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湖北省 黄冈中学 黄石二中 鄂州高中2014届高三三校联考(数学理)含解析

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黄石二中 鄂州高中 2014 届高三三校联考 数学试卷(理科)

第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.复数 2 ? i 与复数

1 在复平面上的对应点分别是 A 、 B ,则 ?AOB 等于( 3?i
B、



A、

? 6

? 4

C、

? 3

D、

? 2

2.设等差数列 ?an ? 的前项和为 S n ,若 a 4 ? 9 , a6 ? 11,则 S 9 等于( A、180 B、90 C、72 D、100



3.设 A ? ?x | 2 ? x ? 6?, B ? ?x | 2a ? x ? a ? 3?,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围是( A、 ?1,3? B、 [3,??) C、 [1,??) D、 ?1,3?



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4.要得到一个奇函数,只需将 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的图象( A、向右平移



? 个单位 6

B、向右平移

? 个单位 3

C、向左平移

? 个单位 3

D、向左平移

? 个单位 6

5.有下述命题 ①若 f (a) ? f (b) ? 0 ,则函数 f ( x) 在 ( a, b) 内必有零点; ②当 a ? 1 时,总存在 x0 ? R ,当 x ? x0 时,总有 a x ? x n ? loga x ; ③函数 y ? 1( x ? R) 是幂函数; ④若 A A、0 【答案】B

B ,则 Card ( A) ? Card ( B)
B、1 C、2

其中真命题的个数是( D、3



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6.已知, x ? 1, y ? 1 ,且

1 1 ln x, , ln y 成等比数列,则 xy 有( 4 4
C、最大值 e



A、最小值 e

B、最小值 e

D、最大值 e



7.已知 a 、 b 为非零向量,则“ a ? b ”是“函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) 为一次函数”的( A、充分不必要条件 C、充要条件 【答案】B 【解析】 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件



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8.已知函数 f ( x) ? ax4 ? bx3 ? cx 2 ? dx ? e , (a, b, c, d , e ? R, 且 a ? 0 )的四个零点构成公差为 2 的等 差数列,则 f ' ( x) 的所有零点中最大值与最小值之差是( A、4 【答案】D 【解析】 试题分析:不 妨设 f ( x) ? a( x ? 3)( x ? 1)( x ?1)( x ? 3) ? a( x ?10x ? 9) ,则
4 2



B、 5

C、 2

D、 2 5

f ' ( x) ? 4ax( x ? 5)( x ? 5) ,所以,最大根与最小根之差为 2 5 ,故答案为 2 5 .
考点:导数的运算,等差数列的性质.

9.已知函数 f ( x ) ? 1 ? sin

?
2

x ,若有四个不同的正数 x i 满足 f ( xi ) ? M ( M 为常数) ,且 xi ? 8 ,


(i ? 1,2,3,4) ,则 x1 ? x2 ? x 3 ? x4 的值为(
A、10 B、14 C、12

D、12 或 20

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考点:三角函数图像与性质.

10.已知 G 是 ?ABC 的重心, 点 P 是 ?GBC 内一点, 若 AP ? ? AB ? ? AC , 则 ? ? ? 的取值范围是 ( A、 ( ,1)



1 2

B、 (1, )

3 2

C、 ( ,1)

2 3

D、 (1,2)

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11.若 cos? cos ? ? ?1 ,则 sin(? ? ? ) = 【答案】0 【解析】 试题分析: cos? cos ? ? ?1 ,因为 cos? ? 1, cos ? ? 1 , cos ? ,cos ? 的值一个为 1 ,另一个为 ?1 ,不 妨设 cos ? ? 1,cos ? ? ?1 ,则 ? ? 2k? , ? ? (2k ? 1)? (k ? Z ) ,则 ? ? ? ? (4k ? 1)? (k ? Z ) ,

sin(? ? ? ) ? 0 。
考点:三角函数求值.

