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大学统计学第七章练习题及答案


第 7章 练习题

参数估计

7.1 从一个标准差为 5 的总体中抽出一个样本量为 40 的样本,样本均值为 25。 (1) 样本均值的抽样标准差 ? x 等于多少? (2) 在 95%的置信水平下,边际误差是多少? 解:⑴已知 ? ? 5, n ? 40, x ? 25 样本均值的抽样标准差? x ?

?
n

?

5 40

?

10 ? 0.79 4

⑵已知 ? ? 5 , n ? 40 , x ? 25 , ? x ?

10 , 1 ? ? ? 95 % 4

? Z? 2 ? Z 0.025 ? 1.96
边际误差

E ? Z? 2

?
n

? 1.96 *

10 ? 1.55 4

7.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额,在为期 3 周的时间里选取 49 名顾客 组成了一个简单随机样本。 (1) 假定总体标准差为 15 元,求样本均值的抽样标准误差; (2) 在 95%的置信水平下,求边际误差; (3) 如果样本均值为 120 元,求总体均值 ? 的 95%的置信区间。

解. 已知. 根据查表得 z? / 2 =1.96 (1)标准误差:

?X ?

?
n

?

15 49

? 2.14

(2) .已知 z? / 2 =1.96 所以边际误差= z? / 2 *

s n

? 1.96*

15 49

=4.2

(3)置信区间: x ? Z ?
2

s n

? 120?

15 49

?1.96 ? ?115.8,124.2?
1

7.3 从一个总体中随 机抽取 n ? 100 的随机样本, 得到 x ? 104560 ,假定总体标准差

? ? 85414 ,构建总体均值 ? 的 95%的置信区间。
Z ? ? 1.96
2

Z? ?
2

?
n

? 1.96 *

85414 100

? 16741 .144

x ?Z ? .
2

?
n

? 104560? 16741 .144 ? 87818 .856

x ?Z ? .
2

?
n

? 104560? 16741 .144 ? 121301 .144

置信区间: (87818.856,121301.144)

7.4 从总体中抽取一个 n ? 100 的简单随机样本,得到 x ? 81 , s ? 12 。 (1) 构建 ? 的 90%的置信区间。 (2) 构建 ? 的 95%的置信区间。 (3) 构建 ? 的 99%的置信区间。 解;由题意知 n ? 100 , x ? 81 , s ? 12 . (1)置信水平为 1 ? ? ? 90 % ,则 Z ? ? 1.645 .
2

由公式 x ? z ? ?
2

s n

? 81 ? 1.645?

12 100

? 81 ? 1.974

即 81? 1.974 ? ?79.026 ,82.974?, 则 ?的90%的 置信区间为 79.026~82.974 (2)置信水平为 1 ? ? ? 95 % ,

z ? ? 1.96
2

由公式得 x ? z ? ?
2

s n

=81 ? 1.96 ?

12 ? 81 ? 2.352 100

即 81 ? 2.352 =(78.648,83.352) , 则 ? 的 95%的置信区间为 78.648~83.352 (3)置信水平为 1 ? ? ? 99 % ,则 Z ? ? 2.576.
2

2

由公式 x ? z ? ?
2

s n

= ? 81 ? 2.576?

12 100

? 81 ? 3.096

即 81 ? 3.1 则 ?的99%的 置信区间为

7.5 利用下面的信息,构建总体均值的置信区间。 (1) x ? 25 , ? ? 3.5 , n ? 60 ,置信水平为 95%。 (2) x ? 119 .6 , s ? 23.89 , n ? 75 ,置信水平为 98%。 (3) x ? 3.419 , s ? 0.974 , n ? 32 ,置信水平为 90%。 ⑴ X ? 25, ? ? 3.5, n ? 60, 置信水平为 95% 解: Z ? ? 1.96,
2

Z?
2

?
n

? 1.96 ?

