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圆的标准方程


课题名称:2.1 圆的标准方程
学 案
一、学习要点 1、圆是到定点(圆心)的距离为定长(半径)的点的集合。 2、圆心为(a,b) ,半径为 r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特殊地,当圆心 为原点时,圆的标准方程为 x2+y2=r2。 3、点 M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系; M 在圆内 ? (x0-a)2+( y0-b)2<r2; M 在圆上 ? (x0-a)2+( y0-b)2=r2; M 在圆外 ? (x0-a)2+( y0-b)2>r2。 4、圆 C 上任意一点 P 到圆外一点 Q 的距离的最大值为|CQ|+r,最小值为|CQ|-r。 二、基础练习 1、经过点 P(5,1) ,圆心在 C(8,-3)的圆的方程是( ) 2 2 A、(x+8) +(y+3) =25 B、(x-8)2-(y+3)2=25 C、(x-8)2+(y-3)2=25 D、(x-8)2+(y+3)2=4 2、已知圆 C 的方程为(x-a+1)2+(y+2a-1)2=r2,则圆心 C 在( ) A、2x+y-1=0 B、2x+y+1=0 C、2x-y-1=0 D、2x-y+1=0 3、三条直线 y=x,y=1,x=0 围成的三角形的外接圆的方程为 4、经过两点 A(-1,1),B(3,2)且圆心在 y 轴上的圆的方程为( ) A、x2+(y-1)2= 10 B、x2+(y+1)2= 10

C、x2+(y-1)2=10 D、x2+(y+1)2=10 三、典例探究 例 1 (1)m 变化时,直线 L:(3m-1)x-my-1=0 与圆(x-1)2+y2=r2 始终有公共点, 则半径 r 的取值范围 。 (2) 直线 L 经过点 P(-1,2), 圆(x+1)2+(y+1)2=1 上的点到直线距离的最小值为 5 ? 1 , 则直线 L 的方程为 。 [分析] (1)直线经过的定点必在圆内。 (2)用圆心到直线的距离为 1,求出直线的斜率。 例 2 已知点 P(x,y)在圆 x2+y2=1 上, (1)求

y? 3 的最小值 x?2

(2)求(x+2)2+(y-3)2 的最小值。 [分析] 从两个式子的几何意义去考虑,通过数形结合来求解。 例 3 圆 C 与 y 轴相切,且在 x 轴上的截距为 1 和 4,求此圆的方程。 [分析]用待定系数法,把题目条件转化为 a,b,r 的方程组。

1

[评述]确定圆的方程需要三个独立的条件,待定系数法就是在设出圆的方程后,将三个 独立的条件转化为 a,b,r 的方程组。 四、拓展训练 题 1 点(2a,a-1)在圆 x2+(y-1)2=5 的内部,则 a 的取值范围是( ) A、-1<a<1 B、0<a<1 C、-1<a<

1 5

D、-

1 <a<1 5

题 2 已知圆的内接正方形 ABCD 的两个顶点的坐标分别为 A(-4,-5),C(6,-1),则该圆 的方程是 . 题 3 求以 L1:x-y-5=0 和 L2:2x+y-4=0 的交点为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程. 五、方法归纳 1、待定系数法是求圆的方程的常用方法,使用这种方法的关系是将已知条件转化,并 列出方程组。 2、重视数形结合的运用,特别是距离与斜率有关的问题。


2 2




A 组 基础达标 1、若圆 C 与圆 (x+2) + (y-1) = 1 关于原点对称,则圆 C 的方程是( (B)(x-2)2 + (y-1)2 = 1 (A)(x-2)2 + (y+1)2 = 1 (C)(x+2)2 + (y-1)2 = 1 (B)(x-2)2 + (y+1)2 = 1 2、圆 x2+y2=16 上的点到直线 x-y=3 的距离的最大值为( ) (A)

3 2 2

(B)4-

3 2 2

(C)4+

3 2 2

(D)0 )

