.7 61.4 62.4 63.6 63.2 63.9 63.2 63.4 64.4 63.8

64.4 54.5 68.0 71.9 69.4 67.7 68.0 66.3 67.8 71.5 70.5 69.4

61.1 69.4 76.5 71.6 74.6 69.9 71.4 72.7 69.9 74.2 72.7 72.5

( 1) 根 据 各 年 的 月 份 数 据 绘 制 趋 势 图 , 说 明 该 时 间 序 列 的 特 点 。 ( 2) 要 寻 找 各 月 份 的 预 测 值 , 你 认 为 应 该 采 取 什 么 方 法 ? ( 3) 选 择 你 认 为 合 适 的 方 法 预 测 2002 年 1 月 份 的 外 销 订 单 金 额 。 详细答案: ( 1) 趋 势 图 如 下 :

从 趋 势 图 可 以 看 出 ,每 一 年 的 各 月 份 数 据 没 有 趋 势 存 在 ,但 从 1997—2001 年的变化看,订单金额存在一定的线性趋势。 ( 2) 由 于 是 预 测 各 月 份 的 订 单 金 额 , 因 此 采 用 移 动 平 均 法 或 指 数 平 滑 法 比较合适。 ( 3) 用 Excel 采 用 12 项 移 动 平 均 法 预 测 的 结 果 为 : 用 Excel 采 用 指 数 平 滑 法 ( a=0.4) 预 测 的 预 测 结 果 为 : 。 。

13.9 1993—2000 年 我 国 社 会 消 费 品 零 售 总 额 数 据 如 下 ( 单 位 : 亿 元 )
月/年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1993 977.5 892.5 942.3 941.3 962.2 1005.7 963.8 959.8 1023.3 1051.1 1102.0 1415.5 1994 1192.2 1162.7 1167.5 1170.4 1213.7 1281.1 1251.5 1286.0 1396.2 1444.1 1553.8 1932.2 1995 1602.2 1491.5 1533.3 1548.7 1585.4 1639.7 1623.6 1637.1 1756.0 1818.0 1935.2 2389.5 1996 1909.1 1911.2 1860.1 1854.8 1898.3 1966.0 1888.7 1916.4 2083.5 2148.3 2290.1 2848.6 1997 2288.5 2213.5 2130.9 2100.5 2108.2 2164.7 2102.5 2104.4 2239.6 2348.0 2454.9 2881.7 1998 2549.5 2306.4 2279.7 2252.7 2265.2 2326.0 2286.1 2314.6 2443.1 2536.0 2652.2 3131.4 1999 2662.1 2538.4 2403.1 2356.8 2364.0 2428.8 2380.3 2410.9 2604.3 2743.9 2781.5 3405.7 2000 2774.7 2805.0 2627.0 2572.0 2637.0 2645.0 2597.0 2636.0 2854.0 3029.0 3108.0 3680.0

( 1) 绘 制 时 间 序 列 线 图 , 说 明 该 序 列 的 特 点 。 ( 2) 利 用 分 解 预 测 法 预 测 2001 年 各 月 份 的 社 会 消 费 品 零 售 总 额 。

详细答案: ( 1) 趋 势 图 如 下 :

从 趋 势 图 可 以 看 出 ,我 国 社 会 消 费 品 零 售 总 额 的 变 具 有 明 显 的 季 节 变 动 和 趋势。 ( 2) 利 用 分 解 法 预 测 的 结 果 如 下 :

时间编号 2001 年/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106

季节指数

回归预测值

最终预测值

1.0439 0.9939 0.9593 0.9398 0.9439 0.9589 0.9287 0.9261 0.9814 1.0075

3056.30 3077.50 3098.71 3119.92 3141.13 3162.33 3183.54 3204.75 3225.96 3247.16

3190.48 3058.87 2972.48 2931.99 2964.88 3032.30 2956.43 2967.86 3166.05 3271.51

11 12

107 108

1.0472 1.2694

3268.37 3289.58

3422.77 4175.95

13.10 1995 年 ~ 2000 年 北 京 市 月 平 均 气 温 数 据 如 下 ( 单 位 :

):

月/年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1995 -0.7 2.1 7.7 14.7 19.8 24.3 25.9 25.4 19.0 14.5 7.7 -0.4

