当前位置:首页 >> 数学 >>

平面向量的数量积_图文

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

第六章 第36课时

平面向量

平面向量的数量积

第1页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

考 情 分 析
考试要求 平面向量的数量积,C 级要求;平面向量的平行与垂直,B 级要求. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面向量的数量积与向量投影的 关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积 表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

第2页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积
核心考点 向量数量积 向量数量积 向量数量积 向量数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

高考填空题 2014年第12题 2015年第14题 2016年第13题 2017年第12题

考查内容 几何图形中向量数量积的计算 向量数量积与三角函数综合 几何图形中向量数量积的计算 平面向量夹角及平面向量基本定 理应用

难度 中等 难题 较难 中等

解题方法

分析解读 向量数量积是江 苏高考考查重点 之一,每年必考

坐标法
直接法 线性转化

。主要考查数量
积运算、求向量 夹角、模。难度

公式法

2018年第12题

向量数量积

平面向量数量积计算与圆的方程
综合应用

中等

公式法
解题方法

稍大的与三角函 数、圆等综合。

高考解答题

核心考点

考查内容

难度

整体难度中等偏 上。

2013年第15题

向量数量积

平面向量数量积公式及坐标运算
与三角函数综合

简单

公式法
公式法
课堂活动

2016年第16题

向量数量积

平面向量数量积公式及坐标运算 与三角函数综合

简单

第3页

考情分析

课前准备

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

本节主要学习内容
1、平面向量数量积的基本运算。 2、两向量夹角问题。

第4页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

课 前 准 备
1. 向量数量积的定义 (1) 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为θ,我们把数量 |a||b|cosθ b 的数量积(或内积),记作 a· b,并规定零向量与任一向量的数量积为 0. (2) 向量 a 与 b 夹角的取值范围是 叫做 a 与

?0,? ?



第5页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

1、 AB与BC的夹角为_____?

2、找向量夹角方法?

第6页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

2. 向量数量积的性质 设 a,b 都是非零向量,e 是单位向量,θ 是 a 与 b 的夹角,则 (1) e· a=a· e. (2) a⊥b? a· b= 0 . (3) 当 a 与 b 同向时,a· b=|a|· |b|; 当 a 与 b 反向时,a· b=-|a|· |b|; 特殊的,a· a=|a|2 或|a|= a· a.

重要公式

为什么?

第7页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

问题1 当? 为锐角时,能得到什么结论?

a· b (4) cosθ= . |a|· |b| (5) |a· b|≤|a|· |b|.

问题2 当? 为钝角时,能得到什么结论?
问题3 如果 a ? b ? 0 能否推出 ? 为锐角? 如果 a ? b ? 0能否推出 ? 为钝角? 为什么?

第8页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

3. 向量数量积的运算律 (1) 交换律:a· b=b· a. (2) 分配律:(a+b)· c=a· c+b· c. (3) 数乘结合律:(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb). 问题:为什么向量的数量积不满足结合律,即:(a· b)· c≠a· (b· c)?

第9页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

4. 平面向量数量积的坐标表示 (1)若非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b= x1x2+y1y2 .故 a⊥b ? x1x2+y1y2=0 .

(2)设 a=(x,y),则|a|=

x2+y2 .

a· b ,(3) 若 向 量 a = (x1 , y1) 与 向 量 b = (x2 , y2) 的 夹 角 为 θ , 则 有 cosθ = |a||b| = x1x2+y1y2 2 2 2 2. x1+y1· x2+y2

第10页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

1.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30° ,|a|=2,|b|= 3,则向量 a 和向量 b 的数量 积 a· b=________.

3 答案:3 解析:a· b=2× 3× 2 =3.
2.已知向量 a=(2x-1,-1),b=(2,x+1),若 a⊥b,则 x=________. 答案:1 解析:由 a· b=2(2x-1) -(x+1)=0,得 x=1.

第11页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

3.已知向量 a,b 满足 a· b=0,|a|=1,|b|=2, 则|2a-b|=________.