3、自点 A (-1,4)作圆 (x-2)2 + (y-3)2=1 的切线,则切线长为( (A) 5 (B)3 (C) 10 (D)2

4、两条直线 y=x+2a,y=2x+a 的交点 P 在圆 (x-1)2 + (y-1)2=4 的内部。则实数 a 的取值范围是( )

1 5 1 (C) ? ≤ a< 1 5
(A) ? <a< 1 5、点 P(

(B) a>1或a< ? (B) a ≥ 1或a ≤

1 5

1 5


2t 1 ? t 2 , 2 ),t∈R 与圆 x2+y2=1 的位置关系是( 2 1+ t 1+ t

(A)P 在圆上 (B)P 在圆内 (C)P 在圆外 (D)与 t 的取值有关 二、填空题 6、圆(x-a)2 + (y-b)2=r2 关于直线 2x+2y-7=0 对称,则 a+b= 。 2 2 7、圆 x +y =1 关于直线 x+y-1=0 的对称圆的方程为 。 8、已知圆与 x 轴切于点(1,0)且直线 y=x 平分该圆的周长,则该圆的方程为 B 组 能力提高探究创新 三、解答题 9、求过两点 A(0,4),B(4,6)且圆心在直线 x-2y-2=0 上的圆的方程。



2

10、求与 x 轴相切,圆心在直线 3x-y=0 上,且被直线 y=x 截得的弦长为 2 7 的圆的 方程。 11、过点 A(0,1),B(4,m)且与 x 轴相切的圆有且只有一个,求实数 m 的值和这个圆 的方程。

2.2 圆的一般方程
学 案
一、学习要点 1、圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的特点,缺少 xy 项,二次项的系数相等且不为 0。 2、方程 x2+y2+ Dx+Ey+F=0 表示圆的条件是 D2+E2-4F>0 3、圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的圆心为(-

D E 1 ,- ) ,半径为 r= D 2 + E 2 ? 4F 2 2 2

4、求圆的方程时,条件涉及圆心位置、半径大小时设圆的标准方程较好,条件是已知 圆上 3 个点的坐标时设圆的一般方程较好. 5、点 M(x0,y0)与圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的位置关系: M 在圆内 ? x02+y02+Dx0+Ey0+F<0 M 在圆上 ? x02+y02+Dx0+Ey0+F=0 M 在圆外 ? x02+y02+Dx0+Ey0+F>0 二、基础练习 1、圆 x2+y2-2x+2y=0 的周长是( ) A、2 2 π B、2π C、 2 π D、4π

2、方程 x2+y2+ax-2ay +2a3+3a=0 表示的图形是半径为 r(r>0)的圆,则该圆圆心在 ( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 2 2 3、方程 x +y +4mx-2y+5m=0 表示的曲线是圆,则 m 的取值范围是( ) A、

1 <m<1 4

B、m<

1 或 m>1 4

C、m<

1 4

D、m>1

4、如果方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于直线 y=x 有对称, 那么必有( ) A、D=E B、D=F C、E=F D、D=E=F 三、典例探究 例 1 设直线 ax+2y+6=0 与圆 x2+y2-2x+4y=0 相交于点 P、Q 两点,O 为坐标原点,且 OP⊥OQ,则 a 的值为 。 [分析]从条件 OP⊥OQ 入手,分析圆的几何性质。 评述本例所有方法为几何法,就是通过研究圆的几何性质,确定圆心和半径。 例 2 已知方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4-3=0 表示一个圆。 (1)求 t 的取值范围 (2)求圆半径 r 的取值范围 [分析](1)利用方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件是 D2+E2-4F>0

3

(2)把圆半径 r 表示成 t 的函数,求该函数的值域,求值域时,注意 t 的取值范围 [评述]求函数值域时要有“范围”意识,在求参数的取值范围时学生常常出错的一个原因 就是缺乏“范围”意识。 例3 求经过圆 x2+y2+8x-6y+21=0 与直线 x-y+5=0 的交点且在 y 轴上的弦长为 2 33

