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河北省衡水中学2012~2013学年度上学期二调考试高三年级数学(理科)试卷(不可打印)


河北省衡水中学 2012~2013 学年度上学期二调考试

7. 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数

f ( x) , 当 x ? ( 1 ,? ? )时 , f ( x)?
?

?

?

f ' ( x?)

x f ' (x )恒 成 立 ,

高三年级数学(理科)试卷
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

1 a ? f( 2 ) ,b?
A. c ??a ? b
?

2

f ( 3 ) ,?
[来源:学科

( ?2 f1 ) ( 则 2a), b, c 的大小关系为
C. a ? c ? b
? ?





网 ZXXK]

B. b ? c ? a
? ?

D. c ? b ? a
? ?

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号 填涂在答题卡上) 1.设全集 U=R,A ? {x |2 x (x -2)
?

'

8.设函数 f(x )= cos x ,把 f( x) 的图象向右平移 m 个单位后,图象恰好为函数 y=-f (x ) 的图象, 则 m 的值可以为 ( B. C. D. ??? ( ) )

??????????????????????????????????3?
. . ( ) <1},B={x|y=ln(1-x)}, 则右图中阴影部分 A.

4
?

2
?

4
?

表示的集合为 A.{x|x ? 1}
?

9.已知向量 a ? (cos ?,sin? ) , b ??( A.1 B.

3,1) ,则 | a ? b | 的最大值为
C.3 D.9

B.{x|1 ? x ? 2} C.{x|0<x ? 1} D.{x|x ? 1}
? ?
? ?

3
k ?R
?

2. “ cos ???

3 5

”是“ cos 2??? ?
?

7 25

”的



) 10.已知 ABC ,若对任意 A. 直角三角形
? ?

有 | BA ? k BC |?| CA | 则
?

ABC 一定是(



A.充分而不必要条 件 C.充要条件

B.必要而不充分条件

B.钝角三角形
?

C. 锐角三角形

D. 不能确定 ( )

D.既不充分也不必要条件
2

11.若 2 sin ??? cos ??? 2, 则 sin ??? 2 cos ??的取值范围是 ( )

3.函数 y= sin x cos x + 3 cos x - 3 的图 象的一个对称中心是

2?????3 A. ( ) 3 2

5?????3 2?????3 B. ( - ) C. (- , ) 6 2 3 2

???2 2?????????????????????????????????2 ? 3)
) 12.下列说法:①若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ??? f ( x ? 1) ,则 6 为函数 f ( x) 的周期;
? ?
?

3

4.函数 y=A sin (?x+?) 在一个周期内的图象如右下,此函数的解析式为 (

②若对于任意 x ? (1,3) ,不等式 x ? ax ? 2 ? 0 恒成立,则 a ?????;
? ? ? ?

? (2x + A. y=2sin (2x + 2???????????????????? ) B. y=2sin 3
C. y=2sin (
1 0
[来 源:Z #xx# k.Co

) 3
D. (

③定义: “若函数 f (x) 对于任意 x ?R,都存在正常数 M ,使 3 7 A. ????????????? B. C. ?????????????? D. ???????????????????????????????????? ???????? 2 数 f ( x) 为有界泛函. ”由该定义可知,函数 f (x) ??x ?1 为有界泛函;
? ?

3 f3(x) ??M x 恒成立,则称函

x 2 3

D. y=2sin (2x-

?

*
?

3 ? )

x ?1
?

f ? f 2 (x)? ,? ,fn?1 (x) ? f ? f n (x)? 11
? ?

?

5.

(e +2x )dx 等于( ? )

( n ? N 且 n ?? 2 ) ,令集合 M ? ? x f 2009 ( x) ??x, x ? R? ,则集合 M 为空集。 ) ④对于函数 f ( x) ?????? , 设 f (x) ??f ? f (x)?,f (x) ?
? ?

x ?1

?

m]

正确的个数为
x

( B、2 个 C、3 个 D、4 个



A. 1

B. e-1

C. e

D. e ? 1
?

A、1 个

第Ⅱ卷 非选择题 (共 90 分)

6.已知 lim ?x?0 A. 3

f (x0 ? ?x) ??f (x 3?x
?