3.5 60

? 0.89

置信下限: X ? Z ?
2

?
n

? 25 ? 0.89 ? 24.11

置信上限: X ? Z ?
2

?
n

? 25 ? 0.89 ? 25.89

? 置信区间为( 24.11 , 25.89 )

⑵ X ? 119.6, s ? 23.89 ,n ? 75 ,置信水平为 98%。 解: Z ? ? 2.33
2

Z?
2

s n

? 2.33?

23.89 75 s n s n

? 6.43

置信下限: X ? Z ?
2

? 119.6 ? 6.43 ? 113.17

置信上限: X ? Z ?
2

? 119.6 ? 6.43 ? 126.03

?置 信 区 间 为 113 (.17, 126.03 )
⑶x =3.419,s=0.974,n=32, 置信水平为 90%
3

根据 t=0.1,查 t 分布表可得 Z 0.05 (31 ) ? 1.645. Z ? / 2 ( 所以该总体的置信区间为

s n

) ? 0.283

x ? ?? / 2 (

s n

) =3.419 ? 0.283

即 3.419 ? 0.283=(3.136 ,3.702) 所以该总体的置信区间为 3.136~3.702.

7.6 利用下面的信息,构建总体均值 ? 的置信区间。 (1) 总体服从正态分布,且已知 ? ? 500 , n ? 15 , x ? 8900 ,置信水平为 95%。 (2) 总体不服从正态分布, 且已知 ? ? 500 ,n ? 35 ,x ? 8900 , 置信水平为 95%。 (3) 总体不服从正态分布, ? 未知, n ? 35 , x ? 8900 , s ? 500 ,置信水平为 90%。 (4) 总体不服从正态分布, ? 未知, n ? 35 , x ? 8900 , s ? 500 ,置信水平为 99%。 (1)解:已知 ? ? 500 , n ? 15 , x ? 8900 ,1- ? ? 95 %, z ? ? 1.96
2

x ? z?
2

?
n

? 8900? 1.96 ?

500 15

? (8647 ,9153 )

所以总体均值 ? 的置信区间为(8647,9153) (2)解:已知 ? ? 500 , n ? 35 , x ? 8900 ,1- ? ? 95 %, z ? ? 1.96
2

x ? z?
2

?
n

? 8900? 1.96 ?

500 35

? (8734 ,9066 )

所以总体均值 ? 的置信区间为(8734,9066) (3)解:已知 n ? 35 , x ? 8900 ,s=500, 由于总体方差未知,但为大样本, 可用样本方差来代替总体方差 ∵置信水平 1— ? =90% ∴ z ? ? 1.645
2

∴置信区间为 x ? z ?
2

s n

? 81? 1.645?

500 35

? (8761 ,9039 )

所以总体均值 ? 的置信区间为(8761,9039) (4)解:已知 n ? 35 , x ? 8900 , s ? 500 ,由于总体方差未知,但为大样 本,可用样本方差来代替总体方差
4

?置信水平 1—α =99% ∴ z ? ? 2.58
2

∴置信区间为 x ? z ?
2

s n

? 8900? 2.58?

500 35

? (8682 ,9118 )

所以总体均值 ? 的置信区间为(8682,9118)

7.7 某大学为了解学生每天上网的时间,在全校 7500 名学生中采取不重复抽样方法随机抽 取 36 人,调查他们每天上网的时间,得到的数据见 Book7.7(单位:h) 。求该校大学 生平均上网时间的置信区间,置信水平分别为 90%、95%和 99%。 解:已知: x ? 3.3167

s ? 1.6 0 9 3 n=36
2

1. 当置信水平为 90%时, z ? ? 1.645,

x ? z?
2

s

1.6093 ? 3.3167? 1.645 ? 3.3167? 0.4532 n 36

所以置信区间为(2.88,3.76) 2. 当置信水平为 95%时, z ? ? 1.96 ,
2

x ? z?
2

s n

? 3.3167? 1.96

1.6093 36

? 3.3167? 0.5445

所以置信区间为(2.80,3.84) 3. 当置信水平为 99%时, z ? ? 2.58 ,
2

x ? z?
2

s

1.6093 ? 3.3167? 2.58 ? 3.3167? 0.7305 n 36

所以置信区间为(2.63,4.01)

7.8 从一个正态总体中随机抽取样本量为 8 的样本, 各样本值见 Book7.8。 求总体均值 95% 的置信区间。 已知:总体服从正态分布,但 ? 未知,n=8 为小样本, ? ? 0.05 , t 0.05 (8 ? 1) ? 2.365
2

根据样本数据计算得: x ? 10, s ? 3.46

5

总体均值 ? 的 95%的置信区间为: x ? t ?
2

s n

? 10 ? 2.365?

