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解读抽屉原理


解读“抽屉原理” 解读“抽屉原理”教材

解读“抽屉原理”教材

——对人教版六年级下册第五单元《数学广角》的剖析

湖北省仙桃市教育科学研究院 秦和平

当“抽屉原理”从少数精英学生学习的奥林匹克竞赛课堂走向全体学生学习的 大众课堂的时候,无疑对教师和学生都构成了前所未有的挑战。为此,颇有必有 对此展开学习和研讨。

一、抽屉原理简介

抽屉原理又称鸽巢原理, 它是组合数学的一个基本原理, 最先是由德国数学家狭 利克雷明确地提出来的,因此,也称为狭利克雷原理。

原理 1:多于 n 个的元素,按任一确定方式分成 n 个集合,则至少有一个集合中 含有至少二个元素。

原理 2:np+1(n、p∈N*)分成 n 个集合,则至少有一个集合中含有至少 p+1 个 元素。

原理 3:无穷多个元素分成 n 个集合,则至少有一个集合中含有无穷多个元素。

现行的小学课本中只编排了抽屉原理 1、2 的教学。

二、 运用抽屉原理解题的步骤

第一步:分析题意。分清什么是“东西”,什么是“抽屉”,也就是什么作“东西”,什 么可作“抽屉”。

第二步:制造抽屉。这个是关键的一步,这一步就是如何设计抽屉。根据题目条 件和结论,结合有关的数学知识,抓住最基本的数量关系,设计和确定解决问题 所需的抽屉及其个数,为使用抽屉铺平道路。

第三步:运用原理。观察题设条件,结合第二步,恰当应用各个原则或综合运用 几个原则,以求问题之解决。

三、理解抽屉原理要注意几点

(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系,要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数 多,至于多多少,这倒无妨。

(2)“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法,不规定每个抽屉中

都要放物品,即有些抽屉可以是空的,也不限制每个抽屉放物品的个数。

(3)抽屉原理只能用来解决存在性问题,“至少有一个”的意思就是存在,满 足要求的抽屉可能有多个,但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。

(4)将 a 件物品放入 n 个抽屉中,如果 a÷n= m……b,其中 b 是自然数,那么 由抽屉原理 2 就可得到,至少有一个抽屉中的物品数不少于(m+1)件。

四、抽屉原理的教材分析

“数学广角”是人教版六年级下册第五单元的内容。在数学问题中,有一类与 “存在性”有关的问题,如任意 367 名学生中,一定存在两名学生,他们在同一 天过生日。在这类问题中,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了, 并不需要指出是哪个物体(或哪个人),也不需要说明通过什么方式把这个存在 的物体(或人)找出来。这类问题依据的理论,我们称之为“抽屉原理”。本节 课教材借助把 4 枝铅笔放进 3 个文具盒中的操作情境, 介绍了一类较简单的“抽 屉原理”,即把 m 个物体任意分放进 n 个空抽屉里(m>n,n 是非 0 自然数), 那么一定有一个抽屉中放进了至少 2 个物体。 关于这类问题, 学生在现实生活中 已积累了一定的感性经验。 教学时可以充分利用学生的生活经验, 放手让学生自 主思考,先采用自己的方法进行“证明”,然后再进行交流,在交流中引导学生 对“枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法进行比较,使学生逐步学会运用 一般性的数学方法来思考问题,发展学生的抽象思维能力。

五、抽屉原理的教学目标

1. 了解原理。通过操作、观察、比较、推理等活动,让学生经历“抽屉原理”的探

究过程,并逐步理解和掌握“抽屉原理”。

2、简单运用。会用“抽屉原理”解决生活中简单的实际问题,培养学生有根据、 有条理地进行思考和推理的能力。

3.学会建模。 使学生经历将具体问题“数学化”的过程, 培养学生的“模型”思想。

4、感受魅力。通过“抽屉原理”的灵活应用让学生感受到数学的魅力,并培养 学生对数学的学习兴趣。

六、抽屉原理的教材解读

(一)例 1 和做一做

例 1、把 4 枝铅笔放在 3 个文具盒里,不管怎么放,总有一个文具盒里至少放进 2 枝铅笔。

1、体验方法多样

(1)枚举法:(4、0、0),(3、1、0),(2、2、0),(2、1、1),

(2)假设法(用极端法做最坏的打算)

