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一般形式的柯西不等式_图文

名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》(理科)

柯西不等式

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1.定理一:(二维形式的柯西不等式) (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,a,b,c,d∈R. 当且仅当 ad=bc 时等号成立. 2.定理二:(向量形式的柯西不等式)设 α,β 是两个向量,则 |α·β|≤|α||β| 当且仅当 β=0,或存在一个数 k,使 α=kβ(k≠0)时等号成 立.

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3.定理三:(二维形式的三角不等式):设 x1,y1,x2,y2∈R+,
2 2 2 2 2 则 x1 +y2 + x + y ≥ ? x - x ? + ? y - y ? 1 2 2 1 2 1 2 ,当且仅当 x1=

x2,y1=y2 时等号成立. 4.推论:设 x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,则: ?x1-x2?2+?y1-y2?2 ≥ ?x1-x3?2+?y1-y3?2 当且仅当 x1=x2=x3,y1=y2=y3∈R 时等号成立. + ?x2-x3?2+?y2-y3?2

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5.定理(柯西不等式一般形式): 设 a1,a2,a3,…,an;b1,b2,b3,…,bn∈R,则:
2 2 2 2 2 (a 1 +a2 2 + … + a n )(b 1 + b 2 + … + b n )≥(a1b1 + a2b2 + … +

anbn)2,当且仅当 bi=0(i=1,2,…,n),或存在一个数 k, 使 ai=kbi(i=1,2,…,n)时等号成立

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【名师点睛】 有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式, 但只要适当添加上常数项或和为常数的各项,就可以应用柯西 不等式来解,这也是运用柯西不等式解题的技巧;而有些极值 问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的,但在运用 过程中,每运用一次前后等号成立的条件必须一致,不能自相 矛盾,否则就会出现错误.

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定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 ) 式
(a ? a ? ? ? a )( b ? b ? ?b ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ?anbb )
2 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n

设a1 , a 2 , a 3 , ? , a n , b1 , b2 , b3 , ? , bn是 实 数 ,则

2

当且仅当 bi ? 0( i ? 1,2, ? , n)或 存 在 一 个 数 k , 使 得a i ? kbi ( i ? 1,2, ? , n)时, 等 号 成 立 。

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例1 已 知a1 , a2 ,? , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? a1 ? a2 ? ? ? an n

证明 : (1 ? 1 ? ? ? 1 )( a ? a ? ? ? a )
2 2 2 2 1 2 2 2 n

? (1 ? a1 ? 1 ? a 2 ? ? ? 1 ? a n ) 2
2 2 2 ? n(a1 ? a2 ? ?? an ) ? (a1 ? a2 ? ?? an )2 1 2 2 2 2 ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? a1 ? a2 ? ? ? an n

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例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da
2 2 2 2 2 2 2 2

证明 : (a ? ? c ? d )(b ? c ? d ? a ) ? (ab ? bc ? cd ? da )2 a b c d ? a , b, c , d是不全相等的正数,? ? ? ? 不成立 b c d a ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 )2 ? (ab ? bc ? cd ? da )2 即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da

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例3 已知x ? 2 y ? 3z ? 1, 求x ? y ? z 的最小值
2 2 2

证 明: ( x 2 ? y 2 ? z 2 )(12 ? 2 2 ? 3 2 ) ? ( x ? 2 y ? 3 z ) 2 ? 1 1 2 2 2 ?x ? y ?z ? 14 x y z 1 1 3 当 且 仅 当 ? ? 即x ? , y ? , z ? 时 1 2 3 14 7 14 1 2 2 2 x ? y ? z 取最小值 14

P 41 6. 设x1 , x 2 ,?xn ? R ? , 且x1 ? x 2 ? ? ? xn ? 1, 名师大讲堂· 2013 高考总复习《数学》(理科)
2 2 2 x1 x2 xn 1 求 证: ? ? ?? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn n ? 1
2 2 2 x1 x2 xn 证 明: ( n ? 1) ? ( ? ? ?? ) 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn 2 2 x1 x2 ? (1 ? x1 ? 1 ? x2 ? ? ? 1 ? xn ) ? ( ? ? 1 ? x1 1 ? x2 2 xn x1 x2 ?? ) ? ( 1 ? x1 ? ? 1 ? x2 ? 1 ? xn 1 ? x1 1 ? x2

xn ? ? ? 1 ? xn ? )2 ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn )2 ? 1 1 ? xn 2 2 2 x1 x2 xn 1 ? ? ? ?? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn n ? 1

名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》(理科) 补充 例1 已知实数a , b, c , d , e满足a ? b ? c ? d ? e ? 8, 例题 2 2 2 2 2

a ? b ? c ? d ? e ? 16, 求e的取值范围.

