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高二文科数学立体几何练习题


《立体几何》专题
一、空间基本元素:直线与平面之间位置关系的小结.如下图: 条件 结论 线线平行 线面平行 面面平行 如果α ∥β ,α ∩ γ =a,β ∩γ =b, 那么 a∥b 如果α ∥β ,a ? α ,那么α ∥β 如果α ∥β ,β ∥ γ ,那么α ∥γ 垂直关系 如果 a⊥α , b ⊥α ,那么 a ∥b —— 如果 a⊥α , a ⊥β ,那么α ∥β

线线平行

如果 a∥b,b∥c,那么 a∥c 如果 a∥b,a ? α ,b ? α ,那么 a∥α 如果 a ? α , ? α , ? b c

如果 a∥α ,a ? β ,β ∩α =b,那么 a∥b

线面平行

—— 如果 a ? α ,b ? α ,a∩ α ∥β

面面平行

β , ?β , d a∥c, b∥d, b=P,a∥β ,b∥β , 那么 a∩b=P,那么α ∥β

条件 结论

线线垂直

线面垂直

面面垂直 如果三个平面两 两垂直,那么它 们交线两两垂直 如果α ⊥β ,α

平行关系

线线垂直

二垂线定理及逆定理

如果 a⊥α ,b ? α ,那 么 a⊥b

如果 a∥b,a⊥ c,那么 b⊥c

如果 a⊥b, a⊥c, ? α , b 线面垂直 c ? α ,b∩c=P,那么 a ⊥α 面面垂直 定义(二面角等于 90 )
0

——

∩β =b, ? α ,a a ⊥b,那么 a⊥β

如果 a⊥α ,b∥ a,那么 b⊥α

如果 a⊥α ,a ? β ,那 么β ⊥α

——

——

数学立体几何练习题
一、选择题:本大题共 15 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1、设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? .下列四个命题中,正确的是( A.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n B.若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? C.若 ? ? ? ,m ? ? ,则 m ? ? D.若 ? ? ? ,m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ? 2、已知直线 l , m 与平面 ?,? ,? 满足 ? ? ? ? l,l // ?,m ? ? 和 m ? ? ,则有 A. ? ? ? 且 l ? m C. m // ? 且 l ? m B. ? ? ? 且 m // ? D. ? // ? 且 ? ? ? )

3.若 a ? ? 0,1, ?1? , b ? ?1,1, 0 ? ,且 a ? ? b ? a ,则实数 ? 的值是( ) A .-1 B.0 C.1 D.-2 4、已知平面α ⊥平面β ,α ∩β = l,点 A∈α ,A ? l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m ∥α ,m∥β ,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( ) ... A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β

?

?

?

?

?

?

?

5 一个几何体的三视图及长度数据如图,则几何体的表面积与体积分别为

? A?7 ?

2 ,3

?B ?8 ?

2, 3

?C ?7 ?

3 2, 2

?D ?8 ?

2,

3 2

6、已知长方体的表面积是 24cm ,过同一顶点的三条棱长之和是 6cm ,则它的对角线长是 ( A. )

2

14cm

B. 4cm

C. 3 2cm

D. 2 3cm

7.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上 的点,A1M=AN= A.相交 2a ,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( 3 C.垂直 D.不能确定 )

B.平行

8. 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起, 使平面 ABD⊥平面 CBD, 是 CD 中点, ?AED E 则 的大小为( ) A. 45? B. 30? C. 60? D. 90?

9.PA,PB,PC 是从 P 引出的三条射线,每两条的夹角都是 60? ,则直线 PC 与平面 PAB 所成的角的余弦值为( )

1 3 3 6 B。 C。 D。 2 3 3 2 10.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1 与 CC1 的中点,则直线 ED 与 D1F 所成 角的余弦值是
A.

1 1 3 1 B。 C。 D。 2 5 2 3 11.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB=2,A A1=1,则点 A 到平面 A1BC 的距离为( )
A. A.

3 4

B.

3 2

C.

3 3 4

D. 3

12.设 E,F 是正方体 AC1 的棱 AB 和 D1C1 的中点,在正方体的 12 条面对角线中,与截面 A1ECF 成 60° 角的对角线的数目是( ) A.0 B.2 C.4 D.6 13.一条直线和平面所成角为θ ,那么θ 的取值范围是 …………………………( ) (A) (0?,90?) (B)[0?,90?] (C)[0?,180?] (D)[0?,180?] 14.?1∥?2,a,b 与?1,?2 都垂直,则 a,b 的关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.平行、相交、异面都有可能

15.三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,P、Q 分别为 AA1、CC1 上的点,且满足 AP=C1Q,则四棱 锥 B—APQC 的体积是

1 A. V 2

1 B. V 3

1 C. V 4

2 D. V 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 1、平面的一条斜线和这个平面所成角的范围是 。 2、 ? ABC 所在平面外一点到三角形三顶点 A, B, C 等距离,则 P 在平面 ABC 内的射影是