3.46 8

? 10 ? 2.89 ,即(7.11,

12.89) 。

7.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离,抽取了由 16 个人组成的一个随机样 本,他们到单位的距离(单位:km)数据见 Book7.9。求职工上班从家里到单位平均 距离 95%的置信区间。 已知:总体服从正态分布,但 ? 未知,n=16 为小样本, ? =0.05, t 0.05 / 2 (16 ? 1) ? 2.131 根据样本数据计算可得: x ? 9.375 ,s=4.113 从家里到单位平均距离得 95%的置信区间为:

x ? t? / 2

s n

? 9.375? 2.131?

4.113 14

? 9.375? 2.191,

即(7.18,11.57) 。

7.10 从一批零件中随机抽取 36 个,测得其平均长度为 149.5cm,标准差为 1.93cm。 (1) 试确定该种零件平均长度 95%的置信区间。 (2) 在上面的估计中,你使用了统计中的哪一个重要定理?请简要解释这一定理。 解 : 已知 ? ? 103 , n=36, x =149.5, 置信 水平 为 1- ? =95% , 查标 准正 态 分布 表 得

?? / 2 =1.96.
根据公式得:

x ? ?? / 2

?
n

=149.5 ? 1.96 ?

103 36

即 149.5 ? 1.96 ?

103 36

=(148.9,150.1)

答:该零件平均长度 95%的置信区间为 148.9~150.1 (3) 在上面的估计中,你使用了统计中的哪一个重要定理?请简要解释这一定理。 答:中心极限定理论证。如果总体变量存在有限的平均数和方差,那么,不论这 个总体的分布如何, 随着样本容量的增加, 样本均值的分布便趋近正态分布。 在现实生活中, 一个随机变量服从正态分布未必很多, 但是多个随即变量和的分布趋于正态分布则是普遍存 在的。样本均值也是一种随机变量和的分布,因此在样本容量充分大的条件下,样本均值也 趋近正态分布,这位抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。

6

7.11 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装,每袋标准重量为 100g。现从某天生产的 一批产品中按重复抽样随机抽取 50 包进行检查, 测得每包重量 (单位: g) 见 Book7.11。 已知食品重量服从正态分布,要求: (1) 确定该种食品平均重量的 95%的置信区间。 (2) 如果规定食品重量低于 100g 属于不合格,确定该批食品合格率的 95%的置信区 间。 (1)已知:总体服从正态分布,但 ? 未知。n=50 为大样本。 ? =0.05, ? 0.05 / 2 =1.96 根据样本计算可知 ? =101.32 s=1.63 该种食品平均重量的 95%的置信区间为

? ? ?? / 2 s / n ? 101.32 ? 1.96*1.63/ 50 ? 101.32 ? 0.45
即(100.87,101.77) (2)由样本数据可知,样本合格率: p ? 45 / 50 ? 0.9 。该批食品合格率的 95%的置信区 间为:

p ? ?? / 2

p(1 ? p) 0.9(1 ? 0.9) =0.9 ? 1.96 =0.9 ? 0.08,即(0.82,0.98) n 50

答:该批食品合格率的 95%的置信区间为: (0.82,0.98)

7.12 假设总体服从正态分布,利用 Book7.12 的数据构建总体均值 ? 的 99%的置信区间。 根据样本数据计算的样本均值和标准差如下;

x =16.13

? =0.8706

E= Z ?

