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第二章 基本初等函数(Ⅰ) 章末检测(人教A版必修1)


第二章 基本初等函数(Ⅰ) 章末检测
一、选择题 1. 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 A.y=ln(x+2) 1?x C.y=? ?2? 答案 A 解析 利用复合函数单调性的判断方法——同增异减求解. 对于 A 选项,可看成由函数 y=ln u,u=x+2 复合而成,由于两函数都为增函数,单调 性相同,所以函数 y=ln(x+2)在(-2,+∞)上为增函数. B、C 均为减函数. 1 对于 D 选项,y=x+ 在(-∞,-1),(1,+∞)上为增函数. x 4 1 2. 若 a< ,则化简 ?2a-1?2的结果是 2 A. 2a-1 C. 1-2a 答案 C 1 解析 ∵a< ,∴2a-1<0. 2 4 于是,原式= ?1-2a?2= 1-2a. 3. 函数 y= lg x+lg(5-3x)的定义域是 5 A.[0, ) 3 答案 C lg x≥0, ? ? 解析 由函数的解析式得:?x>0, ? ?5-3x>0, 5 所以 1≤x< . 3 4. 已知集合 A={x|y=lg(2x-x2)}, B={y|y=2x, x>0}, R 是实数集, 则(?RB)∩A 等于( A.[0,1] C.(-∞,0] 答案 B B.(0,1] D.以上都不对 ) x≥1, ? ?x>0, 即? . ?x<5 ? 3 5 B.[0, ] 3 5 C.[1, ) 3 5 D.[1, ] 3 ( ) B.- 2a-1 D.- 1-2a ( ) B.y=- x+1 1 D.y=x+ x ( )

解析 由 2x-x2>0,得 x(x-2)<0?0<x<2,故 A={x|0<x<2},由 x>0,得 2x>1, 故 B={y|y>1},?RB={y|y≤1},则(?RB)∩A={x|0<x≤1}. 1? 5. 幂函数的图象过点? ?2,4?,则它的单调递增区间是 A.(0,+∞) C.(-∞,0) 答案 C 6. 函数 y=2+log2(x2+3)(x≥1)的值域为 A.(2,+∞) C.[4,+∞) 答案 C 解析 ∵x≥1,∴x2+3≥4, ∴log2(x2+3)≥2,则有 y≥4.
1
1

(

)

B.[0,+∞) D.(-∞,+∞)

(

)

B.(-∞,2) D.[3,+∞)

7. 比较 1.5 3.1 、23.1、 2 3.1 的大小关系是
1

(
1

)

1

1

A.23.1< 2 3.1 < 1.5 3.1
1
1

B. 1.5 3.1 <23.1< 2 3.1
1

1

C. 1.5 3.1 < 2 3.1 <23.1 D. 2 3.1 < 1.5 3.1 <23.1 答案 D
1

解析 ∵ 1.5 3.1 =1.5

-3.1

1 1 - =( )3.1, 2 3.1 =2 3.1=( )3.1,又幂函数 y=x3.1 在(0,+∞)上是 1.5 2

1

1 1 增函数, < <2, 2 1.5 1 1 ∴( )3.1<( )3.1<23.1,故选 D. 2 1.5 1 8. 函数 y=ax- (a>0,且 a≠1)的图象可能是 a ( )

答案 D 1 1 解析 当 a>1 时,y=ax- 为增函数,且在 y 轴上的截距为 0<1- <1,排除 A,B. a a

1 1 当 0<a<1 时,y=ax- 为减函数,且在 y 轴上的截距为 1- <0,故选 D. a a 9.若 0<x<y<1,则 A.3y<3x C.log4x<log4y 答案 C 1 1 解析 ∵0<x<y<1,∴由函数 y=3x 递增,y= =logx3 在(0,+∞)递减,y=( )x log3x 4 1 1 递减,得 3x<3y,logx3>logy3,( )x>( )y,即选项 A、B、D 错,故选 C. 4 4 10.若偶函数 f(x)在(-∞,0)内单调递减,则不等式 f(-1)<f(lg x)的解集是 A.(0,10) 1 ? C.? ?10,+∞? 答案 D 解析 因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(|x|),因为 f(x)在(-∞,0)内单调递减,所以 f(x) 1 在(0,+∞)内单调递增,故|lg x|>1,即 lg x>1 或 lg x<-1,解得 x>10 或 0<x< . 10 11.方程 log2x+log2(x-1)=1 的解集为 M,方程 22x 1-9· 2x+4=0 的解集为 N,那么 M 与 N


