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【K12学习】指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)

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指数函数和对数函数复习(有详细知识点和 习题详解)
一、指数的性质 整数指数幂 n1.整数指数幂概念: aaaa (nN) a1a0 0n 个 a an1 a0,nNnannnnmnmn2.整数指数幂的运算性质:aaam,nZ amamnm,nZ ababnnZ 其中 aaaamnmnamnana1nnn, ababn. bb3.a 的 n 次方根的概念 即: 若 xn 一般地,如果一 个数的 n 次方等于 an1,nN,那么这个数叫做 a 的 n 次方根。 a,则 x 叫做 a 的 n 次方根, n1,nN 例如:27 的 3 次方根 3273, 27 的 3 次方根 3273。 32 的 5 次方根 5322, 32 的 5 次方根 5322. 说明:①若 n 是奇数,则 a 的 n 次方根记作 na; 若 a0 则 na0,若 ao 则 na0; ②若 n 是偶数,且 a0 则 a 的正的 n 次方根记作 na,a 的负的 n 次方根,记作: na; ③若 n 是偶数,且 a0 则 na 没意义,即负数没有偶次方 根; ④00n1,nNn ∴n00; ⑤式子 na 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。 ∴
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nana. . 4.a 的 n 次方根的性质 一般地,若 n 是奇数,则 annna; a 若 n 是偶数,则 aaana0a0. 5.例题分析: 例 1.求下列各式的值: 3 38 102 43 4ab2ab 解:略。 例 2.已知 ab0, n1,nN, 化简:nabnab. nn 解:当 n 是奇数时,原式(ab)(ab)2a 当 n 是 偶 数 时 , 原 式 |ab||ab|(ba)(ab)2a 所 以 , nabnabnn2an 为奇数. 2an 为偶数例 3.计算:740740 解:740740(52)2(52)225 例 4.求值: 595. 24259455 2424595 解:245522226254451 2 分数 指数幂 1.分数指数幂: 5aaa102105a0 3aaa124123a0
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即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成

分数指数幂的形式;

k 如果幂的运算性质 a3nakn 对分数指数幂也适用。

422553422532 例如:若 a0,则 a3a3a,a4a4a, ∴aa3

4 aa.

545 即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也

可以写成分数指数幂的形式。 规定:正数的正分数指数幂

的意义是 a

正数的负分数指数幂的意义是

amnmnnama0,m,nN,n1;

1amn1nama0,m,nN,n1.

2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对

于分数指数幂也同样适用



1arasarsa0,r,sQ3abr

Q 2ararsa0,r,ssarbra0b,0r,Q

说明:有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适

用;

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没意义。

3.例题分析:

例 1. 用分数指数幂的形式表示下列各式 ao:

2 aa, aa,

332aa.

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解:aa=aaa232212211312a; 12523332 aa=aaa; 3aa=aaaa4. 121232 例 2.计算下列各式的值. 315111122a3b26a2b33a6b6; m4n8; 151112 解 2a3b26a2b33a6b6 8 =263a =4ab4a; 08211326b115236 33118m223844 mn=mn=mn3. n 例 3.计算下列各式: a23451255 a0. 32aa231131234 解:51255=535254=53545254 885=1255545; 5a2a2 =12a66a5. a3a2a2a3 =551254 综合应用 例 1.化简:5 解:5x1x15x5x1. 5x5x1=5x1(1525)=315x1= 1212141431x5. 5 例 2.化简:(xy)(xy). 解:(xy)(xy)(xy)(xy)(xy) xy. 评述:此题注重了分 子、分母指数间的联系,即(x)x 进而使问题得到解决。 例 3.已知 xx121121212121414141414141414141414212,此联 想到平方差公式的特点。 xx;xx. 3,求下列各式的值:
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1223232 解:(xx)(x)2xx12121(x)x1x12325。

12121221212122

∴xx5。

3 得 x0,∴xx12 又 xx120。

所以 xx

5.

12312312121221212122xx12123232



[(x)(x)](x)(x)2xx 而 xx3233322x3x32

(xx1)(x2x21)

322(xx1)[(xx1)23]3(323)18

∴(xx)20。

又 xx32130 得 x0,∴xx3232320。

所以 xx2025.

二、指数函数

1.指数函数定义:

一般地,函数 ya 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函

数定义域是 R.

x2.指数函数 ya 在底数 a1 及 0a1 这两种情况下的图象

和性质:

xa1 0a1 图象 性质 定义域:R 值域:(0,) 过点

(0,1),即 x0 时 y1 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

例 1.求下列函数的定义域、值域:y812x11xax1x y1

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y3 yx (a0,a1). 2a1 解:2x10 ∴x 令 t11 原函数的定义域是
{xxR,x}, 221 则 t0,tR 2x1t ∴y8(tR,t0)得 y0,y1, 所 以,原函数的值域是{yy0,y1}.
1 0 ∴x0 原函数的定义域是 0,。 x12 令 t1 (x0) 则 0t1, yt 在 0,1 是增函数 ∴0y1, 所以,原函数的值域是 0,1. 原函数的定义域 是 R, 令 tx 则 t0, 12xy3t 在,0 是增函数, ∴0y1。 所以,原函数的值域是 0,1. 原函数的定义域是 R。 ax1y1(a0,a1)得 axyx, a1y1y10, ∴1y1, ax0 ∴y1 所以,原函数的值域是 1,1. 说明:求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数 的值域。 ax1 例 2.当 a1 时,证明函数 yx 是奇函数。 a1 证明:a10 得,x0。 故函数定义域{xx0}关于原点对称。 x
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