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2015-2016学年度南昌市高三第一轮复习训练题数学(1)(集合与简易逻辑)1


2015-2016 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数学(一) (集合、简易逻辑和推理与证明.)
命题人: 学校: 审题人: 学校: 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? x ? R 2 x ? 1 ? 0 , B ? x ? R ? x ? 1?? x ? 2 ? ? 0 ,则 A ? B ? A. (??, ?1) B. (?1, ? 1 ) 2

?

?

?

?

C. (? 1 , 2) D. (2, ??) 2 2. U ? {?2, ?1, 0,1, 2}, A ? {?2, ?1, 0}, B ? {0,1, 2} ,则集合 (CU A) ? B 等于 A. {1, 2} B. {?2, ?1} C. {0} 3.设集合 A ? {1, 2} ,则满足 A ? B ? {1, 2,3} 的集合 B 的个数是 D. {0,1, 2}

A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 4.如果命题“ ?( p ? q ) ”为假命题,则 A. p, q 均为假命题 B. p, q 均为真命题 C. p, q 中至少一个为真命题 D. p, q 中至多有一个为真命题 5.在等差数列 {an } 中,若 an ? 0 ,公差 d ? 0 ,则有 a4 ? a6 ? a3 ? a7 ,类比上述性质, 在等比数列 {bn } 中,若 bn ? 0 ,公比 q ? 1 ,则 b4 , b5 , b7 , b8 的一个不等关系是 A. b4 ? b8 ? b5 ? b7 B. b4 ? b8 ? b5 ? b7 C. b4 ? b7 ? b5 ? b8 D. b4 ? b7 ? b5 ? b8 6.命题 p :a ? 1 ;命题 q :关于 x 的实系数方程 x2 ? 2 2 x ? a ? 0 有虚数解,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 观察下列各式:a ? b ? 1 ,a ? b ? 3 ,a ? b ? 4 ,a ? b ? 7 , ?, 则a ?b ? A.28 B.76 C.123 D.199 8.已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面 积不可能等于 2-1 2+1 A.1 B. 2 C. D. 2 2
2 2 3 3 4 4 10 10

2 9.若命题“ ?x0 ? R,使得x0 ? mx0 ? 2m ? 3 ? 0 ”为假命题,则实数 m 的取值范围是

A. ? 2,6?

B. ? ?6, ?2?

C. ? 2, 6 ?

D. ? ?6, ?2?

10.已知 ?: x ≥ a , ?: x ? 1 ? 1 .若 ? 是 ? 的必要非充分条件,则实数 a 的取值范围是 A. a ≥ 0 B. a ≤ 0 11.下列说法正确的是 C. a ≥ 2 D. a ≤ 2

2 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题是“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”

2 B. “ x ? ?1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的必要不充分条件 C.命题 “若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题是真命题

D. “tanx=1”是“ x ?

?
4

”的充分不必要条件

12. 下列四个命题中,正确的有
高三数学(一)第 1 页 共 6 页

①两个变量间的相关系数 r 越小,说明两变量间的线性相关程度越低; 2 ②命题 p :“ ?x0 ? R , x0 ? x0 ?1 ? 0 ”的否定 ? p :“ ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ”; ③用相关指数 R 来刻画回归效果,若 R 越大,则说明模型的拟合效果越好; ④若 a ? 0.3 , b ? 2 , c ? log0.3 2 ,则 c ? a ? b .
2 0.3
2 2

A.①③④ 题号 答案 1 2 3 4

B.①④ 5 6 7 8

C.③④ 9 10 11

D.②③ 12

二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。 13.已知全集 U ? R ,集合 A ? ?x | x ? a ? 0, x ? R? , B ? ?x || x ?1|? 3, x ? R? .若

(CU A) ? B ? [?2, 4] ,则实数 a 的取值范围是
14. 在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ?



an (n ? 1,2,3,?) ,则此数列的通项公式可归纳为____. 1? an

15.在等差数列{an}中,若 a1=0,s,t 是互不相等的正整数,则有等式(s-1)at-(t-1)as =0 成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{bn}中,若 b1=1,s,t 是互不相等的正 整数,则有等式________成立. 16.已知命题”存在 x ? R, x 2 ? ax ? 1 ? 0 ”为假命题,则 a 的取值范围为_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。 17.已知全集 U=R,集合 A={ y | y ? x ?
2