答案:2 2

解析:|2a-b|= ?2a-b?2= 4a2-4a· b+b2= 8=2 2.
4.已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,则 a 与 b 的夹角为________. π 答案:3 解析:根据向量数量积的意义,a· b=|a|· |b|· cosθ=4cosθ=2 及 0≤θ≤π,
π 可得 θ=3.
第12页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

5. 已知向量 a,b 满足|a|=|b|=2 且(a+2b)· (a-b)=-2,则向量 a 与 b 的夹角为 ________.
π 答案:3
2 2

解析:设 a 与 b 的夹角为 θ.依题意得

1 a -2b +a· b=-2,4-8+4cosθ=-2,cosθ=2. π π 又 θ∈[0,π],因此 θ=3,即向量 a 与 b 的夹角为3.

第13页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

课 堂 活 动
目标 1 平面向量数量积的基本运算

已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为 θ=150° ,求(1)a· b;(2)(a-b)2.

解析:a· b=|a||b|cos150° =-6 3. (a-b)2=|a|2-2a· b+|b|2=25+12 3.

第14页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

变式 本例中,若 a 与 b 的夹角为 120° ,求: (1)a· b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)· (a+3b). ? 1? 解析:(1)a· b=|a||b|cos120° =3×4×?-2?=-6. ? ?
(2)a2-b2=|a|2-|b|2=32-42=-7. (3)(2a-b)· (a+3b)=2a2+5a· b-3b2 =2|a|2+5|a||b|· cos 120° -3|b|2 =2×3
2

? 1? +5×3×4×?-2?-3×42=-60. ? ?

第15页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

目标 2 平面向量数量积的性质

已知|a|= 2,|b|=1,a 与 b 夹角为 45° ,求使 a+λb 与λa+b 相互垂直时, 求λ值. 解析:因为 a+λb 与 λa+b 相互垂直,
所以(a+λb)· (λa+b)=0,即 λa2+λb2+(1+λ2)a· b=0, 所以,2λ+λ+(1+λ2)=0,所以 λ2+3λ+1=0, -3- 5 -3+ 5 所以,λ= 或 λ= 2 2
第16页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

变式 1 本题中,当 a+λb 与λa+b 共线时,求|a+λb|.
解析:当 a+λb 与λa+b 共线时, 所以存在 k,使 a+λb=k(λa+b), kλ=1, 因为,a,b 不共线,所以, λ=k, 所以,k=λ=± 1,

当λ=1 时, a ? ? b = a2+2a· b+b2= 5; 当λ=-1 时, a ? ? b = a2-2a· b+b2=1.
第17页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

变式 2 求使 a+λb 与λa+b 的夹角为钝角时,λ的取值范围.
a· b 解析:由条件知,cos45° = ,所以,a· b=1, |a|· |b| 设 a+λb 与λa+b 的夹角为θ,则θ为钝角, ?a+λb?· ?λa+b? 所以,cosθ= <0, |a+λb|· |λa+b| 所以,(a+λb)(λa+b)<0.
第18页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

λa2+λb2+(1+λ2)a· b<0, 所以,2λ+λ+(1+λ2)<0,所以λ2+3λ+1<0, -3- 5 -3+ 5 所以, <λ< 2 2 若θ=180° 时,a+λb 与λa+b 共线且方向相反, 所以,存在 k<0,使 a+λb=k(λa+b), 因为,a,b 不共线,所以,kλ=1,λ=k,所以,k=λ=-1, -3- 5 -3+ 5 所以, <λ< 且λ≠-1. 2 2
第19页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

课堂小结: 1、平面向量数量积的基本运算。 题型:(1)已知向量求模 (2)已知向量求向量夹角 (3)向量坐标(垂直、平行)公式运用
2、两向量夹角问题。 题型:(1)已知夹角为定值,公式运用 (2)已知夹角为直角、钝角、锐角, 公式运用

第20页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业

第35课时

平面向量的数量积

原创与经典·大一轮整体设计 数学

课 后 作 业

第21页

考情分析

课前准备

课堂活动

课后作业