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三分钟搞定不定积分


第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念和性质 第二节 换元积分法 第三节 分部积分法 第四节 几种特殊类型函数的积分
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第一节 不定积分的概念和性质
一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质

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一、原函数与不定积分的概念
定义1 如果在区间I上,可导函数F 的导函数为f 定义1 如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一x 即对任一x ∈ I,都有

F ′( x) = f ( x)或 dF(x)=f (x)dx dF(
那么函数F 就称为f )(或 dx)在区间I 那么函数F(x)就称为f (x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. 原函数存在定理 如果函数f 在区间I上连续,那末在区间I 如果函数f (x)在区间I上连续,那末在区间I上存在可 导函数F ),使对任一x I,都有 导函数F(x),使对任一x∈ I,都有 F ′(x) = f (x). 简单地说就是:连续函数一定有原函数. 简单地说就是:连续函数一定有原函数.
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两点说明: 第一,如果f 在区间I 第一,如果f(x)在区间I上有原函数,即有一个函数 F(x),使对任一x∈I, 都有 F ′( x) = f ( x),那末,对任何常数 ,使对任一x C,显然也有 C,显然也有[F ( x ) + C ]′ = f ( x ) ,这说明,如果f(x)有一个原 ,这说明,如果f 函数,那末f 就有无限多个原函数. 函数,那末f(x)就有无限多个原函数. 第二,如果在区间I 第二,如果在区间I上F(x)是f(x)的一个原函数,那末 f(x)的其他原函数与F(x)之间仅差一个常数. 的其他原函数与F 之间仅差一个常数. 由以上两点说明,引进下述定义. 由以上两点说明,引进下述定义. 定义2 定义2 在区间I上,函数f 在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函

数称为f )(或 dx)在区间I 数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分.记作:



f ( x ) dx
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称为积分号,f dx称 其中记号 ∫ 称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称 为被积表达式,x称为积分变量. 由定义及说明可知,如果F 由定义及说明可知,如果F(x)是f(x)在区间I上的一 在区间I 个原函数,那末F )+C就是f 个原函数,那末F(x)+C就是f(x)的不定积分,即

∫ f ( x)dx = F ( x) + C.
例1

∫ x 2 dx . 求
x 2 的一个原函数,

x3 x3 2 解: 由于( )′ = x ,所以 是 3 3

因此

x3 ∫ x 2 dx = + C. 3
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例2

1 求 ∫ dx. x


1 1 解: 当x>0时,由于 (ln x ) = ,所以lnx是 在 x>0时,由于 ,所以lnx x x

内的一个原函数. (0 , +∞ ) 内的一个原函数.因此,在 (0 , +∞ ) 内,

1 ∫ dx = ln x + C . x

[ln (? x )]′ = 当x<0时,由于 x<0时

1 (? 1) = 1 ?x x

,所以

1 ln(ln(-x)是 在 (? ∞ , 0 ) 内的一个原函数. 因此, 内的一个原函数. x

1 dx = ln (? x ) + C . x 1 把在x>0及 <0内的结果合起来,可写作 把在x>0及x<0内的结果合起来,可写作 ∫ dx = ln x + C. x
在 (? ∞ , 0 )内, ∫
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例3

设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率

等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程. 等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程. 解: 设所求的曲线方程为y=f(x),按题设,曲线上任一 设所求的曲线方程为y ),按题设,曲线上任一
dy = 2x 点(x,y)处的切线斜率为 dx

即f(x)是2x的一个原函数. 的一个原函数. 因为 ∫ 2 xdx = x 2 + C , 即曲线方程为 y = x 2 + C ,因所求曲线通过点(1,2), ,因所求曲线通过点(1,2), 故 2=1+C

∴C =1

于是所求曲线方程为 y = x 2 + 1. 函数f 的原函数的图形称为f 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 本例即是求函数2 的通过点(1,2)的那条积分曲线. 本例即是求函数2x的通过点(1,2)的那条积分曲线.
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显然,这条积分曲线可以由另一条积分曲线 (如y = x 经y轴方向平移而得. (图4-1) 轴方向平移而得.
y 2

2

)

y = x2 +1

y = x2

1

0

1

x

图4-1

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例4

质点以初速v 质点以初速v 铅直上抛,不计阻力,求它的运动
0

规律. 规律. 解:把质点所在的铅直线取作 坐标轴,指向朝上,轴与地面 的交点取作坐标原点. 的交点取作坐标原点. 设质点 抛出时刻为t=0 抛出时刻为t=0 ,当t=0时质点所 =0时质点所 在位置的坐标为x 在时刻t 在位置的坐标为x , 在时刻t时
0

x x=x( t )
x0 = x ( 0 )
0
图4-2

坐标为x 坐标为x(图4-2),x=x(t)就是要 2),x=x( 求的函数. 求的函数.
dx = v (t ) 按导数的物理意义知道, dt

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即为质点在时刻t时向上运动的速度(如果v )<0,那末运 即为质点在时刻t时向上运动的速度(如果v(t)<0,那末运 动方向实际向下).又知 动方向实际向下).又知
d 2x dv = = a (t ) 2 dt dt

即为质点在时刻t 即为质点在时刻t时向上运动的加速度,按题意,有 a(t)=-g,即 )=先求v 由 先求v(t),
dv d 2x = ? g或 2 = ? g . dt dt

dv = ? g , 即v(t)是-g的原函数,故 dt

v (t ) =
0 0

∫ ( ? g ) dt
1

= ? gt + C 1 ,

由v(0)=v ,得v =C ,于是 (0)=v v(t)= -gt+v . gt+
0

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再求x 再求x(t), 由

dx = v(t), 即x(t)是v(t)的原函数,故 dt

x(t ) = ∫ v(t )dt = ∫ (? gt + v0 )dt
1 = ? gt 2 + v0t + C2 2

由x(0)=x0,得x0=C2,于是所求运动规律为 (0)=x
1 其中T表示质点落地的时刻. x = ? gt 2 + v0t + x0 , t ∈ [0, T ] , 其中T表示质点落地的时刻. 2

由不定积分的定义,可知有下述关系:
d dx

[∫ f ( x)dx ] = f ( x ),

或 d

[∫ f ( x )dx ] = f ( x )dx ;

(1) (2)
11

∫ F ′( x)dx = F ( x) + C ,

或记作: dF ( x) = F ( x) + C. ∫
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二、基本积分表
下面把一些基本的积分公式列成一个表,这个表 通常叫做基本积分表. 1. 2.