3 x ? 1, x ? [0,2] },B={ x | y ? 1? | x | }。 2

(Ⅰ)求(

UA)∪B;
2

(Ⅱ)若集合 C={ x | x ? m ≥

1 },命题 p : x ∈A,命题 q : x ∈C,且 p 命题是命题 q 2

的充分条件,求实数 m 的取值范围。

高三数学(一)第 2 页 共 6 页

18.知命题 p:方程 2x2+ax-a2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等 式 x2 0+2ax0+2a≤0,若命题“p 或 q”是假命题,求 a 的取值范围.

19. 已知函数 f ( x) ? a ?
x

(1)函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)方程 f ( x) ? 0 没有负根.

x?2 (a ? 1) .求证: x ?1

高三数学(一)第 3 页 共 6 页

20. 已知 f ? x ? ? m(x ? 2m ( ) x ? m ? 3) , g ?x ? ? 2 x ? 2 ,若同时满足条件:

①?x ? R,f ? x ?<0或g ? x ?<0,②?x ? (-?, - 4), f ? x ? ? g ? x ?<0 ,则 m 的取值范围

高三数学(一)第 4 页 共 6 页

21. 已知 (x+1)(2- x) ? 0 的解为条件 p , 关于 x 的不等式 x +mx-2m -3m-1 <0 (m>2 2

2 ) 3

的解为条件 q . (1)若 p 是 q 的充分不必要条件时,求实数 m 的取值范围. (2)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件时,求实数 m 的取值范围.

高三数学(一)第 5 页 共 6 页

22. 如图所示,点 P 为斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 BB1 上一点,PM⊥BB1 交 AA1 于点 M,PN⊥BB1 交 CC1 于点 N. (1)求证:CC1⊥MN; (2)在任意△DEF 中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2DF· EF· cos∠DFE. 拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所 C1 成的二面角之间的关系式,并予以证明.

A1 M
C

j'

N

B1

P A B

高三数学(一)第 6 页 共 6 页

2015-2016 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数学(一)参考答案
一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 C 5 A 6 B 7 C 8 C 9 A 10 B 11 C 12 B

二.填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分 13. a ? ?4

1 14. an ? n

bi s ?1 15. t ?1 ? 1 . bs

16. (?2, 2)

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分

17.解: (Ⅰ)A={ y | y ? x ?
2

3 3 7 x ? 1, x ? [0,2] }={ y | y ? ( x ? ) 2 ? , x ? [0,2] } 2 4 16

={ y |

7 ≤ y ≤2}, 16

B={ x | y ? 1? | x | }={ x |1-| x |≥0}={ x |-1≤ x ≤1} ∴
UA={

y | y >2 或 y <

7 }, 16

( UA)∪B={ x | x ≤1 或 x >2} (Ⅱ)∵命题 p 是命题 q 的充分条件,∴A ? C,

1 7 1 1 1 2 2 -m ≤ ,∴ m ≥ ,∴ m ≥ 或 m ≤- 2 16 16 4 4 1 1 ∴实数 m 的取值范围是(-∞,- ] ∪ [ ,+∞) 4 4
∵C={ x | x ≥ ∴ 18.解:由 2x2+ax-a2=0 得(2x-a)(x+a)=0, a? a ∴x= 或 x=-a. ∴当命题 p 为真命题时,? ?2?≤1 或|-a|≤1, 2 又“只有一个实数 x0 满足 x2 0+2ax0+2a≤0”, 即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0 或 a=2. ∴当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. ∴命题“p 或 q”为真命题时,|a|≤2. ∵命题“p 或 q”为假命题,∴a>2 或 a<-2. 即 a 的取值范围为{a|a>2 或 a<-2}. . ∴|a|≤2.