的圆的方程。 [分析]所求的圆满足两个条件: (1)经过圆 x2+y2+8x-6y+21=0 与直线 x-y+5=0 的交 点; (2)在 y 轴的弦长为 2 33 。对于(1) ,可求出交点坐标,也可用圆系求解;对于(2) , 求出圆与 y 轴交点的纵坐标即可表示出弦长。 [评述]用圆系方程求解,可以避开求交点坐标,而表示弦长用了“设而不求”的方法,这 两种处理方法,都可以有效地减少运算量。 四、拓展训练 题 1 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的圆心坐标为(-2,3) ,半径为 4, 则 D、E、F 分别为( ) A、4、-6-3 B、-4、6、3 C、-4、6、-3 D、4、-6、-3 2 2 2 2 。 题 2 两圆 x +y -4x+6y=0 和 x +y -6x=0 的连心方程为 2 2 题 3 设方程(x +y -25)+a(2x-y-10)=0,a 可取任何实数值,求证:这个方程表示 的圆恒过两定点。


1、若 a∈{-2, 0, 1,




A 组 基础达标

3 },方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示的圆的个数有( 4

(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 2 2 2 2 2 2 2、圆 x +y +2kx+k -1=0 与 x +y +2(k+1)y+k +2k=0 的圆心距的最短距离为( (A) 2 2 (B) 2 (3)1 (D)



2 2


3、若点 P(x,y)在圆 x2+y2+4y+3=0 上,则

y 的取值范围是( x
(B)[-

(A)[- 3 , 3 ]

3 3 , ] 3 3

(C) (-∞,-

3 3 ]∪[ ,+∞) 3 3

(D) (-∞,- 3 ]∪[ 3 ,+∞) )

4、要使 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有( (A)D2+E2-4F>0 且 F>0 (B)D<0,F>0 (C)D≠0,F≠0 (D)F<0 5、圆 x2+y2-2x-6y+9=0 关于直线 2x+y+5=0 对称的圆的方程是( ) 2 2 2 2 (A)(x+7) +(y+1) =1 (B)(x+7) +(y+2) =1 2 2 (C)(x+6) +(y+2) =1 (D)(x+6)2+(y-2)2=1 二、填空题

4

6、过点(1,2)总可以向圆 x2+y2+kx+2y+k2-15=0 作两条切线,则 k 的取值范围是 7、关于方程 x2+y2+2ax-2ay=0 表示圆,下列叙述中: ①关于直线 x+y=0 对称; ②其圆心在 x 轴上且过原点; ③其圆心在 y 轴上且过原点; ④半径为 2 |a| 其中叙述正确的是 。 (填入所有正确命题的序号) 8、过点 A(4,1),B(-6,3),C(3,0)的圆的一般方程是 。 B 组 能力提高 探究创新 三、解答题 9、若直线 y=x+m 与曲线 y= 4 ? x 有且只有一个公共点,求实数 m 的取值范围。
2



10、求圆心在直线 x+y=0 上,且过两圆 x2+y2-2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0 交点的圆 的方程。 (x 11、求证:以点(x1,y1), 2,y2)为一条直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1) =0(圆的直径式方程)

2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系(第 1 课时)
学 案
一、学习要点 1、按公共点的个数划分,直线与圆的位置关系有三种;相交、相切、相离 2、判断直线与圆的位置关系有两种方法: (1)几何法:通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断。 (2)代数法:通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断,即通过判别式来 判断。 3、弦长的求法有两种: (1)几何法:利用半弦长、弦心距、半径构成直角三角形,用勾股定理求得。 (2)代数法:用弦长公式求得,后一种很少用到。 4、相切问题的解法 (1)利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解。 (2)利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1。 (3)利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个,即△=0 来求解。 二、基础练习 1、若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x2+y2-2x=0 相切,则 a 的值为( ) A、1 或-1 B、2 或-2 C、1 D、-1 2、若直线 y=kx+2 与圆(x-2)2+(y-3)2=1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围是 3、直线 x+2y=0 被圆 x2+y2-6x-2y-15=0 截得的弦长为 。 4、若直线 x+y+1=0 与圆 x2+y2-2kx+4y+5=0 相切,则实数 k 的取值为