. ? ABC 的 3、 ? ABC 所在平面外一点到三角形三边等距离,则 P 在平面 ABC 内的射影是

? ABC

的 . 4、已知斜线的长是它在平面 a 上射影的 2 倍,那么斜线与平面 a 所成的角等于 5、已知四个不共面的点,在空间存在 个平面,使各个点到平面的距离相等。

一、选择题 1、两条异面直线所成的角() A 经过空间一点分别作两条异面直线的平行线,这个角叫两条直线所 成的角 B 经过异面直线上的任意一点作另外一条直线的平行线,这样组成的 角 C 进过空间一点分别作两条异面直线的平行线所组成的锐角 (或直角) 叫这两条异面直线所成的角 D 两条异面直线在同一个平面的射影的夹角 2、与同一条直线垂直相交的三条直线确定的平面个数为() A 一个平面或两个平面 B 两个平面或三个平面 C 一个平面、两个平面或三个平面 D 一个平面、两个平面或不能确定平面 3、两条异面直线在同一个平面内的射影是() A 两条相交直线 B 两条平行直线 C 两条相交或平行直线 D 以上均不对 4、一条直线和平面 A 所成的角为 30,则它和平面 A 内的所有直线所 成的角中,最大的角是() A 30 B 150 C 90 D 180 5、一条直线和垂直与它的两条直线确定平面的个数是() A.一个平面或两个平面 B.两个平面或三个平面 C.一个平面、两个平面或三个平面 D.以上答案均不对 6、一个三棱锥如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面() A.必然是直角三角形 B.至多只能有一个是直角三角形 C.至多只能有两个是直角三角形 D.可能都是直角三角形 7、在下列四个命题中: 1、若直角三角形在平面内的射影仍是一个三角形,那么原来三角形 的重心在平面内的射影是摄影三角形的重心 2、三个平面两两相交,这三条交线一定交于一点 3、一条直线上如果有三个点和一个平面距离相等,那么这条直线与 那个平面平行 4、两两垂直的三个平面有一个公共顶点,另一平面与这三个平面相 交的一三角形,则顶点在这个三角形的射影是外心;

正确的个数() A 1 B 2 C 3 D 4 8.(精选考题· 海淀区期末)已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两 个不同的平面,下列命题中不正确的是( ) A.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n B.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α C.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β D.若 m⊥α,m?β,则 α⊥β 9、把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当 A、B C、D 四点为顶点 的三棱锥体积最大时,直线 BD 与平面 ABC 所成的角的大小为 ( ) A.90° B.60°C.45° D.30°(04 湖南 5) (10)如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中已知 AB=1,D 在棱 BB1 上,且 BD=1,若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ? ,则 ? = 10.D
? 3 ? (B) 4

(A)

10 4 6 (D) arcsin (04 浙江 10) 4

(C) arcsin

11.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , r 是三个不同的平面.给出下列四 个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n;② 若 α∥β, β∥r, m⊥α,则 m⊥r; ③ 若 m∥α,n∥α,则 m∥n;④ 若 α⊥r, β⊥r,则 α∥β. 其中正确命题的序号是 (A) ①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)①和④(04 北京 3)
12.【2012 高考四川文 6】下列命题正确的是( ) A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C

二、填空题 1、空间四点无三点共线,可确定 2、三个平面两两相交,可将空间分成

个平面。 个区域。

3、四面体 ABCD 中,AB,AD,AC 两两垂直,三角形 ABC、ABD、 ACD 的面积分别为 S1 , S2 , S3 , 则三角形 BCD 的面积为 。 4、已知平面 ? , ? 和直线 m,给出条件:① m //? ;② m ? ? ;③ m ? ? ; ④ ? ? ? ;⑤ ? // ? . (i) 当满足条件 时, m // ? ;ii) 有 ( 当满足条件 时, 有 m ? ? .(湖南 05) 5 、 如 图 , 在 三 棱 锥 P — ABC 中 , PA=PB=PC=BC, 且 ?BAC ? ,则 PA 与底面 ABC 所
2

?







. (05 江西 15)

三、证明题 1、已知直线 a / /b , a , b 与平面 M 斜交, a ? ? , b ? ? 且 a ? 平面 M, b ? 平面 M,求证: ? / / ? 。

2、如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,AB=8,AD=4 3 , 侧面 PAD 为等边三角形,并且与底面所成二面角为 60° (Ⅰ)求四棱锥 P—ABCD 的体积; (Ⅱ)证明 PA⊥BD. (04 甘肃 21)

3(本小题满分 12 分) 三棱锥 P—ABC 中,侧面 PAC 与底面 ABC 垂直,PA=PB=PC=3. (1) 求证 AB⊥BC; (2) 如果 AB=BC= 2 3 , 求侧面 PBC 与侧面 PAC 所成 二面角的大小. 4(04 广西 21)

P

A B

C

4 04 年) ( 如图, 已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB ? 2 , AF ? 1 , M 是线段 EF 的中点。 (Ⅰ)求证 AM ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证 AM ? 平面 BDF ; (Ⅲ)求二面角 A ? DF ? B 的大小。