解 : ? 4(a2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) ? (1 ? 1 ? 1 ? 1)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) ? (a ? b ? c ? d) 2 即4(16 ? e 2 ) ? (8 ? e )2 , 即64 ? 4e 2 ? 64 ? 16e ? e 2 16 ? 5e ? 16e ? 0, 故 0 ? e ? 5
2

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1 4 9 例2 已知x, y, z ? R? , 且x ? y ? z ? 1, 求证 ? ? ? 36 x y z
证法一 : 用柯西不等式 1 4 9 1 4 9 ? ? ? ( x ? y ? z )( ? ? ) x y z x y z 1 2 3 2 ?( x? ? y? ? z? ) ? 36 x y z 1 2 1 2 1 1 1 当且仅当x ? y ? z , 即x ? , y ? , z ? 时, 4 9 6 3 2 等号成立.
2

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1 4 9 例2 已知x, y, z ? R? , 且x ? y ? z ? 1, 求证 ? ? ? 36 x y z
证 法 二: 代 入 法 1 4 9 1 4 9 ? ? ? ( x ? y ? z) ? ( x ? y ? z) ? ( x ? y ? z) x y z x y z y 4x z 9x 4z 9 y ? 14 ? ( ? )?( ? )?( ? ) x y x z y z ? 14 ? 4 ? 6 ? 12 ? 36

1 1 1 当且仅当 y ? 2 x , z ? 3 x , 即x ? , y ? , z ? 时 , 等 号 成 立 . 6 3 2

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2.已知实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+ 6d2=5,则 a 的最值为____________.

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答案:2 1 解析:由柯西不等式得 1 1 1 (2b +3c +6d )(2+3+6)≥(b+c+d)2
2 2 2

即 2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2, 由条件可得,5-a2≥(3-a)2 2b 3c 6d 解得 1≤a≤2,当且仅当 = = 时等号成立,代入 b 1/2 1/3 1/6 1 1 2 1 =1,c=3,d=6时,amax=2,b=1,c=3,d=3时,amin=1

名师大讲堂· 2013 高考总复习《数学》(理科) 回顾练习:

1.函数 y ? 2 1 ? x ? 2 x ? 1的最大值为 ______ 3 0 此时 x ? ________
2.设实数x, y满足3x 2 ? 2 y 2 ? 6, 则P ? 2 x ? y的最大

11 值是 ______
25 1 2 1 2 ? 2 3.若a, b ? R , 且a ? b ? 1, 则(a ? ) ? (b ? ) 的最小值是 ______ a b

作业分析:课本P36习题3.1第1,5,6,7,8,9题

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柯西不等式的向量背景:

| ? ? ? |?| ? | | ? |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.

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如果平面向量的坐标(x,y) 是二维的形式, 那么空间向量的坐标(x,y,z)是三维的形式。

类似地,从空间向量的几何背景也 能得到 | ? ? ? |?| ? | | ? | ,将空间向 量的坐标代入,可得:

(a ? a ? a ) ? (b ? b ? b )
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3

? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )

2

上述不等式叫做三维形式的柯西不等式

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猜想:柯西不等式的一般形式是什么? n维形式的柯西不等式:
(a ? a ? ... ? a ) ? (b ? b ? ... ? b )
2 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n

? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )

2

思考:如何证明上述猜想?

名师大讲堂· 2013 高考总复习《数学》(理科) 证明柯西不等式的一般形式:
2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? ? ? an )( b12 ? b2 ? ?bn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ?anbb )2

分析 :

构造二次函数

设A ? a ? a ? ?? a ,B ? a1b1 ? a2b2 ? ?anbn 2 2 2 C ? b1 ? b2 ? ?? bn, 则不等式就是 AC ? B 2
2 1 2 2 2 n

2 2 2 f ( x ) ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) x 2 ? 2(a1b1 ? a 2 b2 ? ? an bn ) x 2 2 ? (b12 ? b2 ? ? bn ) 又f ( x) ? (a1 x ? b1 )2 ? (a2 x ? b2 )2 ? ?? (an x ? bn )2 ? 0

? 二次函数f ( x )的判别式? ? 0, 即 4( a1b1 ? a2b2 ? ? anbn )
2 ? ( b1 2 ? b2 2 ? ? ? bn ) ? 2 2 ? 4( a1

2 ? a2

2 ? ? an )

0

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定理 设 a1, a2 , a3 ,...,an , b1, b2 , b3 ,...,bn 是实数,则
2 2 2 2 (a12 ? a2 ? ... ? an ) ? (b12 ? b2 ? ... ? bn )

? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn ) 2

当且仅当 bi ? 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一 ai ? kbi 个 数k使得 (i=1,2,…,n) 时等号成 立。

以上不等式称为一般形式的柯西不等式。

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二维形式的三角不等式

设 x , y , x , y ? R ,那么 1 2 1 2
x ? y ? x ? y ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

二维形式的三角不等式的推广:
( x1 ? x3 ) ? ( y1 ? y3 ) ? ( x2 ? x3 ) ? ( y 2 ? y3 )
2 2 2 2

? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2

2

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三维三角不等式和一般形式的三角不等式:
x12 ? y12 ? z12 ? ?
2 2 2 x2 ? y2 ? z2

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2 x ? x ... ? x ?
2 1 2 2 2 n

y ? y ? ... ? y
2 1 2 2 2

2 n 2

?

