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圆锥曲线公式结论


五三学社

一、椭圆
2 1.椭圆 2 2 2.椭圆 2

+ +

2 2 2 2

x = 1(a>b>0)的参数方程是 ? ?

? a cos ? . ?y ? b sin ?

= 1(a>b>0)的焦半径公式

(1)|PF1|?a+ex0,|PF2|=a-ex0. (2)|P1F2|?
2 (1? )

,|P2F2|=

2

(1+ )

,|P1P2|=

2 2 (1? 2 2 )

3.焦点三角形:
2 P 为椭圆 2

+

2 2

= 1(a>b>0)上一点,三角形的面积 S=b2tan2 .



5.椭圆的内外部
2 (1)点 P(x0,y0)在椭圆 2

+

2 2

= 1(a>b>0)的内部

2 2

+

2 2

< 1(a>b>

0);
2 (2)点 P(x0,y0)在椭圆 2

+

2 2

= 1(a>b>0)的外部

2 2

+

2 2

= 1(a>b>

0);
6.椭圆的切线方程
2 (1)椭圆 2 0 2

+

2 2

= 1(a>b>0)上一点 P(x0,y0)处的切线方程是

+

0 2

= 1(a>b>0) = 1(a>b>0)外一点 P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方 1(a>b>0)
1/4

2 2 (2)过椭圆 2 + 2 0 0 程是 2 + 2 =

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2 (3)椭圆 2

+

2 2

= 1(a>b>0)与直线 Ax+By+C=0 相切的条件是 A a +B b =C
2 2 2 2

2

二、双曲线 1.双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>0)的焦半径公式 左半支:|PF1|=-ex0-a,|PF2|=-ex0+a(左减右加)
2 2

右半支:|PF1|=-ex0+a,|PF2|=-ex0-a(左加右减)

2.双曲线的内外部 (1)点 P(x0,y0)在双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>0)的内部 2 ? 2
2 2
2 2

2

2

<1
2

(2)点 P(x0,y0)在双曲线 2 ? 2 = 0(a>0,b>0)的外部 2 ? 2 > 1
3.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为 2 ? 2 = 1(a>0,b>0),渐近线方程为 y=± (2)若渐近线方程为 y=±

2 2

2



,双曲线可设为

2 2

?

2 2

= (a>0,b>0, >0)
2 2

(3)若双曲线与

2 2

?

2 2

= 1(a>0,b>0)有公共渐近线,可设为

?

2 2

=

(a>0,b>0, >0), > 0则焦点在 x 轴上, < 0则焦点在 y 轴上).
4.双曲线的切线方程 (1)双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>0)上一点 P(x0,y0)处的切线方程是 02 ? 0 = 2
2 2 x y y

1

2/4

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(2)过双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>0)外一点 P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方
x y y 程是 02 ? 0 = 1. 2

(3)双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>0)与直线 Ax+By+C=0 相切的条件是 A2a2+B2b2=C
2

2

2

5.焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度 b. 6.焦三角形的面积 S=b2cot2 .


抛物线
1. 抛物线 y2=2px(p>0)焦点是(2 , 0),焦点为 F(2 , 0),准线 l 的方程是 x=-2 . (下面所讲结论都是在这种抛物线中成立) 2.焦三角形的面积 S= 2.焦半径公式
(1)P(x0,y0)为抛物线上一点,焦半径|PF|=x0+ 2
2 2


,其中θ 为焦点弦与 X 轴的夹角.

(2)焦点弦与 X 轴的夹角是θ ,则|P1F|=

1+

,|P2F|=

1?

,|P1P2|=

2 2

3.AB 为抛物线过焦点的弦,AB 的中点 P(x0,y0),
则|AB|=(x1+ )+(x2+ )=x1+x2+p=2x0+p.
2 2

4.过焦点垂直于 x 轴的焦点弦|AB|=2p.
5.P(x0,y0)是抛物线上的一点,过点 P 的切线交准线与 M,做 PN⊥l,则有∠PCN=

90°,|MN|=|MC|.
3/4

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6.焦点弦两端交于准线上一点,且两条切线相互垂直; 从准线上引出的抛物线上的两条切线相互垂直,切点弦经过焦点。 7.过焦点的直线方程为 y=k(x- ),两交点为 P1 和 P2,则有 x1x2=
2 2 4

,

y1y2=-p2. ? 圆锥曲线统一焦半径公式ρ = ln2=0.7 ln3=1.1


1?

,其中 p 为焦准距.

ln4=1.39 ln5=1.6 lg2=0.3 lg5=0.7 π 2=9.8596

e2=7.39 e3=20.1 e4=54.6

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