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高中数学必修五课件:2.4《等比数列(二)》(人教A版必修5)


2.4 等比数列(二)

进一步巩固等比数列的定义和通项公式,掌握等 比数列的性质,会用性质灵活解决问题.

自学导引
1.在等比数列 an 中,若对于正整数 m、n、k、t, 满足 m+n=k+t,则 aman 与 akat 的关系是________.
? ? ? ? ? ?

答案:相等 2.若 an 、 bn 是等比数列,则 anbn 是________
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

数列.

答案:等比

3.在公比为 q 的等比数列 an 中,am=an×________.

? ? ?

? ? ?

答案:qm-n 4.在等比数列 an 中,am 是与它“距离”相等的两项
? ? ? ? ? ?

的________中项.

答案:等比
5.若数列 an 是等比数列,则 can (c 为不等于 0 的常数) 是________数列.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

答案:等比

自主探究
1. 如果等比数列 an 中, m+n=2k(m, k∈N*), n, 那么 am·n=ak2 是否成立?反之呢? a
? ? ? ? ? ?

答案:如果等比数列的三项的序号成等差数列, 那么对应的项成等比数列. 事实上,若m+n=2k(m,n,k∈N*), 则am·n=(a1·m-1)· 1·n-1) a q (a q =a12·m+n-2=a12(qk-1)2=ak2. q 在等比数列 an 中,若 am·n=ap·q=ak2,不一 a a
? ? ? ? ? ?

定有 m+n=p+q=2k,如非零常数列.

2.既是等差数列又是等比数列的数列存在吗? 如果存在,你能举出例子吗? 答案:存在.例如:an=1,既是公差为0的等差 数列,又是公比为1的等比数列.

预习测评
1.在等比数列 an 中,若 a1+a5=34,a5-a1=30, 则 a3= A.8 B.-8 C.± 8
??a1+a5?2=342 ? 解析:由题意得? ??a5-a1?2=302, ? ?a12+2a1a5+a52=342, ? 即? 2 ?a1 -2a1a5+a52=302, ?
? ? ? ? ? ?

( D.16

)

两式相减得 a1a5=64,即 a32=64, 又 a5>a1,故 a3=8. 答案:A

2.在等比数列 an 中,a8 是 a4 与________的等比中项 ( A.a9 B.a10 C.a11 D.a12 )

? ? ?

? ? ?

答案:D
a18 3.在等比数列 an 中,a5·7=6,a2+a10=5,则 等 a a10
? ? ? ? ? ?

于________.

解析:因等比数列 an 中,a5·7=6=a2·10,又 a2+ a a a18 a10 a10=5,求得 a2=2,a10=3 或 a2=3,a10=2,则 = a10 a2 3 2 = 或 . 2 3

? ? ?

? ? ?

2 3 答案: 或 3 2

4.在等比数列{an}中,a6·15+a9a12=30,则前 a 20项的积等于__________. 解析:∵数列{an}成等比数列, ∴a6·15=a9·12, a a ∴a6·15=15, a ∴a1·2·3·4·…·a20=(a1·20)10=(a6·15)10 a a a a a =1510. 答案:1510

要点阐释
1.等比数列的性质 (1)在等比数列中,我们随意取出连续的三项以上 的数,把它们重新依次看成一个数列,则仍是等比数 列. (2)在等比数列中,我们任取“间隔相同”的三项以 上的数,把它们重新依次看成一个数列,则仍是等比 数列,如:等比数列a1,a2,a3,… ,an,….那么a2, a5,a8,a11,a14,…;a3,a5,a7,a9,a11…各自仍构 成等比数列.

(3)如果数列 an 是等比数列,c 是不等于 0 的常 a 数,那么数列 c ·n 仍是等比数列. (4)在等比数列 an 中的任何两项可以互相表示 为:an=amqn
-m
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ?

? ? ?

.
? ? ? ? ? ?

(5)在等比数列 an 中,当 p+q=r+s=2k(q,p, r,s,k∈N*)时,则 ap·q=ar·s=ak2. a a

(6)若 an , bn 均为等比数列,公比分别为 q1,q2. b 则① an·n 仍为等比数列,且公比为 q1·2; q
?an ? q1 ? ?仍为等比数列,且公比为 . ② q2 ?bn ?
? ? ? ? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

2.等差数列与等比数列 等比数列与等差数列是非常重要的两类数列,它 们在一定的条件下,可以相互转化,等比数列与等差 数列相结合的题型是考查的重点.