假设每个文具盒只放 1 枝铅笔,最多放 3 只。剩下的 1 枝还要放进 1 个文具盒。 所以至少有 2 枝铅笔放进同一个文具盒。

(3)反证法

假设每个文具盒放进的铅笔枝数都少于 2 枝,那么最多只能放 3 枝铅笔,而把 4 枝铅笔放在 3 个文具盒里,所以假设不成立。因此,至少有 2 枝铅笔放进同一个 文具盒。

2、体验结果存在

不管是哪个物体存在,因何种方式存在,只要存在即可。

3、体验数量积累

从量变到质变。

把 4 枝铅笔放在 3 个文具盒里

把 5 枝铅笔放在 4 个文具盒里

把 6 枝铅笔放在 5 个文具盒里

把 10 枝铅笔放在 9 个文具盒里

把 100 枝铅笔放在 99 个文具盒里

把 8 枝铅笔放在 3 个文具盒里

……

4、体验方法优劣

枚举法受到数量多少的局限

假设法能够解决一般的问题

反证法不利于小学生的接受

做一做: 只鸽子飞回 5 个鸽舍, 6 至少有 2 只鸽子要飞进同一个鸽舍里。 为什么?

解答:假设每个鸽舍只飞进 1 只鸽子,最飞进 5 只鸽子。剩下的 1 只鸽子还要飞

进同一个鸽舍里。所以至少有 2 只鸽子要飞进同一个鸽舍里。

5、体验语言严谨

要让学生逐步学会用简练、严谨的数学语言表达数学思维的过程和结果。

(二)例 2 和做一做

例 2、把 5 本书放进 2 个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉至少放进 3 本书。 7 本呢?9 本呢?

1、关注学习过程:操作、观察、比较、合情推理、归纳。

2、注重方法多样:

枚举法:(5,0),(4,1),(3,2)三种情况,可知在任何一种结果中,总 有一个数不小于 3,故总有一个抽屉里至少有 3 本书;

假设法:先把每个抽屉各放 1 本,还剩下 3 本,再把每个抽屉各放 1 本,还剩 1 本,这样不管怎么放,总有一个抽屉至少放进 3 本书;也可能有学生说把 5 本书 放进 2 个抽屉里,如果每个抽屉里先放 2 本,还剩 1 本,这本书不管放到哪个抽 屉里,总有一个抽屉里至少有 3 本书。

3、借助算式思考。(注意用“商+1”就可以了,不是“商+余数”)

4、学会归纳总结。

5、沟通例 1 例 2。

做一做: 只鸽子飞回 3 个鸽舍, 8 至少有 3 只鸽子要飞进同一个鸽舍里。 为什么?

解答:假设每个鸽舍只飞进 2 只鸽子,最飞进 6 只鸽子。剩下的 2 只鸽子还要飞 进鸽舍里。所以至少有 3 只鸽子要飞进同一个鸽舍里。

(三)例 3 和做一做

例 3、盒子里同样大小的红球和篮球各 4 个,要想摸出的球一定有同色的,最少 要摸几个球?

1、寻找与抽屉原理的本质联系

怎样把这一问题与抽屉原理挂钩?即是要把多少个物体放进多少个抽屉里?

要摸出多少个球就是物体的个数,即要所求。

两种颜色就是两个抽屉。

结果是摸出的球数比颜色数多 1,即 3 个球。

2、注意突出对“至少”的理解

( )÷2=( )……1

3、注重抽屉原理的变式训练

做一做:

1、向东小学六年级共有 370 名学生,其中六(2)班有 49 名学生。六年级里一 定有两人的生日是同一天。六(2)班中至少有 5 人是一个月出生的。他们说得 对吗?为什么?