( B.logx3<logy3 1 1 D.( )x<( )y 4 4

)

(

)

1 ? B.? ?10,10? 1? D.? ?0,10?∪(10,+∞)

的关系是 A.M=N C.M N 答案 B 解析 由 log2x+log2(x-1)=1,得 x(x-1)=2, 解得 x=-1(舍)或 x=2,故 M={2}; 由 22x 1-9· 2x+4=0,得 2· (2x)2-9· 2x+4=0,


( B .M N D.M∩N=?

)

1 解得 2x=4 或 2x= , 2 即 x=2 或 x=-1,故 N={2,-1},因此有 M N. 12. 设偶函数 f(x)=loga|x+b|在(0, +∞)上具有单调性, 则 f(b-2)与 f(a+1)的大小关系为( A.f(b-2)=f(a+1) C.f(b-2)<f(a+1) 答案 C 解析 ∵函数 f(x)是偶函数, ∴b=0,此时 f(x)=loga|x|. B.f(b-2)>f(a+1) D.不能确定 )

当 a>1 时,函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上是增函数, ∴f(a+1)>f(2)=f(b-2); 当 0<a<1 时,函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上是减函数, ∴f(a+1)>f(2)=f(b-2). 综上可知 f(b-2)<f(a+1). 二、填空题 13.函数 f(x)=ax 1+3 的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是________.


答案

(1,4)


解析 由于函数 y=ax 恒过(0,1),而 y=ax 1+3 的图象可看作由 y=ax 的图象向右平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位得到的,则 P 点坐标为(1,4). 14.函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________. 1 ? 答案 ? ?-2,+∞? 1 ? 解析 函数 f(x)的定义域为? ?-2,+∞?, 令 t=2x+1(t>0). 因为 y=log5t 在 t∈(0,+∞)上为增函数, 1 ? t=2x+1 在? ?-2,+∞?上为增函数, 1 ? 所以函数 y=log5(2x+1)的单调增区间为? ?-2,+∞?. 15.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是____________. 答案 (-1,0)∪(1,+∞)

解析 画草图,由 f(x)为奇函数的性质知:f(x)>0 的 x 的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).

16.定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2-x1.已知函数 y=|log0.5x|的定义域为[a,b],值域 为[0,2],则区间[a,b]的长度的最大值为________. 答案 15 4

1 解析 画出函数 y=|log0.5x|的图象,由 0≤|log0.5x|≤2,得 ≤x≤4,∴[a,b]长度的最大 4 1 15 值为 4- = . 4 4

三、解答题 17.化简下列各式:
2 3

?? ?? (1) ? 0.064 ?? ?

1 5

? ? ? ?

?2.5

? 3 ? ?3 3 ?0; 8 ? ?

2lg 2+lg 3 (2) . 1 1 1+ lg 0.36+ lg 16 2 4
5 3 1 5 2 1 ? 1 ?2 ? 1 3 5?( ? 2 )? 3 3 3 ? ? ? ? ?? 4 ? ? ?? 3 ? ? ? ? 64 ? 5 ? ? ? 27 ? 3 ? ?? ? ? ? 1 解 (1)原式= ??? ? ? ? ? ? ? 1 ? ?? ? ? ? 100 ? ? ? ? 8 ? ? ? ?? ?? 10 ? ? ? ?? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2

5 3 = - -1=0. 2 2 (2)原式= 2lg 2+lg 3 2lg 2+lg 3 = 1 1 2×3 1+ lg 0.62+ lg 24 1+lg +lg 2 2 4 10



2lg 2+lg 3 2lg 2+lg 3 = =1. 1+lg 2+lg 3-lg 10+lg 2 2lg 2+lg 3

1 a 18.已知 f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,当 x∈[-1,0]时,函数解析式 f(x)= x- x(a∈R). 4 2 (1)写出 f(x)在[0,1]上的解析式; (2)求 f(x)在[0,1]上的最大值. 解 (1)∵f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(x)在 x=0 处有意义,∴f(0)=0,