5. (05 年)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC , AB ? BC ? 分别是 AC 、 PC 的中点, OP ? 底面 ABC 。 (Ⅰ)求证 OD ∥平面 PAB ; (Ⅱ)求直线 OD 与平面 PBC 所成角的大小。

1 PA ,点 O 、 D 2

P

D

A

o B

C

6.【2012 】 (本题满分 15 分)如图,在侧棱锥垂直底面的四棱锥 ABCD-A1B1C1D1 中,

AD∥BC, AD⊥AB, AB= 2 。AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E
与直线 AA1 的交点。 (1)证明: (i)EF∥A1D1; (ii)BA1⊥平面 B1C1EF; (2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值。

1 本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和 空间想象能力、分析 问题能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)如图 1,取 AD 的中点 E,连结 PE,则 PE⊥AD. 作 PO⊥平面在 ABCD,垂足为 O,连结 OE. 根据三垂线定理的逆定理得 OE⊥AD, 所以∠PEO 为侧面 PAD 与底面所成的二面角的平面角, 由已知条件可知∠PEO=60°,PE=6, 所以 PO=3 3 ,四棱锥 P—ABCD 的体积 VP—ABCD= 1 ? 8 ? 4 3 ? 3 3 ? 96. (Ⅱ)解法一:如图 1,以 O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算 可得 P(0,0,3 3 ) ,A(2 3 ,-3,0) ,B(2 3 ,5,0) ,D(- 2 3 ,-3,0) 所以 PA ? (2 3,?3,?3 3 ), BD ? (?4 3,?8,0). 因为 PA ? BD ? ?24 ? 24 ? 0 ? 0, 所以 PA⊥BD. 解法二: 如图 2, 连结 AO, 延长 AO 交 BD 于点 F.能过计算可得 EO=3, AE=2 3 , 又知 AD=4 3 ,AB=8, 得
EO AD ? . AE AB 3

所以 Rt△AEO∽Rt△BAD. 得∠EAO=∠ABD. 所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF⊥BD. 因为 直线 AF 为直线 PA 在平面 ABCD 内的身影,所以 PA ⊥BD. 2 本小题主要考查两个平面垂直的性质、二面角等有关知识,以有逻 辑思维能力和空间想 P 象能力. 满分 12 分. E (1)证明:如果,取 AC 中点 D,连结 PD、BD. 因为 PA=PC,所以 PD⊥AC, A C D 又已知面 PAC⊥面 ABC, 所以 PD⊥面 ABC,D 为垂足. B 因为 PA=PB=PC, 所以 DA=DB=DC,可知 AC 为△ABC 外接圆直径, 因此 AB⊥BC.

(2)解:因为 AB=BC,D 为 AC 中点,所以 BD⊥AC. 又面 PAC⊥面 ABC, 所以 BD⊥平面 PAC,D 为垂足. 作 BE⊥PC 于 E,连结 DE, 因为 DE 为 BE 在平面 PAC 内的射影, 所以 DE⊥PC,∠BED 为所求二面角的平面角. 在 Rt△ABC 中,AB=BC= 2 3 ,所以 BD= 6 . 在 Rt△PDC 中,PC=3,DC= 6 ,PD= 3 , 所以 DE ?
PD ? DC 3? 6 ? ? 2. PC 3
6 2 ? 3,

因此,在 Rt△BDE 中, tan ?BED ?
?BED ? 60? ,

所以侧面 PBC 与侧面 PAC 所成的二面角为 60°.

12【答案】 【解析】 (i)因为 C1 B1 / / A1 D1 , C1 B1 ? 平面 ADD1 A1,所以 C1B1 / / 平面 ADD1 A1. (1) 又因为平面 B1C1EF ? 平面 ADD1 A1= EF ,所以 C1 B1 / / EF .所以 A1 D1 / / EF .

(ii)

因为 BB1 ? A1 B1C1 D1 ,所以 BB1 ? B1C1 ,

又因为 BB1 ? B1 A1 ,所以 B1C1 ? ABB1 A1 , 在矩形 ABB1 A1 中,F 是 AA 的中点,即 tan ?A1 B1 F ? tan ?AA1 B ?

2 .即 2

?A1 B1 F ? ?AA1B ,故 BA1 ? B1 F .
所以 BA1 ? 平面 B1C1 EF . (2) 设 BA1 与 B1 F 交点为 H,连结 C1 H . 由(1)知 B1C1 EF ,所以 ?BC1 H 是 BC1 与平面 B1C1 EF 所成的角. 在矩形 ABB1 A1 中,

AB ? 2 , AA1 ? 2 ,得 BH ?

4 4 ,在直角 ? BHC1 中, BC1 ? 2 3 , BH ? ,得 6 6

sin ?BC1 H ?

BH 30 30 ? ,所以 BC 与平面 B1C1 EF 所成角的正弦值是 . BC1 15 15


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