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算术平均数与几何平均数

算术平均数与几何平均数――
【三维目标】

a?b ? ab 2

1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个不等式的几何意义,以及不等式中 的不等号“ ? ”取等号的条件:当且仅当这两个正数相等; 2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式; 3.情感态度与价值观:通过本节学习,体会数学来源于生活,应用于生活,提高学习数学 的兴趣; 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式,并从生活实例角度探索其应用; 【教学难点】 基本不等式

a?b ? ab 的等号成立条件; 2

【教学过程】 1.课题导入 基本不等式

a?b ? ab 的几何背景: 2

如图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客。 由图可观察: ⑴图案由哪些几何图形组成? ⑵这些图形的面积关系是什么? ⑶4个全等的直角三角形的面积是多少? ⑷正方形 ABCD 的面积是多少? ⑸上述⑶与⑷中面积的大小关系?
D

B
G A a H b F E C

C

B

A

D

当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a ? b 时,正方形 EFGH 缩为一个点,这时 有:

a 2 ? b 2 ? 2ab .
1

2.新课讲授 从上述得出结论: ①一般地,如果 a, b ? R ,那么 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取“=”号) ;
2 2

思考: 注意观察不等号的左边与右边的特点, 左边与右边合在一起构成了什么?你能 证明它吗? 证明:? a ? b ? 2ab ? ?a ? b ?
2 2 2

当 a ? b 时 ?a ? b ? ? 0
2

当 a ? b 时 ?a ? b ? ? 0
2

? ?a ? b ? ? 0 即 a 2 ? b 2 ? 2ab .
2

②从几何图形的面积关系认识基本不等式

a?b ? ab 2

特别地,如果 a ? 0, b ? 0 ,我们用 a , b 分别代替 a, b ,可得:

a ? b ? 2 ab
用分析法证明: 要证 只要证

即为

a?b ? ab . 2

a?b ? ab ; 2
a ? b ? 2 ab


再证 a ? b ? 2 ab ? 0 即证 显然

?

a? b

?

2

?0

?

a? b

?

2

? 0 成立(当且仅当 a ? b 时取“=”号).

③理解基本不等式 我们常把

a?b 2

a?b ? ab 的几何意义 2

叫做正数 a, b 的算术平均数,把 ab 叫做正数 a, b 的几何平均数.

如图, AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点, AC ? a, BC ? b .过点 C 作垂直于 AB 的弦

DE ,连结 AD, BD.
你能利用这个图形,得出不等式

a?b ? ab 的几何解释吗? 2

2

⑴图中 OD ? ?, CD ? ? OD 与 CD 的大小关系? ⑵ a ? b 时点 C 在 AB 的什么位置?此时 OD 与 CD 的大小关系?

D A B

OC E

a?b ? ab 的几何意义为“半径不小于半弦”. 2 a?b ④基本不等式 ? ab 的特点 2
结论:不等式 ⑴前提条件: a ? 0, b ? 0 ; ⑵形式特点:左边含有两个正数的和“ a ? b ”的形式,而右边含有两个正数的积“ ab ” 形式; ⑶取等号的条件:当且仅当 a ? b 时取“=”号; ⑷该不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ⑤基本不等式

a?b ? ab 的应用 2
2

例1、⑴用篱笆围成一个面积为 100 m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所 用篱笆最短.最短的篱笆是多少? ⑵一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园面积最 大.最大面积是多少

y x
析:如图,设矩形菜园的长为 xm 、宽为 ym . ⑴因为 S ? xy ? 100 ,由

x? y ? xy 可得 2

x ? y ? 2 xy ? 2 100 ? 20 2? x ? y ? ? 40
等号当且仅当 x ? y 时成立,此时 x ? y ? 10 . 因此,这个矩形的长、宽都为 10 m 时所用篱笆最短.最短的篱笆是 40 m .
3

⑵因为 2?x ? y ? ? 36 ,则 x ? y ? 18 . 由 xy ?

x ? y 18 ? ? 9 可得 xy ? 81 2 2

当且仅当 x ? y 即 x ? y ? 9 时等号成立. 因此,这个矩形的长、宽都为 9m 菜园的面积最大,最大面积是 81m . 得出结论:已知 x, y 都是正数,则有
2

s2 ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 ; 4
⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p ; 不等式

a?b ? ab 应用时要注意三个条件:一正、二定、三相等,三者缺一不可. 2

3.巩固练习

1 的值最小?最小值是多少? x 1 变式:⑴ x ? 0, 当 x 为何值时, x ? 的值最大?最大值是多少? x 1 ⑵ x ? 2, 当 x 为何值时, x ? 的值最小?最小值是多少?(课后思考) x?2
x ? 0, 当 x 为何值时, x ?
4.课堂小结 要注意不等式 5.作业 第 100 面习题A组的第1题。 6.板书设计

a?b ? ab 应用时的三个条件:一正、二定、三相等,三者是否全部满足. 2

a?b 2 a?b ⑵不等式 2 a?b ⑶不等式 2 a?b ⑷不等式 2
⑴不等式

? ab 与 a 2 ? b 2 ? 2ab 的关系; ? ab 的几何意义:半径不小于半弦; ? ab 的特点:一正、二定、三相等; ? ab 的应用:例题讲解与练习; a?b ? ab 三个条件:一正、二定、三相等的理解与应用时的判 2

7.教学反思:对不等式 定.

4


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