1 2 -m } 2

19.解:(1)任取 x1 , x2 ? (?1, ??) ,不妨设 x1 ? x2 ,
高三数学(一)第 7 页 共 6 页

x x 则 x2 ? x1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x1 ? 1 ? 0 ,又 a ? 1 ,所以 a 2 ? a 1

所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a 2 ? a 1 ?
x x

故函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上为增函数.

x2 ? 2 x1 ? 2 3( x2 ? x1 ) ? ? a x2 ? a x1 ? ?0 x2 ? 1 x1 ? 1 ( x2 ? 1)( x1 ? 1)

(2)设存在 x0 ? 0( x0 ? ?1) 满足 f ( x0 ) ? 0 ,

1 x0 ? 2 x ?2 x ,且 0 ? a 0 ? 1, 所以 0 ? 0 ? 1 ,即 ? x0 ? 2 , 2 x0 ? 1 x0 ? 1 与假设 x0 ? 0 矛盾,故方程 f ( x) ? 0 没有负根.
则a
x0

?

20. 解:由 g ? x ? ? 2x ? 2 < 0 得 x <1。 ∵条件 ①?x ? R,f ? x ?<0或g ? x ?<0 ,∴当 x ? 1 时, f ? x ?<0 。 当 m=0 时, f ? x ? =0 ,不能做到 f ? x ? 在 x ? 1 时, f ? x ?<0 ,所以舍去。 ∵ f ? x ? 作为二次函数开口只能向下,∴ m < 0 ,且此时两个根为 x1 =2m,x 2 = ? m ? 3 。

?m < 0 ?m < 0 ? 1 ? ? ? ?m < ? ?4 < m < 0 。 为保证条件①成立,必须 ? x1 =2m < 1 2 ?x = ? m ? 3 < 1 ? ? 2 ? ?m > ?4
又由条件 ②?x ? (- ?, - 4), f ? x ? ? g ? x ?<0 的限制,可分析得出 x ? (- ?, - 4) 时, f ? x ? 恒负。 ∴就需要在这个范围内有得正数的可能,即-4 应该比 x1,x 2 两根中小的那个大。 由 2m= ? m ? 3 得 m= ?1, ∴当 m ? ? ?1, 0? 时, ? m ? 3 < ?4 ,解得交集为空集,舍去。 当 m= ?1时,两根同为-2>-4,舍去。 当 m ? ? ?4, ? 1? 时, 2m < ?4 ? m < ?2 。 综上所述, m ? ? ?4, ? 2? 。 21.解: (1)设条件 p 的解集为集合 A,则 A ? {x | -1 ? x ? 2} 设条件 q 的解集为集合 B,则 B ? {x | -2m - 1 ? x ? m ? 1} 若 p 是 q 的充分不必要条件,则 A 是 B 的真子集

高三数学(一)第 8 页 共 6 页

? ?m ? 1 ? 2 ? ?? 2m ? 1 ? ?1 ? m ? 1 ? 2 ?m ? ? 3 ? (2)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件, 则 B 是 A 的真子集 ? ?m ? 1 ? 2 ? 2 ?? 2m ? 1 ? ?1 ? ? ? m ? 0 3 ? 2 ?m ? ? 3 ?
22.解: (1)证明:∵PM⊥BB1,PN⊥BB1,PM∩PN=P, ∴BB1⊥平面 PMN,∴BB1⊥MN. 又 CC1∥BB1,∴CC1⊥MN. (2)在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,有 2 2 2 S平面 ABB A ? S平面BCC B ? S平面ACC A ? 2S平面BCC B S平面ACC A cos ?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

其中 α 为平面 BCC1B1 与平面 ACC1A1 所成的二面角的大小. 证明:∵CC1⊥平面 PMN, ∴上述的二面角的平面角为∠MNP. 在△PMN 中, ∵PM2=PN2+MN2-2PN· MNcos∠MNP, 2 2 ∴PM2· CC2 CC1 +MN2· CC2 CC1)· (MN· CC1)cos∠MNP, 1=PN · 1-2(PN· 由于 S平面CBB C ? PN ? CC1 , S平面ACC A MN ? CC1 ,
1 1 1 1

S平面ABB1 A1 ? PM ? BB1 ? PM ? CC1 ,
2 2 2 ∴ S平面 ABB A ? S平面BCC B ? S平面ACC A ? 2S平面BCC B S平面ACC A cos ?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

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