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正弦余弦定理证明教案

正弦余弦定理证明教案
【基础知识精讲】 1.正弦定理、三角形面积公式 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于该三角形外

接圆的直径,即:

=

=

=2R.

面积公式:S△=

bcsinA=

absinC=

acsinB.

2.正弦定理的变形及应用 变形:(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c

(3)sinA=

,sinB=

,sinC=

.

应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题: a.已知两角和任一边,求其他两边和一角. b.已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角. 一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解、无解三种情况. ①A 为锐角时

②A 为直角或钝角时.

(2)正弦定理,可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化. 例如:在判断三角形形状时,经常把 a、b、c 分别用 2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代替. 3.余弦定理 2 2 2 在△ABC 中,有 a =b +c -2bccosA; 2 2 2 b =c +a -2accosB;

c =a +b -2abcosC; 变形公式:

2

2

2

cosA=

,cosB=

,cosC=

在三角形中,我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素,只要已 知其中的三个元素(至少一个是边),便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、 无解),这个过程叫做解三角形,余弦定理的主要作用是解斜三角形. 4.解三角形问题时,须注意的三角关系式:A+B+C=π 0<A,B,C<π

sin

=sin

=cos

sin(A+B)=sinC 特别地,在锐角三角形中,sinA<cosB,sinB<cosC,sinC<cosA. 【重点难点解析】 掌握正、余弦定理,并学会用其余弦定理解三角形. 例 1 在△ABC 中,已知 A>B>C,且 A=2C,b=4,a+c=8,求 a、c 的长.

解:由正弦定理

=

及 A=2C 得

=

,即

=

,

∴cosC=

.

由已知 a+c=8=2b 及余弦定理,得

cosC=

=

=

=

.



=

,整理得(2a-3c)(a-c)=0

∴a≠c,∴2a=3c.

∵a+c=8,∴a= 例2 状.

,c=

. ,且 B 为锐角,试判断此三角形的形

在△ABC 中,如果 lga-lgc=lgsinB=-lg

解:∵lga-lgc=lgsinB=-lg

,

∴sinB= 又∵0°<B<90°,∴B=45°

由 lga-lgc=-lg

,得

=

.

由正弦定理得 即 2sin(135°-C)=

=

. sinC sinC.

即 2[sin135°cosC-cos135°sinC]=

∴cosC=0,得 C=90° 又∵A=45°,∴B=45° 从而△ABC 是等腰直角三角形. 例 3 如图已知:平行四边形两邻边长为 a 和 b(a<b),两对角线的一个交角为θ (0° <θ <90°),求该平行四边形的面积.

分析: 由于已知了平行四边形相邻两边长和对角线的一个交角, 再考虑到平行四边形的 面积是△AOB 的四倍,因此只要求 OA·OB·sinθ 即可. 解:设平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O.AB=a,BC=b, ∠ AOB= θ ,又设 OA=x,OB=y. 在△AOB 中,应用余弦定理可得: 2 2 2 a =x +y -2xycosθ ① 在△BOC 中,应用余弦定理可得: 2 2 2 b =x +y -2xycos(180°-θ ) ② 由②-①得: 2 2 b -a =4xycosθ

∵0°<θ <90°,∴xy=

(b>a)

∴S□=4S△AOB=2xysinθ =

tanθ
2 2 2

例 4 在△ABC 中,已知 4sinBsinC=1,b +c -a =bc,且 B>C,求 A、B、C. 2 2 2 分析:由于题设条件 b +c -a =bc 十分特殊,将它与余弦定理对照可得 A=60°,这样 B+C=120°,于是再利用条件 4sinBsinC=1,可求得 B 与 C.

解:由余弦定理 cosA= 又∵0°<A<180° ∴A=60° ∴B+C=120°,又由于 4sinBsinC=1 ∴4sinBsin(120°-B)=1

=

=

.

∴4sinB( ∴ ∴

cosB+
2

sinB)=1

sin2B+2sin B=1 sin2B=cos2B

∴tan2B=

,∴2B=30°或 2B=210°

由于 B+C=120°,且 B>C,60°<B<120° ∴2B=210°, ∴B=105°,从而 C=15° ∴A=60°,B=105°,C=15°

例5

已知△ABC 中,a,b,c 为角 A,B,C 的对边,且 a+c=2b,A-C=

,求 sinB 的值.

解法一:由正弦定理和已知条件 a+c=2b,得 sinA+sinC=2sinB,由和差化积公式得

2sin

·cos

=2sinB

由 A+B+C=π ,得

sin

=cos

又 A-C=

,得

cos

=sinB



cos

=2sin

·cos

又∵0<



,cos

≠0

∴sin

=

从而 cos

=

=

∴sinB=

·

=

.

解法二:由正弦定理和已知条件 a+c=2b,得 sinA+sinC=2sinB

∵A-C=

,A+B+C=π

两式相减可得 B=

-2C

∴sin(

+C)+sinC=2sinB

得 sin

cosC+cos

sinC+sinC=2sinB



cosC+

sinC=2sinB



cos(

-C)=2sinB



cos

=4sin

·cos

∵0<B<π ,∴cos

≠0

∴sin

=

cos

=

=

∴sinB=

·cosB=

【难题巧解点拔】

例1

△ABC 中,若 a=5,b=4,cos(A-B)=

,求 AB.

