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【课时通】高一数学人教版必修2课件2.3.3 直线与平面垂直的性质_图文

2.3.3 直线与平面垂直的性质 【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材,并识记直线与平面垂直的性质 定理,初步掌握其应用. 【知识链接】 1.直线与平面垂直的定义:如果一条直线与平面内任意一条直线都垂 直,则直线与平面互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定:一条直线与一个平面内两条相交直线都垂 直,则该直线与此平面垂直. 主题:直线与平面垂直的性质定理 【自主认知】 如图是广场中的路灯灯柱,若将灯柱看作一条直线,广场地面看作 平面,请回答下面的问题. 1.灯柱所在直线与广场地面所在平面有何位置关系? 提示:灯柱所在直线与广场地面所在平面垂直 . 2.灯柱所在的直线是什么位置关系? 提示:灯柱所在的直线都是平行的. ?根据以上探究过程,试着写出直线与平面垂直的性质定理: 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 (1)文字语言:_______________________________. 若线面垂直则线线平行 简记为:_____________________. a ? ?? ∥a ?? b b ? ?? (2)符号语言:_____________. (3)图形语言: _________________ 【合作探究】 1.如果三条直线都垂直于同一个平面,这三条直线有什么位置关系? 提示:根据直线与平面垂直的性质定理,这三条直线平行. 2.两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条与该平面有什么 位置关系? 提示:另一条也垂直于该平面. 3.设a,b分别在长方体ABCD-A′B′C′D′两个不同的面内,欲使a∥b, 问a,b应满足什么条件? 提示:a,b满足下面条件中的任何一个都能使a∥b: (1)a,b同垂直于长方体的一个面. (2)a,b分别在长方体两个相对的面内且共面. (3)a,b平行于同一条棱. 【拓展延伸】直线与平面垂直的性质:垂直于同一条直线的两个平面 平行的证明. 已知l⊥α,l⊥β.求证:α∥β. 证明:如图,此问题即过直线l作平面γ,设γ∩α=a,γ∩β=c,则 l⊥a,l⊥c,所以a∥c,因此a∥β,同理b∥β. 因为a,b是平面α内的两条相交直线,所以α∥β. 【过关小练】 1.直线l⊥α,直线m?α,则有 A.l与m异面 C.l⊥m ( ) B.l与m相交 D.l∥m 【解析】选C.由直线与平面垂直的性质知选C. 2.若两条直线a⊥b,且a⊥平面α,则b与α的位置关系是________. 【解析】若b在平面α外,则在α内能找到和b平行的直线,此时b∥α, 否则b在平面内. 答案:b∥α,或b?α 【归纳总结】 1.对直线与平面垂直的性质定理的三点说明 (1)性质定理的前提是直线与平面垂直. (2)性质定理的实质是平行与垂直的转化. (3)性质定理的作用是证明线线平行. 2.直线与平面垂直的另两条性质 (1)l⊥α,l⊥β,则α∥β. (2)a∥b,a⊥α,则b⊥α. 类型一:直线与平面垂直的性质定理的应用 【典例1】(2015·菏泽高一检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,M是AB上的一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC. (1)求证:MN∥AD1. (2)求证:M是线段AB的中点. 【解题指南】(1)要证明线线平行,可以先证线面垂直,即证AD1⊥平面 A1DC. (2)设AD1与A1D交于O,证明四边形AMNO为平行四边形. 【证明】(1)设AD1与A1D交于O, 因为四边形ADD1A1为正方形, 所以AD1⊥A1D,又CD⊥平面ADD1A1, AD1?平面ADD1A1,所以CD⊥AD1. 又A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC, 又MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1. (2)连接NO,在△A1DC中,O为A1D的中点,N为A1C的中点, 所以NO∥CD,且NO= 1 CD, 2 又AB∥CD,所以NO∥AM,由(1)知AD1∥MN, 所以四边形AMNO为平行四边形, 所以AM= 1 AB,所以M是AB的中点. 2 【延伸探究】1.(变换条件、改变问法)本题中,若将条件“M是AB上的 一点”改为“M是AB的中点”且去掉条件“MN⊥平面A1DC”,证 明:MN⊥平面A1DC. 【证明】连接AD1,BD1, 则N为BD1的中点,又M为AB的中点,所以MN∥AD1. 因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D,又CD⊥平面ADD1A1,AD1?平 面ADD1A1,所以CD⊥AD1, 又CD∩A1D=D,所以AD1⊥平面A1DC, 因为MN∥AD1,所以MN⊥平面A1DC. 2.(变换条件)本题若将条件“M是AB上的一点,N是A1C的中点,MN⊥平 面A1DC”改为“MN与异面直线AD1,BD都垂直相交”,证明:MN∥A1C. 【证明】连接BC1,DC1,因为ABC1D1是平行四边形, 所以AD1∥BC1,又MN⊥AD1,所以MN⊥BC1, 又BD∩BC1=B,所以MN⊥平面BDC1, 连B1C,因为BCC1B1为正方形,所以BC1⊥B1C, 又A1B1⊥平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1, 所以A1B1⊥BC1,又A1B1∩B1C=B1, 所以BC1⊥平面A1B1C,A1C?平面A1B1C, 所以A1C⊥BC1,同理A1C⊥BD, 又BD∩BC1=B,所以A1C⊥平面BDC1, 所以MN∥A1C. 【规律总结】线面垂直性质定理的三个关注点 (1)利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行,然后解 决其他问题. (2)蕴含的数学思想:转化思想,即把线面关系转化为线线关系,把空间 问题转化为平面问题. (3)涉及平行垂直转化的判断问题,可借助长方体模型,把线面放入其 中进行判断. 【补偿训练】如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面四边形 ABCD为矩形,点E为PC的中点, (1)求证:AD⊥PC. (

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