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§1.1.1 集合的含义与表示


第一章:集合与函数
§1.1.1 集合的含义与表示

学习目标
? 1. 了解集合的含义,体会元素与集合的 “属于”关系; ? 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言 (列举法或描述法)描述不同的具体问题, 感受集合语言的意义和作用; ? 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记 法、集合元素的三个特征.

学习过程
? 一、课前准备 . ? (预习教材P2~ P3,找出疑惑之处) ? 讨论:军训前学校通知:8月15日上午8点, 高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个 别学生? 引入:在这里,集合是我们常用的一个词 语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高 一而不是高二、高三)对象的总体,而不是 个别的对象,为此,我们将学习一个新的概 念——集合,即是一些研究对象的总体.

二、新课导学
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ※ 探索新知 探究1:考察几组对象: ① 1~20以内所有的质数; ② 到定点的距离等于定长的所有点; ③ 所有的锐角三角形; ④ 我国古代的四大发明 ⑤二高高一9班全体学生; ⑥ 方程 x 2 ? 3x的所有实数根; ?0 ⑦ 不等式X-3>0的解 试回答: 各组对象分别是一些什么?有什么共同的特征?

新知1:集合的概念
一般地,我们把研究对象统称为元素element), 把一些元素组成的总体叫做集合(set).
集合通常用大写的拉丁字母A.B.C.D表示,并用花括号{} 括起来,集合的元素用小写的拉丁字母a.b.c.d表示.

试试1:

如:我国古代的四大发明这一集合可以表示为A={我国古代的四大发明},所有 的锐角三角形这一集合可以表示为C={锐角三角形}

探究1中①~⑦都能组成集合吗,元素分别是什么? 思考: {X,Y},{(X,Y)},(X,Y)有什么区别? 探究2:
1、“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合? 2、{a,b,c}与{b,a,c}是同一个集合吗?

新知2:集合元素的特征
集合有三个特征:确定性、互异性和无序性。 就是根据这三个特征来判断是否为一个集合。
确定性:某一个具体对象,它或者是一个给定 的集合的元素,或者不是该集合的元素,两种情 况必有一种且只有一种成立. 互异性:同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性:集合中的元素没有顺序. 只要构成两个集合的元素是一样的,我们称这两个 集合是相等的 .

试试2:
分析下列对象,能否构成集合? ① 地球上的四大洋; ② 大于3小于10的偶数 ③ 我国的小河流. ④ 所有漂亮的人 ⑤ 最小的整数; ⑥ 所有成绩好的同学

新知3:元素与集合的关系
? 元素与集合的关系:属于∈或不属于?
如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)集合A, 记作:a∈A; 如果a不是集合A的元素,就说a不属于(not belong to)集合A,记作:a?A. 例如,B = { 1 ,2, 3, 4, 5 },那么,5 ? B,0 ? B .

3 3 又如, 6? N , ?Q , ? Z , 0? N , 0? N *. 2 2

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新知4:常见数集的表示
?

? ? ? ?

非负整数集(自然数集):全体非负整数 组成的集合,记作N; 正整数集:所有正整数的集合,记作N* 或N+; 整数集:全体整数的集合,记作Z; 有理数集:全体有理数的集合,记作Q; 实数集:全体实数的集合,记作R.

试一试:
? 1.用符号“”或“”填空: ? (1)设A为所有亚洲国家组成的集合, ? 则:中国____A,美国___A, ? 印度___A,英国___A; ? (2)若A= {x x 2 ? x ,则 } -1___A; ? (3)若 B ? {x | x2 ? , 3__B x则 ?6 ? 0} ; x? ? (4)若 C ? {x ? N |1,? 则 810} ——C,9.1___C ? (5)0____N, 0_____R, 3.7____N, ? 3.7____Z, ____Q ____R. 3, 3? 2

新知5:集合的表示方法
? 列举法: 把集合的元素一一列举出来, 并用花括号“{ }”括起来,这种表示集合 的方法叫做列举法.
例如,方程 x2 – 1 = 0 的所有的解组成的集合,可以表示为 { ?1,1 } . 由所有大于0且小于10的奇数组成的集合,可以表示为 { 1,3,5,7,9 } .
注意:1、元素间要用逗号隔开; 2、不管次序放在大括号内。 3、集合的{ }已包含“所有”的意思,例如:{整 数},即代表整数集Z,所以不必写{全体整数}.下列写法 {实数集},{R}也是错误的.

