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wwwqq5000net:2019-2020年高中数学苏教版必修4教案:第二章 平面向量 第9课时 2-4向量的数量积(2)

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2019-2020 年高中数学苏教版必修 4 教案:第二章 平面向量 第 9 课时 2-4 向量的数量积(2) 【教学目标】 一、知识与技能 (1)掌握平面向量数量积运算规律; (2)能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; (3)掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题. 二、过程与方法 让学生充分经历,体验数量积的运算律以及解题的规律 三、情感、态度与价值观 通过师生互动,自主探究,交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流 【教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 【教学过程】 一、复习:
(1)两个非零向量夹角的概念;: (2)平面向量数量积(内积)的定义; (3)“投影”的概念; (4)向量的数量积的几何意义; (5)两个向量的数量积的性质。 二、新课讲解:
1.交换律: a ?b ? b ? a
证:设 a, b 夹角为? ,则 a ?b ?| a | ? | b | ?cos? , b ? a ?| b | ? | a | ?cos?
∴a?b ? b?a .
2. (?a) ?b ? ?(a ?b) ? a ? (?b)
证:若 ? ? 0 , (?a) ?b ? ? | a || b | cos? ,
?(a ?b) ? ? | a || b | cos? , a ? (?b) ? ? | a || b | cos? ,
若 ? ? 0 , (?a) ?b ?| ?a || b | cos(? ?? ) ? ?? | a || b | (? cos? ) ? ? | a || b | cos? ,
?(a ?b) ? ? | a || b | cos? ,

a ?(?b) ?| a || ?b | cos(? ?? ) ? ?? | a || b | (? cos? ) ? ? | a || b | cos? .

3. (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c .

A?

2b 在平面内取一点 O ,作 OA ? a , AB ? b , OC ? c , a

∵ a ? b (即 OB )在 c 方向上的投影等于 a, b

O

?1 ? A

c

1
在 c 方向上的投影和,

B
BC
1

即:| a ? b | cos? ?| a | cos?1? | b | cos?2

∴| c || a ? b | cos? ?| c || a | cos?1? | c || b | cos?2 ,

∴ c ? (a ? b) ? c ? a ? c ?b 即: (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c .

三、例题分析:

?

?

?

?

例 1、已知 a 、b 都是非零向量,且 a ? 3b 与 7a ? 5b 垂直,a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与

b 的夹角.

例 2、 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.

例 3、已知 a , b 是两个非零向量,且| a | =| b |? | a ? b |,求 b 与 a ? b 的夹角

例 4 、 四 边 形 A B C 中D ,

a?

?

? b

?

? b

?

c?

?

c?

?

? d

?

? d

?

a?



AB ? a?



? BC ? b



CD ? c?



? DA ? d

,且

试问四边形 ABCD是什么图形?

例 5、如图, AD, BE,CF 是 ?ABC 的三条高,求证: AD, BE,CF 相交于一点。

A

E

F

H

B

D

C

例 6、已知 a 与 b 的夹角为 60? ,且 | a |?| b | ,是否存在满足条件的 a , b 使 | a ? b |? 2 | a ? b | ?请说明理由。

四、课时小结:1.向量数量积的概念; 2.向量数量积的几何意义;

3.向量数量积的性质;

4、平面向量数量积的运算律

五、反馈练习:

1.已知 |

? a

|?

1

,

|

? b

|?

2

,且

(a?

?

? b

)



a?

垂直,则

a?

?

? b

的夹角是



2.已知

|

? a

|?

2

,

|

? b

|?

1

,

a



b

之间的夹角为 ?

,那么向量

? m

?

? a

?

4b

的模为



3

3.已知向量 a 、 b 的夹角为 ? ,| a |=2,| b |=1,则| a + b |·| a - b |= 3

4.已知| a |=1,| b |= 2 ,

(1)若 a ∥ b ,求 a · b ;

(2)若 a 、 b 的夹角为 600 ,求| a + b |;

(3)若 a - b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角.

5.设

m



n

是两个单位向量,其夹角为

600

,求向量

a

?

? 2m

?

? n



b

?

? 2n

?

? 3m

的夹角.

6.对于两个非零向量 a 、 b ,求使| a +t b |最小时的 t 值,并求此时 b 与 a +t b 的夹角.


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