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《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》优质课比赛课件


任意角的正弦函数、 余弦函数的定义

复习引入

锐角的正弦、余弦函数的定义 锐角的正弦、余弦函数的定义:
斜边 对边

α

邻边

sin α = _____;cos α = _____ .
对边 斜边

邻边 斜边

下面我们在直角坐标系中, 下面我们在直角坐标系中,利用单位圆来进 一步研究锐角 α 的正弦函数、余弦函数. 的正弦函数、余弦函数 单位圆的交点时 当点P(u,v) 就是 α 的终边与单位圆的交点时 的终边与单位圆的交点时, 当点
锐角三角函数会有什么结果? 锐角三角函数会有什么结果? 以原点为O圆心 圆心, 以原点为 圆心,以单位长度为半径的 y 圆叫做单位圆. 圆叫做单位圆.
MP sin α = = v, OP OM cos α = = u, OP

P(u,v) ( , ) O α (1,0) M A(1,0) x

任意角的正弦函数、余弦函数定义 任意角的正弦函数、余弦函数定义:
如图, 是一个任意角, 如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于 是一个任意角 点P(u,v),那么 ( , ) 那么:

的正弦,记作sin (1)v叫做α的正弦,记作sinα, 即sinα=v; sin = ; 的余弦,记作cos (2)u叫做α的余弦,记作cosα, 即cosα=u. cos =
P(u,v) O α A(1,0) x

y

三角函数

sin α = y, cos α = x

都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标 比值 都是以角为自变量 以单位圆上的点的坐标(比值 以单位圆上的点的坐标 比值) 为函数值的函数. 为函数值的函数
函数
sin α

定义域
R R

y y

cos α

x

弧度数) 角(弧度数 弧度数

一一对应

实数

三角函数可以看成是自变量为实数的函数. 三角函数可以看成是自变量为实数的函数

正弦、余弦函数值的符号
y

正弦为正 正弦为正 余弦为负 余弦为负
O

正弦、 正弦、余弦 全为正
x

正弦、 正弦、余弦 全为负

余弦为正 余弦为正 正弦为负 正弦为负

函数周期性的定义 对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数 不为零的常数 T,使得当x取定义域内的每一个值 取定义域内的每一个值时, f(x+T )=f(x)都成立,那么就把函数 y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数 的周期. sin(x+ 2kπ )=sinx; (k∈Z且k≠0) cos(x+ 2kπ)=cos x. 正弦函数和余弦函数均为周期函数, 正弦函数和余弦函数均为周期函数, 且周期 T=2kπ (k∈Z且k≠0)

最小正周期的概念
对于一个周期函数f( ) 对于一个周期函数 (x),如果它所有的周期中存在一个 最小的正数,那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期. 最小的正数,那么这个最小正数叫 )的最小正周期. sin(x+ 2π )=sinx, cos(x+ 2π )=cosx. 自变量x +2π时 自变量 只要并且至少增加到x+2 时, +2 函数值才能重复取得. 函数值才能重复取得.

正弦函数和余弦函数的最小正周期是2 正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π.
最小正周期在图象上的意义 : 最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离. 最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离

例1.求 求

5π 3

的正弦、余弦 的正弦、余弦.
y

易知 的终边与单位圆 的交点为 P( 1 , ? 3 ).
2 2

5π 3

α O M

A(1,0) x
3 ) 2

3 ∴ sin α = ? . 2

P (1 , ? 2

1 cos α = . 2

已知角α的终边经过点 求角α的 例2.已知角 的终边经过点 0(-3,-4),求角 的 已知角 的终边经过点P 求角 正弦、余弦. 正弦、余弦
设角α 的终边与单位圆的交点为P(x,y), y 过P作PM⊥x轴于M,过P 作P M ⊥x轴. 0 0 0 显 显然Rt?OMP∽ Rt?OM0P0 且
M0 M α O A(1,0) x
sin α = y
| OP0 |= (?3) 2 + (?4) 2 = 5.
? | MP | ? | M 0 P0 | ?4 = . = ? | MP | = = 5 | OP0 | | OP |

P(x,y) P0(-3,-4)

? | OM | ? | OM 0 | ?3 cos α = x = ? | OM |= = = . | OP | | OP0 | 5

练习.已知角 的终边经过点 (2,-3), 的终边经过点P(2, 练习.已知角α的终边经过点 (2,-3),求角 α的正弦、余弦. 的正弦、 的正弦 余弦.
3 2 sin α = ? 13, cos α = 13. 13 13

变式1.设角α 的终边过点 P(4a, ?3a) ,其中 a< 0 , 变式 设角 其中 则 sin α =
3 5

.

3 8 变式2. 变式 若角 θ 的终边过点 P(a,) ,且 cosθ = ? , 5 ?6 则 a = ________ .

例3.确定下列各三角函值的符号:

⑴ cos250°;⑵ sin(-π/4); ⑶ sin(-672°); ⑷ cos3π.
例4.已知sinθ<0且cosθ>0,确定θ角的象限.

练习 P.16 3,4,5.

小结: 小结 1.任意角的正弦、余弦函数的定义. 任意角的正弦、余弦函数的定义 任意角的正弦 是一个任意角, 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于 是一个任意角 点P(u,v),则 sin α = v, cos α = u. 则 2.三角函数都是以角为自变量 以单位圆上的 三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的 三角函数都是以角为自变量 点的坐标(比值 为函数值的函数. 比值)为函数值的函数 点的坐标 比值 为函数值的函数 sin α = y, cos α = x.

作业

p.20

1,2,3.


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