5

三、典例探究 例 1 已知点 P(2,3)和圆 C:(x+3)2+(y-2)2=1 (1)一条光线从点 P 射出,经 x 轴反射,与圆 C 相切,则反射光线所在直线的方程为 (2)点 M、N 分别是 x 轴和圆 C 上的动点,则|MP|+|MN|的最小值为 。 [分析]利用对称的有关知识进行转化 [评述]本题的解法体现了转化思想的运用。 例 2 已知圆 C:(x+1)2+(y-2)2=6,直线 L:mx-y+1-m=0 (1)求证:不论 m 取什么实数,直线 L 与圆 C 恒交于两点; (2)求直线 L 被圆 C 截得的弦长最小时 L 的方程 [分析](1)直线 L 与圆 C 恒交于两点,圆心到直线 L 的距离 d<r 恒成立 ? 直线 L 经 过圆内某定点; (2)从弦长最小时,直线 L 与圆 C 的几何性质入手。 [评述]几何法与代数法比较,几何法简洁、明快,要善于利用图形的几何性质解题。 例 3 求经过直线 L:2x+y+4=0 与圆 C:x2+y2+2x-4y+1=0 的交点,且分别满足下列 条件的圆的方程。 (1)面积最小 (2)经过点(2,-1) [分析]本题主要考查直线与圆的位置关系和圆系知识的运用,可利用圆系设圆的方程, 然后利用条件求解。 [评述]运用经过直线和圆交点的圆系方程时,要把圆的方程写成一般方程,再寻求一个 确定圆的条件就可以了。 四、拓展训练 1、在下列圆中,与直线 x-y+3=0 相切的圆的方程是( ) 2 2 2 2 B、 (x+1) +(y-1) =2 A、x +y =1 2 2 C、(x+1) +y =2 D、 (x-1)2+(y+1)2=2 2、过点 P(6,-4)且在圆 x2+y2=20 中截得长为 6 2 的弦所在直线的方程为 3、自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射线所在直线与圆 x +y -4x-4y+7=0 相切,求光线 L 所在的直线方程。
2 2


2 2



A 组 基础达标 1、如果直线 ax+by+c=0 与 x +y =1 相切(a,b,c≠0) ,那么以|a|,|b|,|c|为边长的三角形必 是( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)三种情况都有可能 2、若圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与直线 x+y- (A)D+E+F=0 (C)D+E-F=0

1 =0 相切,则 D、E、F 满足( 2



(B)(D+E)2=2D+2E+8F+1 (D)(D-E)2=2D+2E+8F+1 )

3、直线 3 x+y-2 3 =0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角为(

(A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 2 2 4、 过点 M(2, 1)的所有直线中, 被圆(x-1) +y =4 截得的线段长最短的直线方程为 ( (A)x+y-3=0 (B)x-y-3=0



6

(C)x+y+3=0 (D)x-y+3=0 2 5、从动点 P(m,2)向圆(x+3) +(y+3)2=1 作切线,则切线段长的最小值为( (A)4 (B)2 6 (C)5 (D) 26 。



二、填空题 6、过点 M(3,2)作圆 O:x2+y2=13 的切线,则切线方程是 7、若圆 x2+y2-2x-4y=0 的圆心到直线 x-y+a=0 的距离为

2 ,则 a 的值为 2



8、点 M(x0,y0)是圆 x2+y2=a2(a>0)内不为圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a2 与圆 x2+y2=a2(a >0)的位置关系是 。 B 组 能力提高 探究创新 三、解答题 9、求经过点 A(0,5),且与直线 x-2y=0 和 2x+y=0 都相切的圆的方程。

10、若圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上至少有三个不同点到直线 l:ax+by=0 的距离为 2 2 ,求直 线 l 的斜率的取值范围。 11、已在方程 x2+y2-2x-4y+m=0。 (1)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x+2y-4=0 交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为原点) ,求 m 的值。

