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2014年人教A版选修2-1课件 第三章小结(空间向量与立体几何)_图文

本章内容 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法 第三章 小结 本章小结 知识要点 例题选讲 复习参考题 自我检测题 1. 空间向量及其加减运算 在空间具有大小和方向的量叫空间向量. 模、零向量、相等向量、相反向量、单 位向量等的意义与平面向量相同. 空间任意两个向量都可以平移到同一个 平面内, 成为同一平面内的两个向量. 空间向量的加减运算与平面向量相同. 返回目录 2. 向量的共线与共面 (1) a?lb (b≠0), a 与 b共线. (2) AB ? t AC (t ? R), 或 OA ? l OB ? ?OC (l ? ? ? 1), A, B, C 三点共线. 2. 向量的共线与共面 (3) p?xa?yb (a, b不共线), 向量 p, a, b 共面. (4) AB ? x AC ? y AD, 或 OA ? xOB ? yOC ? zOD ( x ? y ? z ? 1), A、B、C、D 四点共面. 3. 空间向量的数量积 a· b?|a| |b| cos?a, b?. 0≤?a, b?≤p. a· a ? |a| |a| cos0 ? |a|2. (la)· b? l (a· b); a· b? b· a (交换律); a· (b?c)?a· b? a · c (分配律). a⊥ b ? a· b?0 (a, b 非零). 4. 空间向量坐标运算 a?(a1, a2, a3), b?(b1, b2, b3), a?b?(a1?b1, a2?b2, a3?b3). la?(la1, la2, la3). A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3), AB ? (b1-a1, b2-a2, b3-a3). | AB |? (b1 - a1 )2 ? (b2 - a2 )2 ? (b3 - a3 )2 . 4. 空间向量坐标运算 a?(a1, a2, a3), b?(b1, b2, b3), a· b?a1b1?a2b2?a3b3. a//b ? a?lb, ? a1?lb1, a2?lb2, a3?lb3. a⊥ b ? a· b?0 ? a1b1?a2b2?a3b3?0. |a|2 ? a2 ? a12?a22?a32. a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ? b ? 2 2 2 2 2 2. cos?a, b? ? |a | |b| a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3 5. 向量确定点、线、面关系 (1) 点 P?l, a 是 l 的方向向量, 若有 ? PA ? ta (t 为实数) 则点 A 在直线 l 上. (2) 点O?平面a, a, b不共线, a//a, b//a, 若有 ? ? OP ? xa ? yb ( x, y为实数 ) 则点 P 在平面 a 内, 直线 OP 在平面 a 内. 6. 向量确定平行与垂直 设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b, 平面 a, b 的法向量分别为 u, v, 则 l //m ? a//b ? a?kb, (k?R); l ⊥m ? a⊥b ? a· b? 0 ; l //a ? a⊥u ? a· u? 0 ; l ⊥a ? a//u ? a?ku, (k?R); a //b ? u//v ? u?kv, (k?R); a ⊥b ? u⊥v ? u· v? 0 . 7. 平行问题 (1) 线线平行: AB//CD ? AB、 CD共线 ? AB ? l CD. (2) 线面平行: ① MN//平面ABC ? MN ? l1 AB ? l2 AC . ? 或 MN ? n ? 0, ( n 为平面ABC的法向量). (3) 面面平行: 两平面的法向量平行. 8. 垂直问题 (1) 线线垂直 AB⊥CD ? AB ? CD ? 0. (2) 线面垂直 ? PQ ? AB ? 0 PQ⊥平面ABC, ① ? ; ? PQ ? AC ? 0 ? ② PQ ? ln, ( n 为平面ABC的法向量). (3) 面面垂直 两平面的法向量垂直. 9. 空间的距离 (1) 两点间距离 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), | AB |? ( x1 - x2 )2 ? ( y1 - y2 )2 ? ( z1 - z2 )2 . (2) 点到平面的距离 ? | PA? n| | PQ |? ? , | n| A ? ( A?平面ABC , n为法向量 ). P C Q ? n B 10. 空间的角 (1) 两异面直线所成的角 已知异面直线AB、CD, 夹角为?, | AB?CD| cos? ? . | AB ||CD| ? n P (2) 直线与平面所成的角 a ? | n ? PA| (? 为非钝角). sin? ? ? | n || PA| ? A 10. 空间的角 (3) 二面角 ? ? | m ? n| cos? ? ? ? , (? 为非钝角) | m || n| ? ? | m ? n| cos? ? - ? ? , (? 为钝角) | m || n| a ? m ? ? n b 11. 平面法向量的求法 已知 AB ? ( x1, y1, z1 ), AC ? ( x2 , y2 , z2 ). (1) 设法向量为 n ? (x, y, z); (2) 由 AB· n ? 0, AC· n?0得 ? x1 x ? y1 y ? z1z ? 0 ? x x ? y y ? z z ? 0; 2 2 ? 2 (3) 消去 一个未知数, 得一个二元一次方程; (4) 取其中一组较简单的解即是一个法向量. 返回目录 例1. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB?4, BC?3, AD?5, ∠DAB?∠ABC?90?, E

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