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2017年浙江单招数学模拟试卷七(附答案)


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根据历年单招考试大纲出题

2017 年浙江单招数学模拟试卷七(附答案)
一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分) 1.如图,集合 A,B 分别用两个椭圆所围区域表示,若 A={1,3,5,7}, B={2,3,5},则阴影部分所表示的集合的元素个数为 A A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知复数 z ? a ? bi ?a, b ? R ?,则 b ? 0 是复数 z 为纯虚数的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 U B

3.已知| a |=3,| b |=1,且 a 与 b 方向相同,则 a ? b 的值是 A. ?3 B.0 C.3 D.–3 或 3

?

?

?

?

? ?

4.下列四个函数中,图像如右图所示的只能是 A. y ? x ? ln x C. y ? ? x ? ln x B. y ? x ? ln x D. y ? ? x ? ln x

5.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果为 件是( ) A. i ? 5 B. i ? 6 C. i ? 5 D. i ? 6

5 ,则判断框中应填入的条 6

6.“正方形四边相等”的否定是 A.正方形四边不相等 B.如果一个正方形不是正方形,则它的四边不都相等

考单招上高职单招网---C.存在一个正方形,它的四边不都相等

根据历年单招考试大纲出题

D.存在一个正方形,它的四边都不相等 7.如果 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,它在 [0,??) 上有 f / ( x) ? 0 ,那么下述式子中 正确的是()

2 A. f ( ) ? f (a ? a ? 1)

3 4

2 B. f ( ) ? f (a ? a ? 1)

3 4

2 C. f ( ) ? f ( a ? a ? 1)

3 4

D.以上关系均不确定

8.定义行列式运算

a1 a2 a3 a4

= a1a4 ? a2 a3 . 将函数 f ( x) =

3 sin x 的图象向上平移 1 个 1 cos x

单位,所得图象的对称中心为

A. ? k? ? 其中 k ? Z

? ?

?

? ? ? ? ,0 ? B. ? k? ? ,1? 6 ? 6 ? ?

C. ? k? ?

? ?

?

? ,0 ? 3 ?

D. ? k? ?

? ?

? ?
,1? 3 ?

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 9.已知变量 x.y,满足 ? x ? 2 则 x 2 ? y 2 的取值范围为 ? x ? y ?8 ? 0 ?
A.[13,40] B.(一∞,13]∪[40,十∞) D.[ 4 2 ,6]

C.(一∞, 4 2 ]∪[6,十∞)

3] 任取的一个数, b 是从区间 [0, 2] 任取的一个数,则关于 x 的一 10.若 a 是从区间 [0,
元二次方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实根的概率是:

考单招上高职单招网---A.

根据历年单招考试大纲出题
4 9
2

3 4

B.

2 3

C.

D.

1 2

11.已知抛物线 E : y 2 ? 2 x ,圆 C : ?x ? 2? ? y 2 ? 1,P、Q 分别为曲线 E 和曲线 C 上 的点,则 PQ 的最小值为 A.1 B. 5 ? 1 C. 3 D. 3 ? 1

12.已知定义域为 R 的函数 f ? x ? ? ? 有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 成立,那么 a 的取值范围是 x1 ? x2
A. a ? 3 B. a ? 1 C. 1 ? a ? 3

? ?log a x ? x ? 1? ,对 ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 , 都 ? ?? 3 ? a ? x ? a ? x ? 1?

D.

3 ?a?3 2

二、填空题:(每小题 4 分,共 16 分) 13. 过点 A( 4, ? 1 ) 和双曲线
x2 y2 ? ? 1 右焦点的直线方程为. 9 16

14 已知函数 f ( x) ? ?

?log3 x ( x ? 0) 1 ,则 f [ f ( )] = x 9 ( x ? 0) ?2

15. 如图,圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆,则该圆锥的母线与底

面所成的角的大小是.