分析:很明显,只要求 cosC 的值,应用余弦定理即可求出 AB. 解法一:由已知条件 a=5,b=4

= 式有

=

=9, ①由已知 cos(A-B)=

,根据半角公

sin

=

=

,cos

=

=

代入①式得 tg

=

∵tg

=ctg

,

∴tg
2 2

=
2

,根据万能公式 cosC=

∴c =a +b -2abcosC=36,AB=c=6 解法二:∵A>B,如图,作∠BAD=∠B,∴AD=BD

∠CAD=∠A-∠B 令 AD=BD=y,CD=x,

由余弦定理 cos(A-B)=

=

,x=a-y,



=

,y=4,x=1

△CAD 中再由余弦定理 cosC=

,∴c=6

评析:上述解法反映边向角的转化,也可由角向边转化直接求出边. 例 2 半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一点,且 OA=2,B 为半圆周上任意一点 以 AB 为边向形外作等边三角形 ABC(如图), 问 B 点在什么位置时, 四边形 OACB 的面积最大, 并求出这个最大面积.

解:设∠AOB=x,则

S△AOB=
2 2

·2·1·sinx=sinx,
2

AB =OA +OB -2·OA·OB·cosx=5-4cosx.

S△ABC=

AB =

2

(5-4cosx)=

-

cosx

∴SOACB=S△AOB+S△ABC

=sinx-

cosx+

=2sin(x-

)+

∵0<x<π ,-

<x-



∴x-

=

时,

∴即 x=

时,SOACB 有最大值 2+

(平方单位)

例 3 已知△ABC 中,AB=AC=a,∠BAC=φ ,等边三角形 PQR 的三边分别通过 A,B,C 三 点.试求△PQR 的面积的最大值.

分析: 先依题意画出图形(如图).因为变动三角形 PQR 为正三角形, 它的面积 S=

PQ ,

2

问题可转化为求边长 PQ 的最大值.为此需要建立 PQ 的函数式,这又必须选取适当的量作为 自变量.观察图形可以发现,PQ 的位置是随着∠PAB 的大小变化而变化的.不妨就以∠PAB 为 自变量.以下的程序就是应用三角形的边角关系, 求出以∠PAB 的三角函数表示 PQ 的解析式, 最后求它的最大值. 解:设∠PAB=x,那么∠PBA=120°-x,∠QAC=180°-x-φ ,∠QCA=x+φ -60°.

在△PAB 中,∵

=



∴PA=

sin(120°-x),

在△AQC 中,

=

∴AQ=

sin(x+φ -60°)

∴PQ=PA+AQ=

[sin(120°-x)+sin(x+φ -60°)]

=

sin(

+30°)cos(90°-

-x).

因为其中 a,

+30°都是常量,所以当 90°-

-x=0 即 x=90°-

时,取得

(PQ)max=

sin(

+30°)

同时也就取得了

(S△)max=

(PQ) max

2

=

a sin (

2

2

+30°)

例4

在△ABC 中,已知 A=

,求证:

<c-a<

.

证明:在△ABC 中,由 A=

,得 C=2A,∴B=π -3A,∴0<A<

=

=

=

=

=

=

=

.

∵0<A<

,∴

<cosA<1,即 2<2cosA+1<3∴





,故

<c-a<

.

评析:解本题的关键是利用正弦定理及三角公式将 的取值范围推得结论. 【课本难题解答】 课本第 132 页,习题 5.9 第 8 题: |F|≈132N,β ≈38° 第9题 两条对角线的长分别是 4 cm 和 4

转化为

,结合角 A

cm,面积是 48cm .

2

【命题趋势分析】 本节主要考查:1.根据已知条件,求三角形的末知元素,或判断三角形的形状. 2.运用正、余弦定理及关系式 A+B+C=π 解决三角形中的计算和证明问题. 3.利用所学的三角知识解决与三角形有关的三角函数问题和简单的实际问题. 根据考试的方向, 可以预见, 利用正、 余弦定理解斜三角形问题将会与三角函数、 数列、 方程、向量等知识相结合,尤其是与生活、生产、科学实验实际相结合,考查综合运用数学 知识的能力. 【典型热点考题】

例1

在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,设 a+c=2b,A-C=

,求 sinB

的值. 解:根据正弦定理和已知可得:sinA+sinC=2sinB,A+B+C=π

则 2sin

·cos

=2sinB.

又 A-C=

,sin

=cos

∴2cos

cos

=2sinB=4sin

cos

又∵0<



∴sin

=

cos

=

=

∴sinB=2·

·

=

例 2 若△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且最大边为最小边的 2 倍,则三内角 之比为 . 解:设三角形三内角从小到大依次为 B-d,B,B+d, 则 B-d+B+B+d=180°∴B=60° 设最小边为 x,则最大边为 2x,

从而

=

tand=

,d=30°

所以三内角分别为 A=30°,B=60°,C=90°,得三内角之比为 1∶2∶3. ∴应填 1∶2∶3. 2 2 2 例 3 在△ABC 中,A、B、C 三顶点所对边分别为 a,b,c,试证明 b =c +a -2accosB.

证明:因为 则有:
2

= =
2

+ · + +
2

=( +2 +2|

+ ·

)·(

+

)

= =
2 2 2

2

2

|·|

|cos(180°-B)

=c +a -2ac·cosB 2 所以 b =c +a -2ac·cosB 例4 求 sin 20°+cos 80°+
2 2

2

sin20cos80°的值.

解:设△ABC 中的 A=10°,B=20°,C=150°对应边分别为 a,b,c. △ABC 的外接圆半径为 2R,则由正弦定理得: a=2Rsin10°,b=2Rsin20°,c=2Rsin150°

由余弦定理,得: 2 2 2 (2Rsin150 ° ) =(2Rsin10 ° ) +(2Rsin20 ° ) -2(2Rsin10 ° )(2Rsin20 ° )cos150 °即: sin 150°=sin 10°+sin 20°+
2 2 2

sin10°sin20°

则:cos 80°+sin 20°+

2

2

sin20°cos80°= =-2cos(180°-10°-20°).

说明: 本题采用了构造法, 题中余弦变正弦之后, 注意到


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