解答:(1)把 370 个物体放进 366 个抽屉

370÷366=1……4

(2) 把 49 个物体放进 12 个抽屉

49÷12=4……1

2、把红、黄、蓝、白四种颜色的球各 10 个放到一个袋子里。至少取多少个球, 可以保证取道两个颜色相同的球?

解答:要摸出多少个球就是物体的个数,即要所求。

4 种颜色就是 4 个抽屉。

结果是摸出的球数比颜色数多 1,即 5 个球。

(四)练习十二习题解答

1、从扑克牌中取出两张王牌,在剩下的 52 张中任意抽出 5 张,至少有 2 张氏同 花色的。试一试,并说明理由。

解答:要摸出多少个球就是物体的个数,即要所求。

4 种颜色就是 4 个抽屉。

结果是摸出的同花色的牌数比颜色数多 1,即 5 张牌。

2、张叔叔参加飞镖比赛,投了 5 镖,成绩是 41 环。张叔叔至少有 1 镖不低于 9 环。为什么?

解答:41÷5=8……1

3、任意 3 个不同的自然数,其中一定有 2 个数的和是 2 的倍数。能说明其中的 道理吗?

解答:物体数:3 个(奇、奇),(奇、偶),(偶、偶),其和为 2 偶 1 奇。

抽屉数:2 个(和的两种情况:奇数和偶数)

4、给一个正方体的 6 个面分别涂上蓝、黄两种颜色。不论怎么涂至少有 3 个面 涂的颜色相同。为什么?

解答:反证法说明。

5、把波、黄、蓝三种颜色的小棒各 10 根混在一起。如果让你闭上眼睛,每次最 少拿出几根才能保证一定有两根向同色的小棒?保证有 2 对同色的小棒呢?

解答:(同上面的做一做,答案略)

6、给下面每个格子涂上红色或蓝色。观察每一列,你有什么发现?如果只涂 2 行的话,结论有什么变化?

解答:

(1)物体数:9 个(1 列看作 1 个物体)

抽屉数:8 个(红,红,红),(红,红,蓝),(红,蓝,红),(蓝,红, 红),(红,蓝,蓝),(蓝,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,蓝)

9÷8=1……1

结论:至少有两列涂法相同。

(2)物体数:9 个(1 列看作 1 个物体)

抽屉数:4 个(红,红),(红,蓝),(蓝,红),(蓝,蓝,)

9÷4=2……1

结论:至少有 3 列涂法相同。

7、任意给出 5 个非零的自然数。能找到 3 个数,让这 3 个数的和是 3 的倍数。 说出其中的奥秘。

解答:所有的整数按照除以 3 的余数都可以分在三个集合里: {3k+1},{3k+2},{3k},其中 k 为整数 。

对于任意取的 5 个整数, 如果它们都分布在同一个集合里的话, 那么显然任取三 个数的和都能被 3 整除。

如果它们没有都分在一个集合里, 而恰好只分在两个集合里的话, 那么 5 个元素 分布到两个集合中, 至少有一个集合含有至少 3 个元素, 那么可以发现这三个元 素的和是可以被 3 整除的。

如果这 5 个整数分布在 3 个集合每个集合都有元素的话, 那么显然, 从每个集合

中取出一个元素,它们的和就可以被 3 整除。

8、思考题:把 1-8 这 8 个数任意围成一个圆圈。在这个圈上,一定有 3 个相邻 数的和大于 13。你知道其中的奥秘吗?

解答:设 a1,a2,a3,…,a7,a8 分别代表不超过 8 的自然数,它们围成一个 圈,三个相邻的数的组成共 8 组.现把它们看作 8 个抽屉,每个抽屉的物体数的 和是:

3×(1+2+…+7+8)=108

108÷8=13……4

根据原则 2,至少有三个相邻的数的和不小于 13。

人教论坛问题专栏 死不了的臭象


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