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关于椭圆焦半径的一条优美性质


2007 年第 5 期

21

短  论  集  锦
关于椭圆焦半径的一条 优美性质
武增明
( 云南省玉溪第一中学 ,653100)

2 S = 2 a + 2 a + …+ 2 a = 2 ( n - 1) a .
n - 1个

所以 , S = ( n - 1) a ,即 | P1 F| + | P2 F| + …+ | Pn - 1 F| = ( n - 1) a .

两个常用不等式的最佳形式
丁遵标
( 安徽省舒成县杭埠镇中心学校 ,231323)

   命题   把椭圆

x y 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 的 a b

2

2

长轴分成 n ( n ∈N ,且 n > 1) 等份 ,过每个分 点作 x 轴的垂线 , 分别交椭圆的上半部分 ( 或下半部分 ) 于点 P1 、 P2 、 …、 Pn - 1 , F 是椭 圆的一个焦点 . 则 | P1 F| + | P2 F| + …+ | Pn - 1 F| = ( n - 1) a . 证明 : 如图 1 ,由椭圆的对 称性得 P1 与 Pn - 1 、
P2 与 Pn - 2 、 ……

   文 [1 ] 给出了两个常用不等式 :
( 1) ( 2)

∑r ∏r

ha + hb ≤ 3; a + rb hb + hc ≤ 1. a + ha h a + hb 2r =2 + ; + r R a b

本文将给出它们的最佳形式 . 命题  ( 1)
( 2)
图1

∑r

关于 y 轴对称 . 则 P1 , P2 , …,

∏r

hb + hc 2 r = . R a + ha

   其中 , △ABC 的三边长分别为 a 、 b、 c ,半 周长为 p , 面积为 S , 外接圆 、 内切圆半径分 别为 R 、 r ,旁切圆半径分别为 ra 、 rb 、 rc , 三边 上的高分别为 ha 、 hb 、 hc , 表示循环积 . ∏ 证明 : ( 1) 因 S =
ha =

Pn - 1 分别到右焦点 ( 或左焦点) 的距离依次与 Pn - 1 , Pn - 2 , …, P1 分别到左焦点 ( 或右焦点 )

的距离相等 . 不妨设 F 、 F1 分别为椭圆的左焦点 、 右 焦点 ,于是 , | P1 F| + | P2 F| + …+ | Pn - 2 F| + | Pn - 1 F|   = | Pn - 1 F1| + | Pn - 2 F1| + …+ | P2 F1| + | P1 F1| . 令 S = | P1 F| + | P2 F| + …+
| Pn - 2 F| + | Pn - 1 F| .

表示循环和 , ∑

1 1 ah = bh = rp ,则 2 a 2 b .

2 rp
a

, hb =

2 rp
b



又 S = ( p - a) ra = ( p - b) rb = rp ,则
ra = rp rp , rb = . p- a p- b

把各项的次序反过来 , S 又可以写成 S = | P1 F1 | + | P2 F1 | + …+
| Pn - 2 F1 | + | Pn - 1 F1 | .



①+ ②,再根据椭圆的第一定义得

而 abc = 4 Rrp , ( p - a) ( p - b) ( p - c) = r2 p ,


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