0

? ?x)
?

? 1,则 f ?(x0 ) 的值为
?





二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

1

B.

3
D.

2 3

f (sin ??? cos? ) ? sin???cos ? ,
?
?

?

?

f (sin )

6 ?

2

C.1

3 ? 14.函数 y=2sin (2x + ) 在[0,? ] 上的单调增区间为
?

15.给出下列六个命题: ①函数 f(x )=lnx-2+x 在区间(1,e) 上存在零点; ②若 f (x )=0 ,则函数 y=f (x ) 在 x=x 处取得极值;
0 '

19. (本小题 12 分)已知函数 y=A sin (?x+?) ( x? R ,A ? 0,? ? 0, 0 ? ? ?
? ? ? ? ? ?

? ) 图象如图,P 是 2 5 13 | PQ |? 2


图象的最高点,Q 为图象与 x 轴的交点,O 为原点.Q (2,0) 且|OP |? ( Ⅰ)求函数 y=f (x ) 的解析式; (Ⅱ)将函数 y=f (x ) 图象向右平移 1 个 单位后得到 函数 y=g(x ) 的图象,当 x ?[0,2] 时, 求函数 h(x )=f (x ) ? g(x) 的最大值.
?

③若 m≥-1,则函数 y ? log
?

1 2

( x 2 ? 2 x ? m) 的值域为 R;
? ?

2

④满足条件 AC ?

3,?B ? 60 ,A B ? 1 的三角形△ABC 有两个;
?
?

⑤函数 y=f (1+x ) 的图像与函数 y=f (1-x ) 的图像关于 y 轴对称。 其中正确命题的个数是 。

16.如图,在矩形 OACB 中,E 和 F 分别是边 AC 和 BC 上的点, 满足 AC=3AE,BC=3BF,若 OC ???OE ? ?OF 其中 λ ,
?

μ ∈R,则 λ +μ 是



20. (本小题 12 分)已知函数 f (x) ??x

3

? ax 2 ? bx ? c 的图象过原点,且在 x=1 处取得极值,直线
? ? ?

三.解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分) 17. (本小题 10 分)已知向量 m ??(

x ? 3 y ? 3 ?? 0
? ?

与曲线 y ??f (x) 在原点处的切线互相垂直。

3 sin

x x x ,1) , n ??(cos , cos 2 ) , f (x) ??m ? n . 4 4 4
?

(I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)若对任意实数的 m, n ? [ ?2,2] ,恒有| f (m) ??f (n) |? t 成立,求实数 t 的取值范围。
?

?

(1)若 f ( x) ? 1 ,求 cos(
?

2? 3

? x) 的值;
?

(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c 且满足 a cos C ? 求函数 f ( B) 的取值 范围.

1 2

21.(本小题 12 分)衡中拟建一座长 60 米,宽 30 米的长方形展览馆.按照建筑要求,每隔 x 米需打

c ?b ,
?

建一个桩位,每个桩位需花费 4.5 万元(桩位视为一点且打在长方形的边上) ,桩位之间的 x 米 墙面需花 (2 ???3x ) x 万元,在不计地板和天花板的情况下,当 x 为何值时,所需总费用最少?

22. (本小题 12 分)已知函数 f (x ) ? ln(
?

18. (本小题 12 分)如图,梯形 ABCD 中, AD//BC,AD ??AB,AD=1,BC=2,AB=3, P 是 AB 上 的一个动点, ?CPB ? ?, ?DPA ? ??.
? ?

1 1 ? ax) ??x 2 ? ax ( a 为常数, a ? 0 ). 2 2
? ?

?

C D

(Ⅰ)若 x ?

1 2

是函数 f (x) 的一个极值点,求 a 的值; 1

(Ⅰ)当 PD ?PC 最小时,求 tan ?DPC 的值。 (Ⅱ)当 tan ?DPC ? ??时,求 PD ? PC 的值。
?
?