?
2

n

=2.58*

0.8706 =0.45 5

置信区间为 x ? E

所以置信区间为(15.68,16.58)

7.13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间, 为此随机抽取了 18 名员工,得到他们每周加班的时间数据见 Book7.13(单位:h) 。假定员工每周加班的 时间服从正态分布,估计网络公司员工平均每周加班时间的 90%的置信区间。 解:已知 x =13.56 E= ? ? * ?
2

? ? 7.80

? ? 0.1

n=18

n

置信区间=[ x - ? ?

2

?

n,

x + ?? ?
2

n]

7

所以置信区间=[13.56-1.645*(7.80/ 18 ), =[10.36, 16.76]

13.56+1.645*(7.80/ 18 )]

7.14 利用下面的样本数据构建总体比例? 的置信区间。 (1) n ? 44 , p ? 0.51,置信水平为 99%。 (2) n ? 300 , p ? 0.82 ,置信水平为 95%。 (3) n ? 1150 , p ? 0.48 ,置信水平为 90%。 (1) n ? 44 , p ? 0.51,置信水平为 99%。 解:由题意, 已知 n=44, 置信水平 a=99%, Z a / 2 =2.58

又检验统计量为:

P? Z

p(1 ? p) , 故代入数值计算得, n

P?Z

p(1 ? p) =(0.316,0.704) , 总体比例? 的置信区间为(0.316,0.704) n

(2) n ? 300 , p ? 0.82 ,置信水平为 95%。 解:由题意, 已知 n=300, 置信水平 a=95%, P? Z Z a / 2 =1.96

又检验统计量为:

p(1 ? p) , 故代入数值计算得, n

P?Z

p(1 ? p) =(0.777,0.863) , 总体比例? 的置信区间为(0.777,0.863) n

(3) n ? 1150 , p ? 0.48 ,置信水平为 90%。 解:由题意, 已知 n=1150, 置信水平 a=90%, Z a / 2 =1.645

又检验统计量为:

P? Z

p(1 ? p) , 故代入数值计算得, n

8

P?Z

p(1 ? p) =(0.456,0.504) , 总体比例? 的置信区间为(0.456,0.504) n

7.15 在一项家电市场调查中,随机抽取了 200 个居民户,调查他们是否拥有某一品牌的电 视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占 23%。求总体比例的置信区间,置信水平分别 为 90%和 95%。 解:由题意可知 n=200,p=0.23 (1)当置信水平为 1- ? =90%时,Z ? / 2 =1.645 所以 p ? z? / 2

p(1 ? p) 0.23? (1 ? 0.23) ? 0.23 ? 1.645 =0.23 ? 0.04895 n 200

即 0.23 ? 0.04895=(0.1811,0.2789) , (2)当置信水平为 1- ? =95%时,Z ? / 2 =1.96 所以 p ? z? / 2

p(1 ? p) 0.23? (1 ? 0.23) ? 0.23 ? 1.96 =0.23 ? 0.05832 n 200

即 0.23 ? 0.05832=(0.1717,0.28835) ; 答:在居民户中拥有该品牌电视机的家庭在置信水平为 90% 的置信区间为 (18.11%,27.89%) ,在置信水平为 95%的置信区间为(17.17%,28.835%)

7.16 一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额。他假设所有顾客月存 款额的标准差为 1000 元,要求估计误差在 200 元以内,应选取多大的样本?

解:已知

? ? 1000 ,E=1000, 1 ? ? ? 99% , z? / 2 ? 2.58
由公式 n ?

z 2? / 2 * ? 2 可知 n=(2.58*2.58*1000*1000)/(200*200)=167 E2

答:置信水平为 99%,应取 167 个样本。

7.17 要估计总体比例 ? ,计算下列个体所需的样本容量。 (1) E ? 0.02 , ? ? 0.40 ,置信水平为 96%。 (2) E ? 0.04 , ? 未知,置信水平为 95%。 (3) E ? 0.05 , ? ? 0.55 ,置信水平为 90%。
9

