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2017高中数学(人教A版选修2-1)课件1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系

第一章 常用逻辑用语 §1 .1 命题及其关系 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系 自学导引 (学生用书P5) 1.了解命题的逆命题、否命题、逆否命题,能写出原命 题的其他三种命题. 2.能利用四种命题间的关系判断命题的真假. 课前热身 (学生用书P5) 1.一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命 题叫做________,其中一个叫________,另一个叫原命题的 ________. 2.对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是 另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个 命题叫做________.如果把其中的一个叫做原命题,那么另 一个叫做原命题的________. 3.对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是 另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个 命题叫做________.如果把其中的一个命题叫做原命题,那 么另一个叫做原命题的________. 答案 1.互逆命题 原命题 逆命题 2.互否命题 否命题 3.互为逆否命题 逆否命题 名师讲解 (学生用书P5) 1.四种命题的概念 一般地,用p和q分别表示一个命题的条件和结论.用 “綈p,綈q”表示p和q的否定.于是四种命题的形式就是: 原命题:若p,则q(p?q); 逆命题:若q,则p(q?p); 否命题:若綈p,则綈q(綈p?綈q); 逆否命题:若綈q,则綈p(綈q?綈p). 2.四种命题间的关系 3.四种命题的真假关系 (1)一个命题总可以改写为“若p,则q”的形式.其中p 为命题的条件,q为命题的结论.如“正数的平方根不等于 0”.可改写为:“若a为正数,则a的平方根不等于0”.这 里增加了一个字母a,以便表达更清楚. (2)若原命题为真,则它的逆否命题为真,而它的逆命 题、否命题真假不定.如原命题:“若a=b,则ac=bc”为 真命题,而它的逆命题:“若ac=bc,则a=b”真假不 定.当c≠0时,有a=b成立.当c=0时,a不一定等于b. (3)互为逆否的两个命题是同真假的,也叫等价命题;在 四种命题中,有两对等价命题:“原命题与逆否命题” , “逆命题与否命题”.因此,四种命题中真假命题的个数一 定是偶数. 典例剖析 (学生用书P5) 题型一 四种命题的概念 例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并 判断真假. (1)实数的平方是非负数; (2)对顶角相等; (3)若m≤0,或n≤0,则m+n≤0. 分析 分清条件和结论,利用相关知识点判断真假. 解 (1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是 实数.真命题. 否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负 数.真命题. 逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是 实数.真命题. (2)逆命题:若两个角相等,则这两个角是对顶角.假命 题. 否命题:若两个角不是对顶角,则这两个角不相等,假 命题. 逆否命题:若两个角不相等,则这两个角不是对顶角, 真命题. (3)逆命题:若m+n≤0,则m≤0或n≤0,真命题. 否命题:若m>0且n>0,则m+n>0,真命题. 逆否命题:若m+n>0,则m>0且n>0,假命题. 规律技巧 若一个命题不是“若p,则q”的形式,先改 写成“若p,则q”的形式.如?2?可改写成“若两个角是对顶 角,则这两个角相等.”然后再按定义写出其逆命题、否命 题、逆否命题. 变式训练1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆 否命题,并判断它们的真假. (1)若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根; (2)若ab=0,则a=0,或b=0; (3)若x2+y2=0,则x,y全为零 解 (1)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1, 假命题. 否命题:若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根,假命 题. 逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1,真命 题. (2)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0,真命题. 否命题:若ab≠0,则a≠0,且b≠0,真命题. 逆否命题:若a≠0,且b≠0,则ab≠0,真命题. (3)逆命题:若x,y全为零,则x2+y2=0,真命题. 否命题:若x2+y2≠0,则x,y不全为零,真命题. 逆否命题:若x,y不全为零,则x2+y2≠0,真命题. 题型二 四种命题关系的应用 例2 判断命题x2≠y2?x≠y,或x≠-y是否正确? 分析 由于是不等关系,不易判定,我们可以考虑它的 逆否命题.在逆否命题中,不等关系就转化为相等关系了. 解 “x2≠y2?x≠y,或x≠-y”的逆否命题是:“x= y,且x=-y?x2=y2”. 当x=y,且x=-y?x2=y2但当x2=y2?/ x=y,且x=-y. 所以逆否命题是不正确的.故原命题不正确. 规律技巧 当一个命题的真假不易判断时,可转化为判 断它的等价命题,使问题简便. 变式训练2 判断下列命题的真假. (1)已知a,b,c,d∈R,若a≠c或b≠d,则a+b≠c+ d; (2)若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根. 解 (1)a,b,c,d∈R,若a≠c或b≠d,则a+b≠c+d 的逆否命题是:a,b,c,d∈R,若a+b=c+d,则a=c且b =d. 显然该命题是假命题(不妨举反例,取a=d=2,b=c= 3),所以原命题是假命题. (2)若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根的逆否命题 为:若方程x2-2x+m=0有实数根,则m≤1. ∵x2-2x+m=0有实数根, ∴Δ=4-4m≥0即m≤1. ∴逆否命题成立,故原命题是真命题. 例3 证明:已知函数f(x)是R上的增函数,a,b∈R.若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0. 分析 该题直接证明比较困难,可考虑证明它的逆否命 题. 证明 原命题

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