2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系(第 2 课时)
学 案
一、学习要点 1、圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含、判断两圆的位置关系 的方法有两种: (1)代数法:由两圆的方程组成的方程组的解的个数来判断两圆相切、相交、相离三 种关系,这种方法有两个不足:①不能准确区分外切与内切、外离与内含。②运算量大。 (2)几何法:通过圆心距 d 与半径之和 R+r、半径之差 R-r(R≥r)的大小比较来判断. d>R+r ? 两圆外离; d=R+r ? 两圆外切;R-r<d<R+r ? 两圆相交;d=R-r ? 两圆 内切;d<R-r 两圆内含。 2、两圆的公切线。两圆外离时,有 4 条公切线;两圆外切时,有 3 条公切线,两圆相 交时,有 2 条公切线;两圆内切时,有 1 条公切线,两圆内含时,没有公切线。 3、圆系方程 ( 1 ) 过 圆 C : x2+y2+Dx+Ey+F=0 和 直 线 L : ax+by+c=0 的 交 点 的 圆 系 方 程 为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(ax+by+c)=0 (2)过两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(不表示圆 C2) 4、设两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若两圆相交,则两圆

7

的公共弦所在的直线方程是(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 二、基础练习 1、两圆 x2+y2-2x+4y+4=0 与 x2+y2-4x+2y+

19 =0 的位置关系是( 4



A、相切 B、外离 C、内含 D、相交 2 2 2 2 2、与两圆 x +y +4x-4y+7=0 与 x +y -4x-10y+13=0 都相切的直线有( ) A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条 3、已知两圆相交于两点 A(1,3) ,B(m,-1),两圆圆心都在直线 x-y+c=0 上,则 m+c 的值是( ) A、-1 B、2 C、3 D、0 4、若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1 始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4 的周长,则实数 a、b 应满足 的关系是( ) 2 B、a2+2a+2b+5=0 A、a -2a-2b-3=0 C、a2+2b2+2a+2b+1=0 D、3a2+2b2+2a+2b+1=0 三、典例探究 例 1 面积为 10π 且经过两圆 x2+y2-2x+10y-24=0 和 x2+y2+2x+2y-8=0 的交点的圆的 。 方程为 [分析]求出交点坐标运算量比较大,用圆系方程可避开求交点坐标。 [评述]注意圆系方程为 x2+y2-2x+10y-24+m(x2+y2+2x+2y-8=0)不包含圆 x2+y2+2x+2y -8=0,解答时要检查是否有遗漏。 例 2 已知圆 C1:x2+y2-10x-10y=0 和圆 C2:x2+y2+6x+2y-40=0 相交于 A、B 两点, 求公共弦 AB 的长度。 [分析]利用半弦长、弦心距、半径构成直角三角形进行求解。 [评述]本题的解法较多,直接求出交点坐标,用两点间的距离公式求解是其中一种,但 运算量大,不可取。 例 3 求与圆 x2+y2=5 外切于点 P(-1,2) ,且半径为 2 5 的圆的方程. [分析]对条件“所求圆与圆 x2+y2=5 外切于点 P(-1,2)”进行转化是解题关键 [评述]本题体现了转化思想的运用 四、拓展训练 1、圆 x2+y2+4x+2y+1=0 与圆 x2+y2-2x-6y+1=0 的位置关系是( ) A、相离 B、相交 C、外切 D、内切 2 2 2 2 2 2、 两圆 x +y +2ax+2ay+2a -1=0 与圆 x +y +2bx+2by+2b2-2=0 的公共弦长的最大值是 3、若圆 x2+y2-2mx+m2-4=0 与圆 x2+y2+2x-4my+4m2-8=0 相切,求实数 m 的所有 取值组成的集合。


2 2



A 组 基础达标 1、两圆 C1: x +y +2x+2y-2=0,C2: x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有且仅有( ) (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (4)4 条 2、直线 x-2y-2=0 与圆(x-2)2+(y+3)2=9 交于 E、F 两点,则△EOF(O 为原点)的 面积为( ) (A)