1996 -2.2 -0.4 6.2 14.3 21.6 25.4 25.5 23.9 20.7 12.8 4.2 0.9

1997 -3.8 1.3 8.7 14.5 20.0 24.6 28.2 26.6 18.6 14.0 5.4 -1.5

1998 -3.9 2.4 7.6 15.0 19.9 23.6 26.5 25.1 22.2 14.8 4.0 0.1

1999 -1.6 2.2 4.8 14.4 19.5 25.4 28.1 25.6 20.9 13.0 5.9 -0.6

2000 -6.4 -1.5 8.1 14.6 20.4 26.7 29.6 25.7 21.8 12.6 3.0 -0.6

( 1) 绘 制 年 度 折 叠 时 间 序 列 图 , 判 断 时 间 序 列 的 类 型 。 ( 2) 用 季 节 性 多 元 回 归 模 型 预 测 2001 年 各 月 份 的 平 均 气 温 。 详细答案: ( 1) 年 度 折 叠 时 间 序 列 图 如 下 :

从年度折叠时间序列图可以看出,北京市月平均气温具有明显的季节变 动。由于折线图中有交叉,表明该序列不存在趋势。 ( 2) 季 节 性 多 元 回 归 模 型 为 : 设月份为 。则季节性多元回归模型为:

虚拟变量为:

, 由 Excel 输 出 的 回 归 结 果 如 下 :

, ……,



系数 b0 b1 M1 M2 M3 M4 -0.2233 -0.0030 -2.7832 1.3365 7.5062 14.9092

M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11

20.5289 25.3319 27.6349 25.7213 20.8743 13.9606 5.3803

季节性多元回归方程为:

2001 年 各 月 份 平 均 气 温 的 预 测 值 如 下 :
虚拟变量 时间 年/月 M1 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 M3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 M4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 M5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 M6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 M7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 M8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 M9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 M10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 M11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3.2 0.9 7.1 14.5 20.1 24.9 27.2 25.3 20.4 13.5 预测

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12

83 84

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

4.9 -0.5

13.11 下 表 中 的 数 据 是 一 家 大 型 百 货 公 司 最 近 几 年 各 季 度 的 销 售 额 数 据 (单位:万元)。对这一时间序列的构成要素进行分解,计算季节指数、 剔除季节变动、计算剔除季节变动后趋势方程。
年/季 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 1 993.1 1673.6 2342.4 3254.4 3904.2 5483.2 5123.6 4942.4 5009.9 6059.3 2 971.2 1931.5 2552.6 4245.2 5105.9 5997.3 6051.0 6825.5 6257.9 5819.7 3 2264.1 3927.8 3747.5 5951.1 7252.6 8776.1 9592.2 8900.1 8016.8 7758.8 4 1943.3 3079.6 4472.8 6373.1 8630.5 8720.6 8341.2 8723.1 7865.6 8128.2

详细答案: 各季节指数如下:
1 季度 季节指数 0.7517 2 季度 0.8513 3 季度 1.2343 4 季度 1.1627

季节变动图如下:

根据分离季节因素后的数据计算的趋势方程为:



13.12 下 表 中 的 数 据 是 一 家 水 产 品 加 工 公 司 最 近 几 年 的 加 工 量 数 据 单 位 : ( t)。对 该 序 列 进 行 分 解 ,计 算 季 节 指 数 、剔 除 季 节 变 动 、计 算 剔 除 季 节 变 动后趋势方程。
年/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1997 78.8 78.1 84.0 94.3 97.6 102.8 92.7 41.6 109.8 127.3 210.3 1998 91.9 92.1 80.9 94.5 101.4 111.7 92.9 43.6 117.5 153.1 229.4 1999 90.4 100.1 114.1 108.2 125.7 118.3 89.1 46.1 132.1 173.9 273.3 2000 66.8 73.3 85.3 94.6 74.1 100.8 106.7 44.0 132.1 162.5 249.0 2001 99.5 80.0 108.4 118.3 126.8 123.3 117.2 42.0 150.6 176.6 249.2

12

242.8

286.7

352.1

330.8

320.6

详细答案: 各月季节指数如下:

1月 0.6744 7月 0.7552

2月 0.6699 8月 0.3449

3月 0.7432 9月 0.9619

4月 0.7903 10 月 1.1992

5月 0.8061 11 月 1.8662

6月 0.8510 12 月 2.3377

季节变动图如下:

根据分离季节因素后的数据计算的趋势方程为:




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