( x1 ? y1 ) ? ( x2 ? y2 ) ? ... ? ( xn ? yn )
2

( xi , yi ? R, i ? 1,2,...,n).

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一般形式的柯西不等式的应用:
例1 已 知a1 , a2 ,? , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? a1 ? a2 ? ? ? an n

证明 : (1 ? 1 ? ? ? 1 )( a ? a ? ? ? a )
2 2 2 2 1 2 2 2 n

? (1 ? a1 ? 1 ? a 2 ? ? ? 1 ? a n ) 2
2 2 2 ? n(a1 ? a2 ? ?? an ) ? (a1 ? a2 ? ?? an )2

1 2 2 2 2 ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? a1 ? a2 ? ? ? an n

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例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a ? b ? c ? d ? ab ? bc ? cd ? da
2 2 2 2

证明 : (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 )(b 2 ? c 2 ? d 2 ? a 2 ) ? (ab ? bc ? cd ? da) 2 a b c d ? a, b, c, d是不全相等的正数 ,? ? ? ? 不成立 b c d a ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) 2 ? (ab ? bc ? cd ? da) 2 即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da

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例3 已知x ? 2 y ? 3z ? 1, 求x ? y ? z 的最小值
2 2 2

证 明: ( x ? y ? z )(1 ? 2 ? 3 ) ? ( x ? 2 y ? 3 z ) ? 1 1 2 2 2 ?x ? y ?z ? 14 x y z 1 1 3 当 且 仅 当 ? ? 即x ? , y ? , z ? 时 1 2 3 14 7 14 1 2 2 2 x ? y ? z 取最小值 14
2 2 2 2 2 2 2

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例4:设a、b、c为正数且各不相等。 求证: 2 2 2 9 ? ? ? a?b b?c c?a a?b?c 1 1 1 证明: ? 2(a ? b ? c)( ? ? ) a?b b?c c?a 1 1 1 ? [(a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a)]( ? ? ) a?b b?c c?a

? (1 ? 1 ? 1) ? 9
2

又a、b、c各不相等,故等号不能成立 ∴原不等式成立。

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例5 若a>b>c 求证:

1 1 4 ? ? a?b b?c a?c

1 1 1 1 证明: (a ? c)( ? ) ? [(a ? b) ? (b ? c)]( ? ) a ?b b?c a ?b b?c 2 ? (1 ? 1) ? 4

1 1 4 ? ? ∴ a?b b?c a?c

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例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a ? b ? c ? d ? ab ? bc ? cd ? da
2 2 2 2

证明 : (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 )(b 2 ? c 2 ? d 2 ? a 2 ) ? (ab ? bc ? cd ? da) 2 a b c d ? a, b, c, d是不全相等的正数 ,? ? ? ? 不成立 b c d a ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) 2 ? (ab ? bc ? cd ? da) 2 即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da

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例3 已知x ? 2 y ? 3z ? 1, 求x ? y ? z 的最小值
2 2 2

证 明: ( x ? y ? z )(1 ? 2 ? 3 ) ? ( x ? 2 y ? 3 z ) ? 1 1 2 2 2 ?x ? y ?z ? 14 x y z 1 1 3 当 且 仅 当 ? ? 即x ? , y ? , z ? 时 1 2 3 14 7 14 1 2 2 2 x ? y ? z 取最小值 14
2 2 2 2 2 2 2

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例4:设a、b、c为正数且各不相等。 求证: 2 2 2 9 ? ? ? a?b b?c c?a a?b?c 1 1 1 证明: ? 2(a ? b ? c)( ? ? ) a?b b?c c?a 1 1 1 ? [(a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a)]( ? ? ) a?b b?c c?a

? (1 ? 1 ? 1) ? 9
2

又a、b、c各不相等,故等号不能成立 ∴原不等式成立。

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例6:若 a, b, c ? R ?

a b c 3 求证: ? ? ? b?c c?a a?b 2
分析:左端变形
a b c ?1? ?1? ?1 b?c c?a a?b

1 1 1 ? (a ? b ? c)( ? ? ) b?c c?a a?b
9 ∴只需证此式 ? 2

即可

名师大讲堂· 2013 高考总复习《数学》(理科) 补充练习

1在?ABC中, 设 其 各 边 长 为 a , b, c , 外 接 圆 半 径 为 R, 1 1 1 2 2 2 2 求 证 : (a ? b ? c )( 2 ? ? ) ? 36R 2 2 si n A si n B si n C

2.设a , b, c为 正 数 , 且a ? b ? c ? 1, 1 2 1 2 1 2 100 求 证 : (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) ? a b c 3


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