16.设※是 R 上的一个运算,A 是 R 的非空子集. 若对任意 a, b ? A, 有 a ※ b ? A ,则 称 A 对运算※封闭.现有五个数集:①自然数集 ②整数集 集 ⑤复数集. 以上五个数集中,对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭 的 是= (写出所有满足条件的数集的序号) ③有理数集 ④无理数

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根据历年单招考试大纲出题

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 17.(本大题满分 12 分) △ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2b ? cos A ? c ? cos A ? a ? cos C , (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 7 , b ? c ? 4 ,求△ABC 的面积.

18.(本题满分 12 分) 有甲乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀 统计成绩后,得到如下的列联表. 优秀 甲班 乙班 合计 已知在全部 105 人中抽到随机抽取 1 人为优秀的概率为 (Ⅰ)请完成上面的列联表; 10 30 105 非优秀 总计

2 7

考单招上高职单招网---单随机抽

根据历年单招考试大纲出题

(Ⅱ)从 105 名学生中选出 10 名学生组成参观团,若采用下面的方法选取:现用简

样从 105 人中剔除 5 人,剩下的 100 人再按系统抽样的方法抽取 10 人,请写出在 105 人 中,每人 入选的概率.(不必写过程) (Ⅲ)把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子, 出现的点数之和为被抽取人的序号,试求抽到 6 号或 10 号的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上,且 AB // EF , 矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直,且
AB ? 2 , AD ? EF ? 1 .
C

(1)求证: AF ? 平面 CBF ; (2)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (3)求四棱锥 F-ABCD 的体积.

D

B

M E

O
A F

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根据历年单招考试大纲出题

20.(本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 S n ? n 2 ,
a (Ⅰ)求数列{an}的通项 an; (Ⅱ)设 bn= k n +2n(其中 k ? 0 ),求数列{bn}

的前 n 项和 Tn.

21(本小题满分 12 分)
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 有一 a 2 b2

已知点 P(4,4),圆 C: ( x ? m)2 ? y2 ? 5 (m ? 3) 与椭圆 E:

个公共点 A(3,1),F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. (Ⅰ)求 m 的值与椭圆 E 的方程;
??? ? ???? (Ⅱ)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AP ? AQ 的取值范围.
y

P

A F2

F1

O

C Q

x

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根据历年单招考试大纲出题

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = x 2 ? a ln x 的曲线在点 ?1,1? 处的切线方程为 y ? 1 ,

g ?x? ? x 2 ? x ? 2 x ? 3b

(1)求 f ( x) 的表达式; (2)求证: e x ? ex (3)求方程 f ( x) ? g ( x) 的解的个数.

参考答案
一、选择题:1-12 BBCBD CBDAB DD

二、填空题:13. y ? x ? 5.14. 三、解答题 17.(本小题满分 12 分)。

1 15. 60? 16.③⑤ 4

(1)从已知条件得 2 cos A sin B ? sin A cosC ? cos A sin C ? sin( A ? C ) ? sin B --------3 分

考单招上高职单招网---? sin B ? 0 ? cos A ?
-----6 分

根据历年单招考试大纲出题
A ? 60 ?
-------------------------------------

1 及0 ? A ? 180 ? 2

(注:会用正弦定理得 1 分,没说明 A 的范围扣 1 分) (2)由余弦定理

7 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos60? ? b 2 ? c 2 ? bc ? (b ? c) 2 ? 3bc -----------------------8 分 代入 b+c=4 得 bc=3 -------------------------------------------------------------------------------10 分 故△ABC 面积为 S ? -12 分 18.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)从 105 ? --1 分

1 3 3 bc sin A ? . 2 4

--------------------------------------------------------

2 ? 30 可知两个班的优秀生共 30 人,------------------------------7

优秀 甲班 乙班 合计 10 20 30

非优秀 45 30 75

总计 55 50 105 ---------------4 分

(Ⅱ) P ? 6分

10 2 ? 105 21

------------------------------------------------------------------------

(Ⅲ)设“抽到 6 或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数 为(x,y)。

考单招上高职单招网----------------8 分

根据历年单招考试大纲出题

所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、……、(6,6),共 36 个。

事件 A 包含的基本事件有:(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1) (4,6)、(5,5)、(6、4),共 8 个--------------------------------------------------------------------------------------------------------10 分

? P( A) ?

