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人教版九年级上册数学 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质教案


22.1.2 二次函数 y=ax 的图 象和性质

2

项 D;又因为在同一直角坐标系中,函数 y =ax 与 y=ax 的图象必有除原点(0,0)以
2

外的交点,故选择 C. 方法总结: 分 a>0 与 a<0 两种情况加 1.会用描点法画出 y=ax 的图象,理 解抛物线的概念. 2 2.掌握形如 y=ax 的二次函数图象和 性质,并会应用.
2

以讨论,并且结合一些特殊点,采取“排除 法” . 【类型二】实际问题中图象的识别 已知 h 关于 t 的函数关系式为 h 1 2 = gt (g 为正常数, t 为时间), 则函数图象 2

一、情境导入

为(

)

1 2 自由落体公式 h= gt (g 为常量), h与 2

解析:根据 h 关于 t 的函数关系式为 h 1 2 = gt ,其中 g 为正常数,t 为时间,因此 2 1 2 函数 h = gt 图象是受一定实际范围限制 2 的,图象应该在第一象限,是抛物线的一部 分,故选 A. 方法总结:在识别二次函数图象时,应 该注意考虑函数的实际意义.

t 之间是什么关系呢?它是什么函数?它的
图象是什么形状呢? 二、合作探究 2 探究点一:二次函数 y=ax 的图象 【类型一】图象的识别 已知 a≠0, 在同一直角坐标系中, 2 函数 y=ax 与 y=ax 的图象有可能是( )

解析:本题进行分类讨论:(1)当 a>0 时,函数 y=ax 的图象开口向上,函数 y=
2

ax 图象经过一、 三象限, 故排除选项 B; (2)
当 a<0 时,函数 y=ax 的图象开口向下,
2

函数 y=ax 图象经过二、四象限,故排除选

探究点二:二次函数 y=ax 的性质 【类型一】 利用图象判断二次函数的增 减性 2 作出函数 y=-x 的图象, 观察图 象,并利用图象回答下列问题: (1)在 y 轴左侧图象上任取两点 A(x1, y1),B(x2,y2),使 x2<x1<0,试比较 y1 与 y2 的大小; (2)在 y 轴右侧图象上任取两点 C(x3,

2

y3),D(x4,y4),使 x3>x4>0,试比较 y3 与 y4 的大小;
(3)由(1)、(2)你能得出什么结论? 解析: 根据画出的函数图象来确定有关 数值的大小,是一种比较常用的方法. 解:(1)图象如图所示,由图象可知 y1 >y2, (2)由图象可知 y3<y4; (3)在 y 轴左侧, y 随 x 的增大而增大,在 y 轴右侧,y 随 x 的增大而减小.

(4)函数的增减性由函数的开口方向及 对称轴来确定.
?m +3m-2=2, ? 解: (1)根据题意, 得? 解 ?m+3≠0, ? ? ?m1=-4,m2=1, ?m≠-3. ?
2

得?

∴当 m =- 4 或 m= 1

方法总结: 解有关二次函数的性质问 题,最好利用数形结合思想,在草稿纸上画 出抛物线的草图进行观察和分析以免解题 时产生错误. 【类型二】 二次函数的图象与性质的综 合题 2 已知函数 y = (m + 3)xm + 3m - 2 是关于 x 的二次函数. (1)求 m 的值; (2)当 m 为何值时,该函数图象的开口 向下? (3)当 m 为何值时,该函数有最小值? (4)试说明函数的增减性. 解 析 : (1) 由 二 次 函 数 的 定 义 可 得
2 ? ?m +3m-2=2, 故可求 m 的值. ? ?m+3≠0, ?