3 2

(B)

3 4

(C)

6 5 5

(D)

3 5 5

8

3、使圆 x2+y2=r2 与圆 x2+y2+2x-4y+4=0 有公共点的条件是( (A)r< 5 ≤1 (B)r> 5 +1 (C)|r- 5 |<1

) (D)|r- 5 |

4、 已知圆 C1 的方程为 f(x, y)=0, P(x0, 0)在圆 C1 外, C2 的方程为 f(x, 且 y 圆 y)=f(x0, y0),则圆 C1 与 C2 一定( ) (A)相离 (B)相交 (C)同心圆 (D)相交 2 2 2 2 2 2 ) 5、两圆(x-a) +(y-b) =c 和(x-b) +(y-a) =c 相切,则( 2 2 2 2 2 2 (A)(a-b) =c (B)(a-b) =2c (C)(a+b) =c (B)(a+b)2=2c2 B组 二、填空题 。 6、以 A(1,2)为圆心,与 x2+y2=45 相切的圆的方程是 2 2 7、圆 x +y -4x+2y+F=0 与 y 轴相交于 A、B 两点,圆心为 P,若∠APB=90°,则 F= 。 8、由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60°, 则动点 P 的轨迹议程是 。 B 组 能力提高 探究创新 三、解答题 9、已知圆 C1: x2+y2-4x-2y-5=0 与圆 C2: x2+y2-6x-y-9=0。 (1)求证:两圆相交; (2)求两圆公共弦所在的直线方程; (3)在平面上找一点 P,过 P 点引两圆的切线并使它们的长都等于 6 2 10、求与圆 x2+y2-2x=0 外切且与直线 x+ 3 y=0 切于点(3,- 3 )的圆的方程。 11、已知圆 x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0,m∈R。 (1)求证:不论 m 取何值,圆心在同一条直线 l 上; (2)求证:与 l 平行的直线被圆所截得的线段长与 m 无关。

2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系(第 3 课时)
学 案
一、学习要点 1.用直线与圆的知识证明平面几何问题,这是解析几何的基本思想,即用代数的方法 解决几何问题,这就是坐标法。其步骤是:①建立适当的坐标系;②用坐标或方程表示问题 中的几何元素,把几何问题转化为代数问题;③通过代数运算解决代数问题;④把代数运算 的结果“翻译”为几何结论。 2. 用直线与圆的知识求代数式的范围 (最值) 首先要将代数式“看作”几何元素 , (斜率、 距离等) ,再运用几何的知识(对称等)求出范围。 3.用直线与圆的知识解决实验问题,其步骤是:①仔细审题、理解题意;②引入数学

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符号,建立数学模型;③解决已建立的“数学模型”;④翻译成具体问题,回答具体问题的结 果。 二、基础练习
2 2 1.若直线 x + 3 y = a 与圆 x + y = 1 的两个交点都在第一象限内,则 a 的取值范围

是(

) A. (1,2) B. (-2,2) C. (1, 3 )
2 2

D. 3 ,2) ( 。 。

2.已知实数 x、y 满足 x ? 3 y + 3 = 0 ,则 ( x ? 1) + y 的最小值为 3.已知函数 y =

? x 2 + 2 x (0 < x < 2) ,则

y 的最大值为 x +1

4.已知 A(-2,0) ,B(2,0) ,点 P 在圆(x-3)2+(y-4)2=4 上运动,则|PA|2+||PB|2 的最 小值是 . 三、典例探究 例 1 由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线长的最小值为( ) A、1 B、2 2 C、 7 D、3