(Ⅱ)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [
? ?

2

, ??) 上是增函数; 1
2

A P

B

范 0 ?[ 围 取 (Ⅲ)若对任意的 a ?(1,2) ,总存在 x . . . . .

2

,1] ,使不等式 f ( x0) ? m(1 ? a ) 成立,求 实数 m 的
?
?

∴的解析式为 y=2sin (

? ? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 (6 分) x+ ) ..。 3 3 ???????????????????2??????

2012~2013 学年度上学期二调考试 高三年级数学(理科) 参考答案
(Ⅱ)由题 y=g(x )=f(x-1)=2sin(

一、BABAC 3 二、 8 [

DABCA 7? 12 ,? ]
?

DB
1 3 5

3 ? 6

x ) ?h (x )=2sin ( , 7? 6
。 。 (12 分)

3 2? 3

xx-

6 ? 6

)+1, ) ? 【1 2 ,1】 h(x )=f (x ) ? g(x)
?

2 3
2分

由 x ?[0,2] 可得

2? 3

x-

?

?来源

????????????

○○○

? 【-



sin (

6

x ? 1 三、17. f(x )= sin ( + )+ , 2 6 2 1
(1)原式= -------------

的最大值为 3.。 。 。 20. (I) f '(x) ? 3x ? 2ax ? b,
? ?
?

? y ??f ( x) 图象过原点, ??f (0) ??0, 得 c ??0, 2 1 2 ? 在 x ? 1 处 f (x)取极值,??f '(1) ? 3 ??2a ? b ??0,①
? ? ?

2

(2)由正弦定理 a cosC ? c ? b ??sin A cosC +

1 2
?

?

sin C ? sin B ? sin (A +C)
? ?

------6 分

曲线 y ? f ( x) 在原点处切线斜率 k ? f '( 0) ? b,
?

1 ? 2? ??cos A ? , A ? ,? 0 ? B ? ,。 。 。 。 。 2 3 3
?

又直线 x ? 3 y ? 3 ??0 与切线垂直,
?
?

?b ???3, 代入①得 a=0,

??f (x) ??x ? x …………6 分
?

所以,

f

3 2 (B ) ?(1,, ) -------10 分 PD .PC ? (PA ? AD ).(PB ? BC ) ? PA .PB ? AD .BC
? ? ? ? ?
? ?

(II)由(I) f '( x) ? 3( x ? 1)(x ? 1),
3
?
? ?

易知 f (x)在?? ?,?1?,?1,??,?上为增函数,在[-1,1]上为减函数。
?

18.(1)设 PA=X,

? ?x (3 ? x ) ? 2
? ? ?

,所以

又 f (?2) ???2, f (?1) ??2, f (1) ???2, f (2) ? 2
?

PA=1.5 即为 AB 中点时最小,此时 (2) tan ?DPC ????,

tan ?DPC =- tan (?+? )=-18 ------6 分

??f (x)在[?2,2]上的最大值是 2,最小值为-2。

…………10 分

要使对任意 m, n ?[?2,2] | f ( m) ??f ( n) |??t 所以 tan ?DPC =- tan (? +? )=? ?

恒成立,只需 t ?| 2 ? (?2) |
?

tan ? + tan ? 1 = tan ????x = 1- tan ? tan ? 3
? ?

即 t ??4

…………12 分

所以 PD .PC ?

8 9 --- -12 分

21.解:由题意可知,需打 2( 墙面所需费用为: (2 ?

60 x

?1) ? 2(
?

30 x
?

?1) ?

180 x

个桩位. ???????2 分

5 2 5 1 19. 解(Ⅰ)由余弦定理得 cos POQ ? ,?sin POQ ? ?P ( , 2) , 5 2 5 1 2? ? ∴振幅为 2,周期 T ? 4( 2 ? ) ? ? ?? . 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 (3 分) 2 ? 3
? ? ?

3x )x ?

180 x
?

? 180( 2 ?

3x ) ,??4 分 9 2x
2

∴所需总费用 y ?

180

9 ? ? 180 ? (2 ? x 2
?