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世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com 1 2 a 12.已知等差数列 {an } 的前 n 项和是 S n ? ? n ? 8 n ,则使 an ? ?2010的最小正整数 n 等于 2 2

【 13.、已知等比数列的各项都为正数,且当 n ? 3 时, a4 a2n?4 ? 102n ,则数列 lg a1 , 2 lg a2 , 2 2 lg a3 ,

2 3 lg a 4 ,?, 2 n?1 lg an ,?的前 n 项和 S n 等于

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 14.若实数 x 、 y ,满足 ? y ? 0 ,则 z ? 的取值范围是 x ? 1 ?4 x ? 3 y ? 12 ?

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15.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值为 10,则 f (2) ? 【答案】18 【解析】 试题分析: f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ,∴ ?

? 3 ? 2a ? b ? 0 ? a?4 ?a ? ?3 ?a ? ?3 ,解得 ? 或? ,当 ? 时 2 ?1 ? a ? b ? a ? 10 ?b ? ?11 ? b ? 3 ? b?3

? a?4 2 ' 2 f ' ( x) ? 3 ? x ? 1? ? 0 , ∴在 x ? 1 处不存在极值; 当? 时,f ( x) ? 3x ? 8x ?11 ? ?3x ?11?? x ?1? ?b ? ?11
∴ x ?? ?

? 11 ? ,1? , f ' ( x) ? 0 , x ? ?1, ?? ? , f ' ( x) ? 0 ,∴适合,∴ f (2) ? 8 ? 16 ? 22 ? 16 ? 18 ,故答 3 ? ?

案为 18. 考点:函数在某点取得极值的条件,函数的值.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (12 分)已知 ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a , b , c ,向量 m ? (sin B,1 ? cos B) 与 向量 n ? (2,0) 的夹角 ? 的余弦值为 (Ⅰ)求角 B 的大小;

1 2

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(Ⅱ)若 b ?

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3 ,求 a ? c 的范围。

17.(12 分)已知 f ( x) ? ln(ax ? b) ? x ,其中 a ? 0 , b ? 0 , (Ⅰ)若 f ( x) 为 [0,??) 上的减函数,求 a , b 应满足的关系; (Ⅱ)解不等式 ln( 1?

1 1 x ? ) ? x ? ? ln 2 ? 1 。 x x

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1 1 1 1 ln(1 ? x ? ) ? x ? ? ln 2 ? 1 ? ln ?1 ? 1? ? 1 ,也就是 f ( x ? ) ? f (1) ,利用单调性得 x ? ? 1 , x x x x
这样就可以解不等式.

故所求不等式的解集为

1? 5 1? 5 [ ,0) ? [ ,??) 2 2

12 分

考点:函数与导数,函数单调性,利用单调性解不等式.

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x

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18.(12 分)已知命题 p :函数 y ? (a ? 1) 在 R 上单调递增;命题 q :不等式 x ? x ? 3a ? 1的解集为 R , 若 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 a 的取值范围.

19.(12 分)在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线的变化情况来决定买入 或卖出股票。股民老张在研究股票的走势图时,发现一只股票的均线近期走得很有特点:如果按如图所示 的方式建立平面直角坐标系 xoy ,则股价 y (元)和时间 x 的关系在 ABC 段可近似地用解析式

y ? a sin(?x ? ? ) ? b(0 ? ? ? ? ) 来描述,从 C 点走到今天的 D 点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明显
的筑底结束的标志,且 D 点和 C 点正好关于直线 l : x ? 34 对称。老张预计这只股票未来的走势如图中虚 线所示,这里 DE 段与 ABC 段关于直线 l 对称, EF 段是股价延续 DE 段的趋势(规律)走到这波上升行

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情的最高点 F 。现在老张决定取点 A (0,22) ,点 B(12,19) ,点 D(44,16) 来确定解析式中的常数 a , b ,

? , ? ,并且求得 ? ?