1 a 即 f(0)= 0- 0=1-a=0.∴a=1. 4 2 设 x∈[0,1],则-x∈[-1,0]. 1 1 ∴f(-x)= -x- -x=4x-2x. 4 2 又∵f(-x)=-f(x),∴-f(x)=4x-2x. ∴f(x)=2x-4x. (2)当 x∈[0,1],f(x)=2x-4x=2x-(2x)2, ∴设 t=2x(t>0),则 f(t)=t-t2. ∵x∈[0,1],∴t∈[1,2].当 t=1 时,取最大值,最大值为 1-1=0. 4 19.已知 x>1 且 x≠ ,f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,试比较 f(x)与 g(x)的大小. 3 解 3 f(x)-g(x)=1+logx3-2logx2=1+logx 4

3 =logx x, 4 4 3 3 当 1<x< 时, x<1,∴logx x<0; 3 4 4 4 3 3 当 x> 时, x>1,∴logx x>0. 3 4 4 4 4 即当 1<x< 时,f(x)<g(x);当 x> 时,f(x)>g(x). 3 3 1 20.已知函数 f(x)=2x- |x|. 2 (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 解 1 (1)当 x<0 时,f(x)=0;当 x≥0 时,f(x)=2x- x. 2

1 由条件可知 2x- x=2,即 22x-2· 2x-1=0, 2 解得 2x=1± 2. ∵2x>0,∴x=log2(1+ 2). 1? 2t ? t 1? (2)当 t∈[1,2]时,2t? ?2 -22t?+m?2 -2t?≥0, 即 m(22t-1)≥-(24t-1). ∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).∵t∈[1,2], ∴-(1+22t)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞). 21.已知函数 f(x)=ax 1(a>0 且 a≠1).


(1)若函数 y=f(x)的图象经过 P(3,4)点,求 a 的值; (2)若 f(lg a)=100,求 a 的值; 1 ? lg (3)比较 f? ? 100?与 f(-2.1)的大小,并写出比较过程. 解 (1)∵函数 y=f(x)的图象经过 P(3,4),


∴a3 1=4,即 a2=4.又 a>0,所以 a=2. (2)由 f(lg a)=100 知,alg a 1=100.


∴lg alg a 1=2(或 lg a-1=loga100).


∴(lg a-1)· lg a=2.∴lg2a-lg a-2=0, 1 ∴lg a=-1 或 lg a=2,∴a= 或 a=100. 10 1 ? (3)当 a>1 时,f? ?lg 100?>f(-2.1);

1 ? 当 0<a<1 时,f? ?lg 100?<f(-2.1). 1 ? -3 -3.1 因为,f? ?lg 100?=f(-2)=a ,f(-2.1)=a , 当 a>1 时,y=ax 在(-∞,+∞)上为增函数, ∵-3>-3.1,∴a 3>a
- -3.1

.

1 ? 即 f? ?lg 100?>f(-2.1); 当 0<a<1 时, y=ax 在(-∞,+∞)上为减函数, ∵-3>-3.1,∴a 3<a
- -3.1



1 ? lg 即 f? 100 ? ?<f(-2.1). 10x-10 x 22.已知 f(x)= x - . 10 +10 x


(1)求证 f(x)是定义域内的增函数; (2)求 f(x)的值域. (1)证明 因为 f(x)的定义域为 R, 10 x-10x 且 f(-x)= -x =-f(x), 10 +10x


所以 f(x)为奇函数. 10x-10 x 102x-1 2 f(x)= x =1- 2x . - = 10 +10 x 102x+1 10 +1


令 x2>x1,则 f(x2)-f(x1)=(1- 2 2 )-(1- ) 102x2+1 102x1+1

102x2-102x1 =2· . ?102x2+1??102x1+1? 因为 y=10x 为 R 上的增函数, 所以当 x2>x1 时,102x2-102x1>0. 又因为 102x1+1>0,102x2+1>0. 故当 x2>x1 时,f(x2)-f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1). 所以 f(x)是增函数. 102x-1 1+y (2)解 令 y=f(x).由 y= 2x ,解得 102x= . 10 +1 1-y 因为 102x>0,所以-1<y<1. 即 f(x)的值域为(-1,1).


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