3x) ? 180(
?

? 3 x) ? 360 ( 0 ??x ? 30 )?7 分
? ?

1? ? ? ? +?=2k? + , 0 ? ? ? ,所以 ?= . 由 P 为最高点,得 2 3 2 2 3
?

?

?

9 3 3(?33 ? x 3 ) 9 ? ? 令t ? ? 3 x ,则 t? ? ? 2 2x 2x 2 2x 2 x
? ?

2

当 0 ??x ? 3 时,t
?

?

? 0 ;当 3 ??x ? 30 时,t
? ?

?

?0.
?

高三数学理科试题 第 1 页(共 4 页)

高三数学理科试题 第 2 页(共 4 页)

∴当 x ? 3 时,t 取极小值为 t ?
?

9 9 9 ? 3? 3 ? .而在 (0, 30) 内极值点唯一,所以 t min ? .∴ 2?3 2 2
? ? ? ?

? m ?0 ? 2m ? ??1 ?1?1
?
? ?

,即 m ?

1 1 ,所以,实数 m 的取值范围为[ , ??) .????????12 分 4 4

当 x ? 3 时, y min ? 180 ?
?
?

9 2

? 360 ? 1170 (万元) ,即每隔 3 米打建一个桩位时,所需总费用最

小为 1170 万元.-----12 分 1 22.解: f ?(x) ? 2 a ? 2x ? a ?
? ?

2ax( x ?
?

a2 ?2
?

) ,(x ? ?
?

1 1 ? ax 2 2

1 ? ax 1 ? 2

2a

1 a ) ?????1 分

[来源:学科网]

1 (Ⅰ)由已知,得 f ?( ) ? 0 即 2
? ?

a ?2
?

2

2a

,?a 2 ? a ? 2 ? 0,
? ? ?

a ? 0,? a ? 2. ??3 分
?
?

?

经检验, a ? 2 满足条件.??????????????3 分 (Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,
? ?

a2? 2
?

1 a 2? a ? 2 (a ? 2)(a ? 1) ??? ????????????????????????? 0, ? 2a 2 2a 2a
? ?
? ?

a2 ?2
?

?

?

1 ? , 2a 2

1

a2 ?2
?

2ax

?

?1
?来 源 ????

???

?当 x ?
?

2

时, x ?

2a

? 0 .又
?

1 ? ax
?

? 0 ,? f ( x) ? 0, 故 f ( x) 在
?
?

???

?

(Ⅲ)当 a? (1, 2) 时,由(Ⅱ)知, f (x ) 在[
?

1 2

?2 ?
?

, ??) 上是增函数?6 分 1 1 ? a) ? 1? a, 2 2
?

,1] 上的最大值为 f (1) ? ln( 1 1 ? a) ? 1? a ? m(a 2 2
?

?

于是问题等价于:对任意的 a ?(1,2) ,不等式 ln( 1 1 记 g(a) ? ln( 2 ???a ) ? 1? a ? m(a ? 1), (1? a ? 2) 2
?
?

2

?

?

? 1) ? 0 恒成立.
?

?

?

?

?

?

?

则 g?(a) ?

1 1? a
?

? 1 ? 2ma ?
? ?

a 1? a
? ?

[2ma ? (1? 2m)], ??????????9 分
? ?

当 m ? 0 时,有 2ma ? (1? 2m) ? 2m(a ? 1) ?1 ? 0 ,且
?

a 1? a
? ?

?

?

?

?

? 0,? g(a) 在区间(1,2)上递减,且
?
?

g(1) ? 0 ,则 m ? 0 不可能使 g(a) ? 0 恒成立,故必有 m ? 0.
? ? ?

? 若 1

2ma 1? a
?

1 2m
?

? 1? 1 ,可知 g(a) 在区间 D ? (1, min{2,
? ?

1 ? 1}) 上递减,在此区间 D 上有 g(a) ??g(1) ??0,
?

1

?

2m 2m 满足题设要求. ????12 分

2m

高三数学理科试题 第 3 页(共 4 页)

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