(1)解:已知 E ? 0.02 , ? ? 0.40, , ?? / 2 =2.05 由

n ? ?? / 2 ? (1 ? ? ) / ?2 得
2

n ? 2.052 ? 0.40(1 ? 0.4) ? 0.022 =2522
答:个体所需的样本容量为 2522。 (2)解:已知 E ? 0.04 , ?? / 2 =1.96 由

n ? ?? / 2 ? (1 ? ? ) / ?2 得
2

n ? 1.962 ? 0.5 2 ? 0.042 ? 601
答:个体所需的样本容量为 601。 (3)解:已知 ? ? 0.05 , ? ? 0.55 , ?? / 2 =1.645 由

n ? ?? / 2 ? (1 ? ? ) / ?2 得
2

n ? 1.6452 ? 0.55? 0.45 ? 0.052 =268
答:个体所需的样本容量为 268。

7.18 某居民小区共有居民 500 户,小区管理者准备采取一向新的供水设施,想了解居民是 否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了 50 户,其中有 32 户赞成,18 户反对。 (1) 求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间,置信水平为 95%。 (2) 如果小区管理者预计赞成的比例能达到 80%,应抽取多少户进行调查? (1)已知:n=50

Z ? ? 1.96
2

根据抽样结果计算的样本比例为 P=32/50=60% 根据(7.8)式得:

P?

P (1? P ) n

? 64% ? 1.96

64%(1? 64%) 50

即 64% ? 12.63% ? (51.37%,76.63%) 答:置信区间为(51.37%,76.63% )

(2)已知 ? ? 80 %

? ? 10 %

Z ? ? 1.96
2

10

Z 2? * ? (1 ? ? ) 1.962 * 0.8(1 ? 0.8) 2 则有: n ? ? ? 62 ?2 0.12
答:应抽取 62 户进行调查

7.19 根据下面的样本结果,计算总体标准差? 的 90%的置信区间。 (1) x ? 21 , s ? 2 , n ? 50 。 (2) x ? 1.3 , s ? 0.02 , n ? 15 。 (3) x ? 167 , s ? 31 , n ? 22 。 解:已知 1 ? ? ? 90 % , ? ? 10 %, 1) 查表知 ? ? ( n ? 1) ? 67 , ?
2 2 1?

?
2
2 2

? 0.05,1 ?

?
2

? 0.95

?

(n ? 1) ? 34

由公式

(n ? 1) s 2

?? 2
2

??2 ?

( n ? 1) s 2

?2?
1? 2

得 2)

(50 ? 1) * 2 2 (50 ? 1) * 2 2 ?? ? ,解得(1.72,2.40) 67 34
查表知 ? ? ( n ? 1) ? 23 .6848 , ?
2 2 2 1?

?
2

( n ? 1) ? 6.57063

由公式

(n ? 1) s 2

?? 2
2

??2 ?

( n ? 1) s 2

?2?
1? 2

得 3)

(15 ? 1) * 0.022 (15 ? 1) * 0.022 ?? ? ,解得(0.015,0.029) 23.6848 6.57063
查表知 ? ? ( n ? 1) ? 32 .6705 , ?
2 2 2 1?

?
2

(n ? 1) ? 11 .5913

由公式

(n ? 1) s 2

?? 2
2

??2 ?

( n ? 1) s 2

?2?
1? 2



(22 ? 1) * 312 (22 ? 1) * 312 ?? ? ,解得(24.85,41.73) 32.6705 11.5913

7.20 顾客到银行办理业务时往往需要等待一些时间,而等待时间的长短与许多因素有关,
11

比如,银行的业务员办理业务的速度,顾客等待排队的方式等等。为此,某银行准备采 取两种排队方式进行试验, 第一种排队方式是所有顾客都进入一个等待队列; 第二种排 队方式是: 顾客在三个业务窗口处列队三排等待。 为比较哪种排队方式使顾客等待的时 间更短,银行各随机抽取了 10 名顾客,他们在办理业务时所等待的时间(单位:min) 见 Book7.20。 (1) 构建第一种排队方式等待时间标准差的 95%的置信区间。 (2) 构建第二种排队方式等待时间标准差的 95%的置信区间。 (3) 根据(1)和(2)的结果,你认为哪种排队方式更好? 7.21 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本,它们的均值和标准差如下表: 来自总体 1 的样本 来自总体 2 的样本