时,原函数为二次函数. (2)∵图象开口向下,∴m+3<0,∴m <-3,∴m=-4.∴当 m=-4 时,该函数 图象的开口向下. (3)∵函数有最小值,∴m+3>0,m> -3,∴m=1,∴当 m=1 时,原函数有最小 值. 2 (4)当 m=-4 时,此函数为 y=-x , 开口向下,对称轴为 y 轴,当 x<0 时,y 随 x 的增大而增大; 当 x>0 时, y 随 x 的增 大而减小. 2 当 m=1 时,此函数为 y=4x ,开口向 上,对称轴为 y 轴,当 x<0 时,y 随 x 的增 大而减小; 当 x>0 时, y 随 x 的增大而增大. 方法总结: 二次函数的最值是顶点的纵 坐标,当 a>0 时,开口向上,顶点最低, 此时纵坐标为最小值;当 a<0 时,开口向 下,顶点最高,此时纵坐标为最大值.考虑 二次函数的增减性要考虑开口方向和对称 轴两方面的因素,因此最好画图观察. 探究点三: 确定二次函数 y=ax 的表达 式 【类型一】 利用图象确定 y=ax 的解析 式 一个二次函数 y=ax (a≠0)的图 象经过点 A(2, -2)关于坐标轴的对称点 B, 求其关系式. 解析: 坐标轴包含 x 轴和 y 轴, 故点 A(2,
2 2 2

(2)图象的开口向下,则 m+3<0; (3)函数有最小值,则 m+3>0;

-2)关于坐标轴的对称点不是一个点, 而是 两个点. 点 A(2, -2)关于 x 轴的对称点 B1(2, 2), 点 A(2, -2)关于 y 轴的对称点 B2(-2, -2). 解:∵点 B 与点 A(2,-2)关于坐标轴 2 对称,∴B1(2,2),B2(-2,-2).当 y=ax 2 的图象经过点 B1(2,2)时,2=a×2 ,∴a 1 1 2 2 = , ∴y= x ; 当 y=ax 的图象经过点 B1(- 2 2 1 2 2,-2)时,-2=a×(-2) ,∴a=- ,∴ 2

(2)由(1)知二次函数为 y=-x ,顶点 2 M(即坐标原点)的坐标为(0, 0), 由-x =2x -3,解得 x1=1,x2=-3,∴y1=-1,y2 =-9,∴直线与抛物线的另一个交点 B 的 坐标为(-3,-9). 2 【类型三】 二次函数 y=ax 的实际应用

2

y=- x2.∴二次函数的关系式为 y= x2 或 y=- x2.
方法总结: 当题目给出的条件不止一个 答案时, 应运用分类讨论的方法逐一进行讨 论,从而求得多个答案. 【类型二】 二次函数 y=ax 的图象与几 何图形的综合应用 2 已知二次函数 y=ax (a≠0)与直 线 y=2x-3 相交于点 A(1,b),求: (1)a,b 的值; 2 (2)函数 y=ax 的图象的顶点 M 的坐标 及直线与抛物线的另一个交点 B 的坐标. 解析: 直线与函数 y=ax 的图象交点坐
2 2

1 2 1 2

1 2

如图所示,有一抛物线形状的桥 洞.桥洞离水面最大距离 OM 为 3m,跨度 AB =6m. (1)请你建立适当的直角坐标系,并求 出在此坐标系下的抛物线的关系式; (2)一艘小船上平放着一些长 3m, 宽 2m 且厚度均匀的矩形木板, 要使小船能通过此 桥洞,则这些木板最高可堆放多少米? 解析:可令 O 为坐标原点,平行于 AB 的直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则可 设此抛物线函数关 系式为 y=ax .由题意可得 B 点的坐标
2

为(3,-3),由此可求出抛物线的函数关系 式, 然后利用此抛物线的函数关系式去探究 其他问题.

标可利用方程求解. 解:(1)∵点 A(1,b)是直线与函数 y= ax 图象的交点,∴点 A 的坐标满足二次函
2

? ?b=a×1 , 数和直线的关系式,∴? ∴ ?b=2×1-3, ? ?a=-1, ? ? ? ?b=-1.

2

解:(1)以 O 点为坐标原点,平行于线 段 AB 的直线为 x 轴,建立如图所示的平面 直角坐标系,设抛物线的函数关系式为 y= ax2.由题意可得 B 点坐标为(3, -3), ∴-3 1 2 =a×3 ,解得 a=- ,∴抛物线的函数关 3 1 2 系式为 y=- x . 3

1 2 1 (2)当 x=1 时,y=- ×1 =- .∵OM 3 3 1 8 =3,∴木板最高可堆放 3- = (米). 3 3 方法总结:解决实际问题时,要善于把 实际问题转化为数学问题, 即建立数学模型 解决实际问题的思想. 三、板书设计

教学过程中,强调学生自主探索和合作交 流, 在操作中探究二次函数 y=ax2 的图象与 性质, 体会数学建模的数形结合的思想方法.


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