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高考数学总复习第七章不等式推理与证明7.5数学归纳法课件理新人教A版_图文

7 .5 数学归纳法 -2知识梳理 考点自测 1.数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=_____ k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数 n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法. -3知识梳理 考点自测 2.数学归纳法的框图表示 -4知识梳理 考点自测 1 2 3 4 5 1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ) (3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1 时,项数都增加了一项.( ) (4)用数学归纳法证明问题时,必须用上归纳假设.( ) (5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1 时,左边式子应为1+2+22+23.( ) 关闭 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 答案 -5知识梳理 考点自测 1 2 3 4 5 2.在用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 2 n(n-3)条时,第一步 检验第一个值n0等于( ) A.1 B.2 C.3 D.0 1 关闭 边数最少的凸n边形是三角形. 关闭 C 解析 答案 -6知识梳理 考点自测 1 2 3 4 5 1 1 1 3.在用数学归纳法证明不等式 1+ + +…+ <f(n) 2 3 2 -1 (n≥2,n∈N* )的过程中,由n=k到n=k+1时,左边增加了( A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项 ) 关闭 1+2 + 3+…+2 +1 -1 ? 1 + 2 + 3 + … + 2 -1 = 2 + 2 +1+…+2 +1 -1, 共增加了 2k 项. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 关闭 D 解析 答案 -7知识梳理 考点自测 1 2 3 4 5 4.用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n∈N+)能被8整除时,当n=k+1时, 对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为( ) A.56· 34k+1+25(34k+1+52k+1) B.34· 34k+1+52· 52k C.34k+1+52k+1 D.25(34k+1+52k+1) 关闭 因为要使用归纳假设,必须将34(k+1)+1+52(k+1)+1分解为归纳假设和能被8整 除的两部分.所以应变形为56· 34k+1+25(34k+1+52k+1). 关闭 A 解析 答案 -8知识梳理 考点自测 1 2 3 4 5 5.用数学归纳法证明1+2 + 3+…+ <n(n∈N+,且n>1),第一步 2 -1 要证的不等式是 . 1 1 1 关闭 当 n=2 时,左边为 1+2 + 22 -1=1+2 + 3,右边为 2.故应填 1+2 + 3<2. 1 1 1 1 1 1 关闭 1+ + <2 2 3 1 1 解析 答案 -9考点1 考点2 考点3 考点4 考点 1 用数学归纳法证明等式 例1求证:(n+1)(n+2)· …· (n+n)=2n· 1· 3· 5· …· (2n-1)(n∈ N* ). 关闭 (1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即(k+1)(k+2)· …· (k+k)=2k· 1· 3· 5· …· (2k-1), 则当n=k+1时,左边 =(k+1+1)· (k+1+2)· …· (k+1+k+1)=(k+2)(k+3)· …· (k+k)(2k+1)(2k+2)=2k· 1· 3 · 5· …· (2k-1)· (2k+1)· 2=2k+1· 1· 3· 5· …· (2k-1)· (2k+1),即当n=k+1时等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对所有n∈N*都成立. 答案 -10考点1 考点2 考点3 考点4 思考用数学归纳法证明等式的注意点有哪些? 解题心得用数学归纳法证明等式的注意点: (1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构 成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少. (2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边 的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变 形,正确写出证明过程. (3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法. -11考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练 1 求证:1 + 3 ? 4+1 …+ 1 ? 2 = +1 + 1 -2 1 1 (1)当 n=1 时,左边=1- = ,右边= =2.左边 =右边. 2 2 1+1 2 1 1 * 1 1 1 1 1 + … + ( n ∈ N ). (2) 假设当 n=k 时等式成立 ,即 1- + ? +…+ ? = +2 2 2 3 4 2 -1 2 1 1 1 1 1 1 关闭 1 +1 + +…+2 , +2 则当 n=k+1 时, 1-2 + 3 ? 4+…+2 -1 ? 2 + = +1 + +2+…+2 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 +1 2 +2 1 1 1 - 1 = +2 + +3+…+2 +1 + 2( +1). 2 +1 2 +2 1 - 即当 n=k+1 时,等式也成立. 综合(1)(2)可知对一切 n∈N+,等式成立. 答案 -12考点1 考点2 考点3 考点4 考点 2 用数学归纳法证明不等式 例2若函数f(x)=x2-2x-3,定义数列

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