8 2 ? 36 9
2 ----------------------------------------------------------9

答:抽到 6 号或 10 号的概率为 12 分

19.解:(1)证明: ? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB ,? CB ? 平面 ABEF ,

? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB ,
又? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF , ? AF ? 平面

CBF .

………4 分

(2)设 DF 的中点为 N ,则 MN //

1 1 CD ,又 AO // CD , 2 2

则 MN // AO , MNAO 为平行四边形,

? OM // AN ,又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF ,? OM // 平面
DAF .
………8 分

(3)过点 F 作 FG ? AB 于 G ,? 平面 ABCD ? 平面 ABEF ,

? FG ? 平面 ABCD ,FG 即正 ?OEF 的高,-------------------------------------10


? FG ?

3 S ?ABC ? 2 2

考单招上高职单招网---?VF ? ABCD ?


根据历年单招考试大纲出题

1 2 3 S ABCD ? FG ? FG ? ,----------------------------------------12 3 3 3

20.解:(Ⅰ)? S n ? n 2 ,? 当 n ? 1 时,a 1 ? S1 ? 1 ---------------------1 分 当 n ? 2 时, a n ? Sn ? S n?1 ? n 2 ? ?n ? 1? ? 2n ? 1 ----2

-3 分

a1 ? 1 符合上式-------------------------------4 分

? an ? 2n ? 1

?n ? N ? -----------------------5 分
*

a (Ⅱ) bn ? k n ? 2n ?

1 n ? k ? 2n , k

(1)当 k ? 1 时 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

?

1 2 (k ? k 4 ? ? ? k 2 n ) ? 2(1 ? 2 ? ? ? n) k

------------------------6 分

其中 k 2 , k 4 ,?, k 2n 构成首项为 k 2 ,公比为 k 2 的等比数列,又

1,2,3,?, n是等差数列------7 分

1 k 2 1? k 2 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn = ? k 1? k 2
10 分

?

? ? ?? n
n

2

k 1 ? k 2n ? n 2 ? n ---------?n= 2 1? k

?

?

(2)当 k ? 1 时, bn ? 2n ? 1,数列{bn}是首项为 3,公差为 2 的等差数列. ∴ Tn ? 3n ? --12 分 21.解:(Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程, 1. …… 2 分 圆 C: ( x ? 1) ? y ? 5 .设直线 PF1 的斜率为 k,
2 2

n?n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n ------------------------------------2

得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 .∵m<3,∴m=
y P

A F2

F1

O

C Q

x

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根据历年单招考试大纲出题

则 PF1: y ? k ( x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 . ∵直线 PF1 与圆 C 相切, ∴
| k ? 0 ? 4k ? 4 | k2 ?1 ? 5.

解得 k ? 当 k=

11 1 , 或k ? . ……………… 3 分 2 2

11 36 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去. 2 11

1 当 k= 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4, 2

∴c=4.F1(-4,0),F2(4,0).

…………………… 5 分

2a=AF1+AF2= 5 2 ? 2 ? 6 2 , a ? 3 2 ,a2=18,b2=2. 椭圆 E 的方程为:
x2 y 2 ? ? 1. 18 2

…………………… 7 分

(法二)直接设直线 PF 1 的方程为: y ?

4 ?x ? c ? 去求 c . 4?c

??? ? ???? (Ⅱ) AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y), AQ ? ( x ? 3, y ? 1) , ??? ? ???? AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 .

…………………… 9 分

(法一) 设 z ? x ? 3 y ,则

z 是直线 l : 3 y ? x ? z ? 0 在 y 轴上的截距,所以当 3

l与椭圆E相切时,

z 取得最大值与最小值,把直线方程代入椭圆方程得: 2 x 2 ? 2 zx ? z 2 ? 18 ? 0
由 ? ? 4z 2 ? 8 z 2 ? 18 ? ?4 z 2 ? 36 ? 0 ,得 ? 6 ? z ? 6 ,
x ? 3 y 的取值范围是[-6,6].