?
72



(Ⅰ)请你帮老张算出 a , b , ? ,并回答股价什么时候见顶(即求 F 点的横坐标) (Ⅱ)老张如能在今天以 D 点处的价格买入该股票 3000 股,到见顶处 F 点的价格全部卖出,不计其它费 用,这次操作他能赚多少元?

试题解析: (Ⅰ)? C 、 D 关于直线 l 对称

? C 点坐标为 (2 ? 34 ? 44,16) 即 (24,16)

? ?22 ? a sin ? ? b ? ? ? 把 A 、 B 、 C 的坐标代入解析式,得 ?19 ? a sin( ? ? ) ? b 6 ? ? ? 16 ? a sin( ? ? ) ? b ? 3 ?
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① ②, ③

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20.(13 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? a , an?1 ? S n ? (?1) n , n ? N * ,且 {a n ? (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求出通项公式 an ; (Ⅲ)求证:

2 ( ?1) n } 是等比数列。 3

1 1 1 1 3 ? ??? ? ? a3 a 4 a 2 n ?1 a 2 n 2
2n ?1 ? 2(?1) n ?1 ; (Ⅲ)详见解析. 3

【答案】 (Ⅰ) a ? 1 ; (Ⅱ) an ?

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?a ?1?

2 2 ? 2(a ? ) 3 3

?a ?1

5分

(Ⅱ)由(1)知 {a n ?

2 2 2 1 ( ?1) n } 是以 a1 ? ? a ? ? 为首项,2 为公比的等比数列 3 3 3 3
7分

? an ?

2 1 2 n ?1 ? 2(?1) n ?1 (?1) n ? ? 2 n ?1 ,? a n ? 3 3 3

(Ⅲ)当 n ? 2 时,

1 a2 n?1

?

3(22 n?2 ? 22 n?1 ) 3(22 n?2 ? 22 n?1 ) 9 1 1 3 3 ? 4 n ?3 ? ? 2 n?1 ? 18( ) n ? 2 n?2 ? 2 n?1 2n 2 n ?1 4 n ?3 ?2 ?2 ?4 2 2 4 a2n 2 ?2 2 ?2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? 18[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] 4 a3 a 4 a5 a 6 a2 n?1 a2 n 4 4

10 分

将 n 由 2 到 n 赋值并累加得:

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13 分

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1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 3 1 3 4 ? 18 ? 16 ? (1 ? n ?1 ) ? 1 2 2 4 1? 4
考点:数列的通项公式,数列求和.

21.(14 分)已知函数 f ( x) ? ln( (Ⅰ)若 x ?

1 1 ? ax ) ? x 2 ? ax 。 ( a 为常数, a ? 0 ) 2 2

1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; 2 1 2

(Ⅱ)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [ ,?? ) 上是增函数; (Ⅲ)若对任意的 a ? (1,2) ,总存在 x 0 ? [ ,1] ,使不等式 f ( x0 ) ? m(1 ? a 2 ) 成立,求实数 m 的取值范 围。

1 2

0 ? a ? 2 时,分析出因式中的每一项都大于等于 0,即得 f '( x) ? 0 ,从而可证明结论;

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(Ⅰ)由已知,得 f ' ( ) ? 0 且

1 2

a2 ? 2 ? 0 ,? a 2 ? a ? 2 ? 0 2a
3分

?a ? 0

?a ? 2

(Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,?

a 2 ? 2 1 a 2 ? a ? 2 (a ? 2)(a ? 1) 1 a2 ? 2 ? ? ? ?0 ? ? 2a 2 2a 2a 2 2a
? f ' ( x) ? 0
6分

?当 x ?

1 2ax a2 ? 2 ?0 ?0 又 时, x ? 2 1 ? ax 2a 1 2

故 f ( x) 在 [ ,?? ) 上是增函数

g (a) ? g (1) ? 0 ,与 g (a) ? 0 恒成立相矛盾,故

1 ? 1 ? 1 ,这时 g ' (a) ? 0 , 2m

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