[分析]避开求切点坐标, 考虑切线长的最小的等价条件, 转化为到定点或定直线的距离。 [评述]直线与圆的方程中有大量的范围问题,通过数形结合来解决,将会事半功倍。 例 2 已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ,求该圆 的圆心坐标及半径。 [分析]本题关键是条件 OP⊥OQ 怎么用,想到 x1x2+y1y2=0,便能想到联立方程组,使 用韦达定理。 [评述]本题可以将条件 OP⊥OQ 替换,引申出许多问题,但万变不离其宗,通法是联立 方程组,借助方程研究直线与圆相交的综合问题。 [例 3]有一种商品,A、B 两地均有出售,且两地价格相同,某地区的居民从两地购买 此种商品后往回贩运时, 单位距离的运费 A 地是 B 地的 3 倍, 已知 A、 两地的距离是 10km, B 顾客购买这种商品选择 A 地或 B 地的标准是包括运费在内的总费用比较便宜,求 A、B 两 地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货 地点。 [分析]先考虑分界线上的点满足的条件 [评述]这是一个典型的解析几何应用题,其处理问题的方法值得回味。 四、拓展训练 1、若圆(x-3)2+(y+5)2=r2 上有且只有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1,则半径 的取值范围是( ) A、[4,6] B、 (4,6] C、 (4,6) D、[4,6) 2、一圆形拱桥的圆拱所在圆的半径约为 17m,跨度为 30m,则拱高 H 为 3、据气象台预报,在 A 城正东方 300km 的海面 B 处有一台风中心,正以每小时 40km 的速度向西北方向移动,在距台风中心 250km 以内的地区将受影响,从现在起经过约几小 时,台风将影响 A 城?持续时间约为几小时?(结果精确到 0.1h)

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A 组 基础达标 1、过点( 3 ,-2)的直线 l 经过圆 x2+y2-2y=0 的圆心,则直线 l 的倾斜角大小为(

(A)30° (B)60° (C)150° (D)120° 2 2 2、过圆 O:x +y =4 外一点 M(4, -1)引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为( ) (A)4x-y-4=0 (B)4x+y-4=0 (C)4x+y+4=0 (D)4x-y+4=0 2 2 3、过点(-4, 0)作直线 l 与圆 x +y +2x-4y-20=0 交于 A、B 两点,若|AB|=8,则 l 的方 程为( ) (A)5x+12y+20=0 (B)5x+12y+20=0 或 x+4=0 (C)5x-12y+20=0 (D)5x-12y+20=0 或 x+4=0 4、水平地面上有一个球,现用如下方法测量球的大小,用锐角 45°的等腰直角三角板的斜 边紧靠球面,P 为切点,一条直角边 AC 紧靠地面,并使三角板与地面升起升起垂直, 若测得 PA=5cm,则球的半径等于( ) (A)5cm 5、已知函数 f(x)= (A) (B) 5 2 cm (C)5( 2 + 1 )cm (D)6cm

1 ? ( x ? 1) 2 ,若 0<x1<x2<1,则
(B)

f ( x1 ) f ( x2 ) > x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) < x1 x2

f ( x1 ) f ( x2 ) = x1 x2

(C)

(D)前三个判断都不正确

二、填空题 6、已知 P 是直线 l:3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 x2+y2-2x-2y+1=0 的两条切线,A、 B 为切点,C 是圆心,则四边形 PACB 的面积的最小值为 。 2 2 7、若直线 l 将圆 x +y -2x-4y=0 平分,且不通过第四象限,则直线 l 的斜率的取值范围 。 是 8、已知点 A(-1,1)和圆 C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从 A 点 x 经轴反射到圆周 C 的最 短距离是 。 B 组 能力提高 探究创新 三、解答题 9、已知一圆 C 的圆心为(2,-1),且该圆被直线 l:x-y-1=0 截得的弦长为 2 2 ,求该圆 的方程及过弦的两端点的切线方程。 10、已知圆 C:(x-1)2+y2=1,点 A(-2, 0)及点 B(3, a),从点 A 观察点 B 要使视线不被圆 C 挡住,求 a 的取值范围。 11、一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报;台风中心位于轮船正西 70km 处,受影响的范围是半径长 30km 的圆形区域。已知港口位于台风正北 40km 处,

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如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?

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