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2.4.1抛物线及其标准方程(1)

编号 54

§2.4.1

抛物线及其标准方程(1)
使用时间:2016.12

(2)定点 F 不在定直线 l 上,若定点 F 在定直线 l 上,则动点的轨迹是过点 F 且垂直与 直线 l 的一条直线. 探究问题(二) :抛物线的标准方程 x 1. 焦点在 轴上开口向右的抛物线的标准方程 取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴,垂足为 K,以线段 FK 的垂直平分线为 y 轴建 立如图所示的平面直角坐标系 xoy ,如图所示,
l H
y d

制作人:高洪梅 审核人: 高二数学组 学习目标:知道抛物线的定义、标准方程、几何图形.
重点:抛物线的几何图形

难点:抛物线的定义、标准方程

预习导航:要求:在上课前必须认真阅读教材,完成导学案上的预习导航,并将不懂 知识进行标注。
1. ____________________________________________________________________ 叫 做 抛 物 线 ; _______________叫做抛物线的焦点,________________叫做抛物线的准线;焦点在 x 轴上抛物线 的标准方程为_________________,其焦点坐标为__________,准线方程为________________,其 中 p 的几何意义为________________. 2. 以 ?

M

2.定点 F 到定直线 l 的距离为 p ( p ? 0 ) . 建立适当的坐标系,得到抛物线的四种标准形式: 图形 标准方程
y 2 ? 2 px

K O F

x

?p ? , 0 ? 为焦点的抛物线的标准方程为______________,准线方程为________________; ?2 ?


焦点坐标 准线方程
?p ? ? ,0? ?2 ?

3. 平面内到定点 F 的距离等于到定直线 l 的距离的点的轨迹是( A. 抛物线 B. 直线 C. 抛物线或直线 D. 不存在 4. 抛物线 y ? ? x 的焦点坐标为(
2

x??

p 2

) C. ? 0, ?

A. ? ?

? 1 ? ,0? ? 4 ?

B. ?

?1 ? ,0? ?4 ?

? ?

1? ? 4?

D. ? 0, ?

? ?

1? 4?

探究问题(一)抛物线的定义 问题:若一个动点 p( x, y ) 到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等,这个点的运动轨迹 是怎么样的呢? 抛物线的定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离 物线.点 F 叫做抛物线的 ;直线 l 叫做抛物线的 的点的轨迹叫做抛 . 3. 对抛物线标准方程的几点说明: (1)只有顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上的抛物线才有标准方程; (2)抛物线的开口方向取决与一次项变量的取值范围; (3)抛物线的标准方程可按以下方法记忆:对称轴要看一次项,符号决定开口方向. 探究问题(三) :典型例题 例 1. (1)已知抛物线的标准方程是

对抛物线定义的两点说明: (1)抛物线的定义中有“一动三定” ,一动是:一个动点;三定是:一个定点(抛物 线的焦点) ,一条定直线 l (抛物线的准线) ,一个定值(到定点 F 和定直线 l 距离的比 是一个定值 1).

y 2 ? 6 x ,求它的焦点坐标和准线方程;

1

(2)已知抛物线的焦点是

F (0, ?2) ,求它的标准方程.

【课堂检测】 1.对抛物线 y ? 4 x ,下列描述正确的是(
2

) .
(0, 1 ) 16 1 ) 16

练习 1..求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
2 (1) y ? 20 x

A.开口向上,焦点为 (0,1)
1 y 2

B.开口向上,焦点为

(2)x2= -

2 (3) 2 y ? 5x ? 0

2 (4) x ? 8 y ? 0

C.开口向右,焦点为 (1,0) 2.抛物线

D.开口向右,焦点为

(0,

y 2 ? 10 x 的焦点到准线的距离是( ) .
B. 5
15 C. 2

2.根据下列条件写出抛物线的标准方程: ⑴焦点坐标是(0,4); ⑵准线方程是
x?? 1 4;

5 A. 2

D. 10 )
2 D y ? 8x

3.准线方程为 x ? 2 的抛物线的标准方程是(
2 A、 y ? ?4x 2 B y ? ?8x 2 C y ? 4x

⑶焦点到准线的距离是 2 . 3.抛物线 y 2 ? 12x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是
2 思考:二次函数 y ? ax 的图象为什么是抛物线?

.

2 4.抛物线 x ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为




5 .抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 上一点 M 到焦点距离是 a (a ?
2

p ) ,则点 M 到准线的距离是 2

点 M 的横坐标是



例 2. 一种卫星接收天线的轴截面如图所示, 卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为 抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处,已知接收天线的口径为 4.8m ,深度为 0.5m , 试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标。

课堂小结:1.这节课学到了什么 课后作业:

2.各小组表现如何

x2 y2 y 2 ? 2 px的焦点与椭圆 ? ?1 6 2 1、抛物线 的右焦点重合,则 p 的值为(



A

-2

B

2

C

-4

D

4

2 2、若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点,则实数 a=

x ?1 的距离为 3,求抛物线的标准方程 。 3、设抛物线 y ? mx的准线与直线
2

2


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