n1 ? 14 x1 ? 53.2
s12 ? 96.8
(1) 求 ?1 ? ? 2 的 90%的置信区间。 (2) 求 ?1 ? ? 2 的 95%的置信区间。 (3) 求 ?1 ? ? 2 的 99%的置信区间。

n2 ? 7 x2 ? 43.4
2 s2 ? 102.0

7.22 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本,它们的均值和标准差如下表: 来自总体 1 的样本 来自总体 2 的样本

x1 ? 25
s12 ? 16

x2 ? 23
2 s2 ? 20

(1) 设 n1 ? n2 ? 100,求 ?1 ? ? 2 95%的置信区间。
2 (2) 设 n1 ? n2 ? 10 , ? 12 ? ? 2 ,求 ?1 ? ? 2 的 95%的置信区间。 2 (3) 设 n1 ? n2 ? 10 , ? 12 ? ? 2 ,求 ?1 ? ? 2 的 95%的置信区间。 2 2 (4) 设 n1 ? 10, n2 ? 20 , ? 1 ? ? 2 ,求 ?1 ? ? 2 的 95%的置信区间。 2 2 (5) 设 n1 ? 10, n2 ? 20 , ? 1 ? ? 2 ,求 ?1 ? ? 2 的 95%的置信区间。

7.23 Book7.23 是由 4 对观察值组成的随机样本。 (1) 计算 A 与 B 各对观察值之差,再利用得出的差值计算 d 和 sd 。

12

(2) 设 ?1 和 ? 2 分别为总体 A 和总体 B 的均值, 构造 ? d ? ?1 ? ? 2 的 95%的置信区 间。 7.24 一家人才测评机构对随机抽取的 10 名小企业的经理人用两种方法进行自信心测试, 得 到的自信心测试分数见 Book7.24。 构建两种方法平均自信心得分之差 ? d ? ?1 ? ? 2 的 95%的置信区间。 7.25 从两个总体中各抽取一个 n1 ? n2 ? 250的独立随机样本,来自总体 1 的样本比例为

p1 ? 40% ,来自总体 2 的样本比例为 p2 ? 30% 。
(1) 构造 ? 1 ? ? 2 的 90%的置信区间。 (2) 构造 ? 1 ? ? 2 的 95%的置信区间。 7.26 生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。当方差较大时,需要对工序进行改进以 减小方差。两部机器生产的袋茶重量(单位:g)的数据见 Book7.26。构造两个总体
2 方差比 ? 1 2 的 95%的置信区间。 ?2

7.27 根据以往的生产数据,某种产品的废品率为 2%。如果要求 95%的置信区间,若要求 边际误差不超过 4%,应抽取多大的样本? 解:已知 P=2% E=4% 当置信区间 1- ? 为 95%时

?? =
2

?? p(1 ? p) n

?2 ? ? p (1 ? p )
n=
2

?2p

1- ? =0.95

? ? = ? 0.025 =1.96
2

?2 ? ? p (1 ? p )
N=
2

?2p

1.96 2 ? 0.02 ? 0.98 = =47.06 0.04 2

答:所以应取样本数 48。

7.28 某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验,标准差大约为 120 元,现要求以 95%的置信水平估计每个购物金额的置信区间,并要求边际误差不超
13

过 20 元,应抽取多少个顾客作为样本? 解:已知 ? ? 120 , E ? 20 ,当 a ? 0.05 时, z0.05 / 2 ? 1.96 。 应抽取的样本量为: n ?

( z? / 2 ) 2 ? 2 1.962 *1202 ? ? 139 E2 202

7.29 假定两个总体的标准差分别为? 1 ? 12 ,? 2 ? 15 ,若要求误差范围不超过 5,相应的 置信水平为 95%,假定 n1 ? n2 ,估计两个总体均值之差 ?1 ? ? 2 时所需的样本量为多 大。

7.30 假定 n1 ? n2 ,边际误差 E ? 0.05 ,相应的置信水平为 95%,估计两个总体比例之差 为 ? 1 ? ? 2 时所需的样本量为多大。

14


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