新知5:集合的表示方法
描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方 法称为描述法。其一般形式为:{ x | p(x) }其中x 代表元素符号及取值范围,P是确定条件即元素所 满足的条件.例如,不等式 x – 3 > 2 的解集可表示为
{ x ?R│x – 3 > 2 }.也可以表示为 { x │x – 3 > 2 } .
注意:1、中间的“|”不能缺失; 2、不要忘记标明x∈R或者k∈Z,除非上下文明确表示 。 只要不引起误解,集合的代表元素的取值范围也可省略 如:A={x ∈Z|x<10},B={x ∈R|x<10} , C={x |x<10} 区别;

3、 描述法表示集合时,应特别注意集合的代表元素不同所表示的含义 也不同, 2 {y y ? x 2 -.1}、 {x y ? x 2 ? 1}这三个集合的含义是不 同的 如. {( x, y ) y ? x ? 1}、

新知5:集合的表示方法
图形法:
Veen:用平面上一条封闭的曲线所围成的图形表示一个 集合
如,图 1 表示集合 A, 图 2 表示集合 {1,2,3,4,5} .

A 图1

1 2 3 4 5 图2

数轴法: 图像:

新知6. 集合的分类:
(1)有限集:含有有限个元素的集合 叫做有限集 . 例如,{ ?1,1} 含有两个元素, {1,3,5,7,9} 含有 5 个元素,它们都 是有限集. (2)无限集:含有无限个元素的集合 叫做无限集. 例如,集合 { x│x – 3 > 2 } 就含有 无限个元素,这个集合就是无限集.

新知7. 空集:
空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集, 记作? ?.

例如,方程 x2 + 1 = 0 的所有实数解组成的集 合,可以表示为 { x?R│x2 + 1 = 0},这个集合就不 含任何元素,所以, { x?R│x2+1 = 0} = ? .

典型例题:
例1. 下列说法正确的是( ). A.某个村子里的高个子组成一个集合 B.所有小正数组成一个集合 C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示 同一个集合 D.这六个数1,3,0.5,4,6,3能组成一个 集合

典型例题:
? ? ? ? 例2、 试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程 x( x2 ? 1) 的所有实数根组成的集合; ?0 (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合. (3)一次函数y=x与y=x-1的图象的交点组成的 集合. ?3 x ? 2 y ? 2 ? (4)方程组 ? 解集.
? 2 x ? 3 y ? 27

典型例题:
? 例3若集合A={-1,3},则集合 B ? {x | x2 ? ax ? b ? 0} ? 且A=B,求实数a、b

当堂检测:
? 1 设,A ? {x ? N |1 ? 则下列正确的是( ). x ? 6} ? A. 6 ? B. 0? A A 3.5 ? A ? C. 3 ?D. A ? 2. 下列说法正确的是( ). ? A.不等式2x-5<3的解集表示为{x<4} ? B.所有偶数的集合表示为 {x x ? 2k} ? C.全体自然数的集合可表示为{自然数} ? D. 方程 x 2 ?实数根的集合表示为 4?0 {(?2,2)} ? 3. 一次函数y=x-3与y=-2x的图象的交点组成的集合是( ? A. {1,-2} B. {x=1,y=-2} ?y ? x ? 3 ? C. {(-2,1)} D. {( x, y ) | ? }
? y ? ?2 x

).

当堂检测:
4 、用适当的方法表示下列集合
x ? 3? 0 1) A ? { x { 2 x ?1? 0 }

2)平面直角坐标系内第三象限的所有点组成的集合 x?2 ? y?2 ?0 3)方程 的解集 4) { y y ? x 2 ? 1} 5)
{x x ? N , 且

的函数值所构成的集合
8 ? N} 1? x

5、已知集合A={2,4,6},若 a ? A且6 - a ? A

,则a=

当堂检测:
? 6、若集合M={a,b,c}中的元素是三角形的三边长,则这个 三角形一定不是____三角形 a2 ? 4}, ? 7、若 ? 3 ?{a ? 3,2a ?1, 则 a= b ? 8、若 {a, a ,1} ? {a , a ? b,0}, 求a ? b ?
2 2004 2006

课后作业:
? 1、课本第五页2题 ? 2、已知 x ?{1,0, x}, 则实数x ? b ? 3、若集合 {1, a ? b, a} ? {o, , b}, 则b ? a ?
a

归纳小结:
? 1、一般地,我们把研究对象统称为元素element), 把一些元素组成的总体叫做集合(set). ? 2、集合有三个特征:确定性、互异性和无序性。 ? 3、元素与集合的关系:属于∈或不属于? ? 4、常见数集的表示 ? 5、集合的表示方法:列举法、描述法,图形法


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