∫ kdx = kx + C
x ? +1 x ? dx = +C ∫ ? +1

(k是常数) (k是常数)

( ? ≠ ?1)

3.

dx ∫ x = ln x + C
dx ∫ 1 + x 2 = arctan x + C
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4.

5. 6. 7.



dx 1? x
2

= arcsin x + C

∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx= ?cosx + C
dx = ∫ sec 2 xdx = tan x + C ∫ cos 2 x

8. 9.

dx = ∫ csc2 xdx = ? cot x + C ∫ sin2 x

10.

∫ sec x ? tan xdx = sec x + C
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11. 12.

∫ csc x cot xdx = ? csc x + C
e x dx = e x + C ∫

13.

ax a x dx = +C ∫ ln a

14. 15.

∫ shxdx = chx + C
∫ chxdx
= shx + C
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例5

dx 求 ∫ 3. x
1 x ?3+1 dx ?3 解: x 3 = ∫ x dx = ? 3 + 1 + C = ? 2 x 2 + C. ∫

例6



x 2 x dx. ∫

解: x



2

x +C x dx = ∫ x dx = 5 +1 2

5 2

5 +1 +1 2

2 7 2 3 2 = x + C = x x + C. 7 7

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例7

dx 求∫ 3 . x x

解:



dx x
3

x

=



x

?

4 3

dx =

x

4 ? +1 3

4 ? +1 3

+C

= ?3 x

?

1 3

+C = ? 3

3 + C. x

三、不定积分的性质
性质1 性质1 函数的和的不定积分等于各个函数的不定积
g ( x ) ]dx =

分的和,即

∫ [f (x) +



f ( x ) dx +

∫ g ( x ) dx .

(3)
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证: 将(3)式右端求导,得 (3)式右端求导,得

[∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx]′= [∫ f ( x)dx]′+ [∫ g ( x)dx]′=f(x)+g(x) +g(
性质2 性质2 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号 外面来,即

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
例8 解: 求

k (k是常数, ≠ 0).



x ( x 2 ? 5)dx.
5 2 1 2



x ( x 2 ? 5) dx = ∫ ( x ? 5 x ) dx
5 2 1 2
5 2 1 2

= ∫ x dx ? ∫ 5 x dx = ∫ x dx ? 5∫ x dx
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7 3 2 3 10 2 2 2 2 = x ? 5 ? x + C = x x ? x x + C. 7 3 7 3

例9 解:

( x ? 1) 3 dx. 求 ∫ 2 x
x 3 ? 3x 2 + 3x ? 1 ( x ? 1) 3 dx 2 ∫ x 2 dx = ∫ x

3 1 = ∫ ( x ? 3 + ? 2 )dx x x
= ∫ xdx ? 3∫ dx + 3∫ dx dx ?∫ 2 x x

x2 1 = ? 3x + 3 ln x + + C. 2 x
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例10

(e x ? 3 cos x) dx. 求∫

(e x ? 3 cos x)dx = ∫ e x dx ? 3∫ cos xdx 解: ∫

= e x ? 3 sin x + C.
例11 解:
2 x e x dx. 求∫

因为 2 x e x = (2e) x , 所以可把2e看作a , 所以可把2e看作a 利用积分公式,便得

2x e x ( 2e ) + C. +C = 2 x e x dx = ∫ (2e) x dx = ∫ ln( 2e ) 1 + ln 2
x

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例12

1+ x + x2 求 ∫ x (1 + x 2 ) dx .

1+ x + x2 x + (1 + x 2 ) dx = ∫ dx 解: ∫ 2 2 x (1 + x ) x(1 + x )
1 1 1 1 dx + ∫ dx = ∫( + ) dx = ∫ 2 2 1+ x x 1+ x x

= arctan x + ln x + C.
例13 解: 求



x4 dx . 2 1+ x



x4 ( x4 ?1) +1 dx = ∫ dx 2 2 1+ x 1+ x
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( x 2 + 1)( x 2 ? 1) + 1 = ( x 2 ? 1 + 1 )dx =∫ dx ∫ 2 1+ x2 1+ x
= ∫ x 2 dx ? ∫ dx + ∫ 1 dx 2 1+ x

x3 = ? x + arctan x + C. 3

例14

2 求∫ tan xdx.

tan 2 xdx = ∫ (sec 2 x ? 1)dx = ∫ sec 2 xdx ? ∫ d x 解: ∫

= tanx ? x + C.

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x sin 2 dx. 例15 求 ∫ 2 1 x 1 sin 2 dx = ∫ (1 ? cos x)dx = ∫ (1 ? cos x)dx 解: ∫ 2 2 2

1 1 = ( ∫ dx ? ∫ cos xdx) = ( x ? sin x) + C. 2 2

例16 解:




sin

1
2

x cos 2

2

x 2

dx .


sin

1
2

x cos 2

2

dx = x x x 2 (2 sin cos ) 2 2 2



4dx

=∫

4dx = 4 ∫ csc 2 xdx = ?4 cot x + C. sin 2 x
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