定义(一 通项公式结构相 字之差) 似,性质类似 等差 数列 等比

不同点

联系 1.正项等比 ?为等差 a>0且a≠1.





项没有限制

数列





项必须非零

2.{an}等差?
等比b>0且 b≠1

典例剖析
题型一 等比数列的性质的应用
【例 1】 在等比数列 an 中,若 a2=2,a6=162,求 a10.
? ? ? ? ? ?

解:解法一:∵a6=a2q4,其中,a2=2,a6=162, ∴q4=81,∴a10=a6q4=162×81=13 122. 解法二:∵2、6、10三数成等差数列, ∴a2、a6、a10成等比数列.
a62 ∴a62=a2a10,∴a10= =13 122. a2

解法三:由公式 apaq=ap+ kaq-k, 得 a2a10=a2+4a10-4=a62, 1 ∴a10=1622× =13 122. 2

解法四:设首项为 a1,公比为 q,
?a1q=2 ? 则? 5 ?a1q =162 ?

2 ? ?a1= , 3 ,解得? ?q=3, ?

2 ? ?a1=- , 3 或? ?q=-3. ?

2 ∴a10=a1q = ×39=13 122 或 a10=a1q9 3
9

2 =- · (-3)9=13 122. 3

方法点评:上述四种解法中,前三种解法是利用 等比数列的性质来解的,使问题变得简单,明了.因 此要熟练掌握等比数列的性质,在解有关等比数列的 问题时,要注意等比数列性质的灵活应用.

1.在1与100之间插入n个正数,使这n+2个数成等 比数列,则插入的n个数的积为________. 解析:利用性质“aman=apaq“便可迅速获得,设插 入的n个数为a1,a2,…,an,G=a1a2·…·an,则G2= (a1an)· 2an-1)(a3an-2)·…·(ana1)=(1×100)n,∴G=10n. (a 答案:10n

题型二 等差数列与等比数列的综合题
【例2】 三个正数成等差数列,它们的和等于 15,如果它们分别加上1,3,9,就成为等比数列,求 此三个数.
解:设所求之数为 a-d,a,a+d,则由题设得
?a-d+a+a+d=15, ? ? ??a+3?2=?a-d+1??a+d+9?. ? ?a=5, ? 解此方程组得? ?d=2. ?

∴所求三数为 3,5,7.

方法点评:此类问题一般设成等差数列的数为未 知数,然后利用等比数列知识建立等式求解.另外, 对本题若设所求三数为a,b,c,则列出三个方程求解, 运算过程将繁冗些.因此,在计算过程中,设的未知 数个数应尽可能少.

2.有四个数,前三个数成等差数列,后三个数 成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为 36,求这四个数.
解:设前两个数分别是 a,b,则第 3,4 两个数分 别是
?2b=?36-b?+a, ? 36-b,37-a,由题意有? 2 ??36-b? =b?37-a?, ?

99 81 解得 a=12,b=16,或 a= ,b= . 4 4 99 81 63 49 故这四个数依次为 12,16,20,25 或 , , , . 4 4 4 4

误区解密 因没数清数列的项数致误
【例 3】 已知等比数列 an 满足 an>0,n=1,2,?, 且 a5·2n- 5=22n(n≥3),则当 n≥1 时,log2a1+log2a3+? a +log2a2n- 1= A.(n-1)2 C.(n+1)2 B.n2 D.n(2n-1) ( )
? ? ? ? ? ?

错解:易得 an=2n,且 log2a1+log2a3+?+log2a2n-1 =log2(a1a3?a2n-1)=log221+3+?+(2n-1) 1+2n-1 =1+3+ ?+(2n-1)= (2n-1) 2 =n(2n-1).从而错选 D

错因分析:对等差数列1,3,…,2n-1的项数没 数清.

正解:∵a5·2n-5=22n=an2,an>0, a ∴an=2n,∴log2a1+log2a3+…+log2a2n-1

=log2(a1a3…a2n-1)=log221+3+…+(2n-1)
=log22n2=n2.故选B 答案:B

课堂总结
1.根据等比数列的定义知,等比数列各项的符 号有以下几种规律:各项均为正值;正负(或负正)相 间;各项均为负值. 2.设未知数的方法很多,原则是使得未知数尽 量少,方程尽量简单,所以要根据题意选择适当的未 知数. 3.一些数列通过适当的变形,可以得到一个等 比数列(或等差数列),形如an+1=qan+p的数列就可以 转化为一个等比数列.


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