?

?

?

?

??? ? ???? ∴ AP ? AQ ? x ? 3y ? 6 的取值范围是[-12,0].

…………………… 12

分 (法二)∵
x2 y 2 ? ? 1 ,即 x2 ? (3 y)2 ? 18 , 18 2

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而 x2 ? (3 y)2 ≥2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18. 则 ( x ? 3 y)2 ? x2 ? (3 y)2 ? 6xy ? 18 ? 6xy 的取值范围是[0,36].
x ? 3 y 的取值范围是[-6,6].

??? ? ???? ∴ AP ? AQ ? x ? 3y ? 6 的取值范围是[-12,0].

…………………… 12

分 22.解:(1) f ' ( x) ? 2 x ?

a ,--------------------------------------------------1 分 x

因为曲线在点 ?1,1? 处的切线方程为 y ? 1 ,切线斜率为 0. ∴ f ' (1) ? 2 ? a ? 0 ,? a ? 2 ----------------------------------2 分 ∴ f ( x) ? x 2 ? 2 ln x -----------------------------------------------3 分 (2)设 F ?x ? ? e x ? ex ,则 F ??x ? ? e x ? e ,------------------------4 分

?当x ? 1时, F ??x ? ? 0 ? x ? ?1,???时,F ?x ? 为增函数; ?当x ? 1时, F ??x ? ? 0 ? x ? ?? ?,1?时,F ?x ? 为减函数;

? x ? 1时,F ?x?min ? F ?1? ? 0 ,? e x ? ex ----------------------7 分
(3)由(1)可知,方程 f ( x) ? g ( x) ,即 x ? 2 x ? 2 ln x ? 3b ? 0 。 设 h( x) ? x ? 2 x ? 2 ln x ? 3b ,则 h' ( x) ? 1 ? 得 x ? x ? 2 ? 0 ,解得

1

?

x ?2

??

x x ? 1 >0,得 x ? 1 。

?

?

2 。令 h' ( x) ? 0 ,并由 x ? 0 , x

令 h' ( x) ? 0 ,并由 x ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 列表分析:

9分

x
h' ( x ) h( x )

(0,1) — 递减

1 0 极小值 0

(1,+ ? ) + 递增

考单招上高职单招网----------------9 分

根据历年单招考试大纲出题

知 h( x) 在 x ? 1 处取最小值 3 ? 3b ,--------------------------------------------------------

(ⅰ)当 b ? 1 时, h(1) ? 0 ,在 x ? 0 且 x≠1 时, h( x) ? 0. ∴ h( x) ? 0 在(0,+

? )上只有一个解,
即当 b ? 1 方程 f ( x) ? g ( x) 有唯一解 --------10 分 (ⅱ)当 b ? 1 时, h(1) ? 0 ,在 x ? 0 且 x≠1 时, h( x) ? 0. ∴ h( x) ? 0 在(0,+ ---------------------------------------------------

? )上无实数解,
即当 b ? 1 方程 f ( x) ? g ( x) 的解的个数为零.----------------------------------------------------11 分 (ⅲ)当 b ? 1 时, h(1) ? 0 , 又h e 点;
10 b ? e10 b ? 2 e10 b ? 2 ln e10 b ? 3b ? 10eb ? 2 e10b ? 23b >0 由(2) h e

? ?? e
?3 b

?3b

? 2 e ?3b ? 6b ? 3b ? 0 ,故函数 h( x) 在区间 e ?3b ,1 上有一个零

?

?

? ?

故函数 h( x) 在区间 1, e10b 上有一个零点,

?

?

? b ? 1 时,∴ h( x) ? 0 在(0,+ ? )上有两个实数解,
即方程 f ( x) ? g ( x) 的解的个数为 2.------------------------------ 13 分 综上 : 方程 f ( x) ? g ( x) 的解的个数为: b ? 1 时一个, b ? 1 时 0 个,? b ? 1 时 2 个.--------14 分


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