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2015年长春地区高三数学(理)二模Microsoft Word


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4

长春市普通高中 2015 届高三质量监测(二)

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. D 2. A 3. C 4. C 5. D 6. D 7. B 8. B 9. C 10.A 11. C 12. A 简答与提示: 1. 【命题意图】本题主要考查集合交集与补集的运算,属于基础题. 【试题解析】D 由题意可知 Q ? {x | x ≤ ?1 或 x ? 2} ,则 ?RQ ? {x | ?1 ? x ? 2 } ,所 以P 2.

?RQ ? {x | 0 ? x ? 2} . 故选 D.
1? i 3 1 3 1 ? ? i ,所以其共轭复数为 ? i . 故选 A. 2?i 5 5 5 5

【命题意图】 本题考查复数的除法运算, 以及复平面上的点与复数的关系, 属于基础题. 【试题解析】A

3.

4.

5.

【命题意图】本题考查正态分布的概念,属于基础题,要求学生对统计学原理有全面的 认识. ) P ≤ ( 1 ?≤ ? 2) 0 ? .P 5 ? ? ( ? 2 ). 故选 0.3 5 【试题解析】C P( 0≤ ? ≤ 1? C. 【命题意图】本题借助不等式来考查命题逻辑,属于基础题. 【试题解析】C 由 p 成立,则 a ? 1 ,由 q 成立,则 a ? 1 ,所以 ? p 成立时 a ? 1 是 q 的充要条件.故选 C. 【命题意图】 本题主要考查线性规划, 是书中的原题改编, 要求学生有一定的运算能力. 【试题解析】D 由题意可知, 3x ? 5 y 在 (?2, ?1) 处取得最小值,在 ( , ) 处 取 得

6.

最大值,即 3x ? 5 y ?[?11,17] .故选 D. 【命题意图】 本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法, 对学生运算求解能力 有一定要求. 【试题解析】 D 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥, 所以其体积为 8 ?

3 5 2 2

4 1 13 ? ? . 3 6 2

7. 8.

故选 D. 【命题意图】本题考查向量模的运算. 【试题解析】B | a ? 2b |? a 2 ? 4a ? b ? 4b2 ? 7 . 故选 B. 【命题意图】本题考查学生对茎叶图的认识,通过统计学知识考查程序流程图的认识, 是一道综合题. 【试题解析】B 由算法流程图可知,其统计的是数学成绩大于等于 90 的人数,所以 由茎叶图知:数学成绩大于等于 90 的人数为 10,因此输出结果为 10. 故选 B. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像和性质,属于基础题. 【试题解析】C 由题意 f ( x) ? sin(2 x ?

9.

?

解析式为 f ( x) ? sin[2( x ? ? ) ?

?
6

6

) ,将其图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位后

] ,则 2? ?

?
6

? k? ,即 ? ?

? 的最小值为

? . 故选 C. 12

k? ? ? (k ? N) ,所以 2 12

10. 【命题意图】本题借助基本不等式考查点到直线的距离,属于中档题. 【试题解析】A 由直线与圆相切可知 | m ? n |?

(m ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ,整理得

5

m?n 2 1 ) 可知 m ? n ? 1 ? ( m ? n) 2 ,解得 2 4 m ? n ? (??, 2 ? 2 2] [2 ? 2 2, ??) . 故选 A.
mn ? m ? n ? 1 ,由 mn ? (
11. 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质,结合着较大的运算量,属于难题.

b , a 2ab 1 a3b 12a 2 OAB tan 2? ? 2 ? a ? a tan 2 ? ? ? ,因此△ 的面积可以表示为 , a ? b2 2 a 2 ? b2 7 b 3 5 解得 ? ,则 e ? . 故选 C. 4 a 4
【试题解析】C 由题可知,过 I、III 象限的渐近线的倾斜角为 ? ,则 tan ? ? 12. 【命题意图】本题是最近热点的复杂数列问题,属于难题. 【试题解析】A 设 bn ? nSn ? (n ? 2)an ,有 b1 ? 4 , b2 ? 8 ,则 bn ? 4n , 即 bn ? nSn ? (n ? 2)an ? 4n

2 )an ?1 ? 0 n ?1 a a 2(n ? 1) n ?1 an ? an ?1 ,即 2 ? n ? n ?1 , 所以 n n ?1 n n ?1 a 1 所以 { n } 是以 为公比,1 为首项的等比数列, 2 n a 1 n ?1 n 所以 n ? ( ) , an ? n ?1 . 故选 A. n 2 2
当 n ? 2 时, S n ? S n ?1 ? (1 ? )an ? (1 ? 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 60 14.

2 n

4 9

15.

8? 3

16. (2,

19 ) 8

简答与提示: 13. 【命题意图】本题主要考查二项式定理的有关知识,属于基础题. 【试题解析】由题意可知常数项为 C6 (2 x) (?
2 2

1 4 ) ? 60 . x

14. 【命题意图】本题考查定积分的几何意义及微积分基本定理,属于基础题. 【试题解析】由题意 a ?
2

?

a

0

4 2 3 xdx ? x 2 ,所以 a ? . 9 3 0

a

15. 【命题意图】球的内接几何体问题是高考热点问题,本题通过求球的截面面积,对考生 的空间想象能力及运算求解能力进行考查,具有一定难度. 【试题解析】由题意,面积最小的截面是以 AB 为直径,可求得 AB ? 面面积的最小值为 ? (

4 6 ,进而截 3

2 6 2 8? ) ? . 3 3

16. 【命题意图】 本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题, 需要学生对图 像进行理解,对学生的能力提出很高要求,属于难题. 【试题解析】由题意可知 f ( x ) 是周期为 4 的偶函数,对称轴为直线 x ? 2 . 若 F ( x) 恰 有 4 个零点,有 ?

? g (1) ? f (1) 19 ,解得 a ? (2, ) . 8 ? g (3) ? f (3)

三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分)
6

17. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查两角和的正切公式,以及同角三角函数的应用,并借助正 弦定理考查边角关系的运算,对考生的化归与转化能力有较高要求. A+B ? C ? ? ,? tan C ? ? tan( A ? B) 【试题解析】解:(1) (3 分)

tan A ? 2, tan B ? 3,? tan C ? 1,?C ?
(2)因为 tan B ? 3 ? 求得 sin B ?
3 10 . 10

?
4

(6 分)

sin B ? 3 ? sin B ? 3cos B ,而 sin 2 B ? cos 2 B ? 1 ,且 B 为锐角,可 cos B
(9 分)
AB 3 10 ? sin B ? . sin C 5

所以在△ ABC 中,由正弦定理得, AC ?

(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查统计与概率的相关知识、 离散型随机变量的分布列以及数 学期望的求法. 本题主要考查数据处理能力. 【试题解析】(1)由图可知 a ? 0.035 , b ? 0.025 . (4 分) (2) 利用分层抽样从样本中抽取 10 人,其中属于高消费人群的为 6 人,属于潜在消费 人群的为 4 人. (6 分) X 从中取出三人,并计算三人所获得代金券的总和 , 则 X 的所有可能取值为:150,200,250,300.

P( X ? 150) ? P( X ? 250) ?
X
150

3 C6 1 ? , 3 C10 6 1 2 C6 C4 3 ? , 3 C10 10

P( X ? 200) ? P( X ? 300) ?
300

2 1 C6 C4 1 ? , 3 C10 2 3 C4 1 , ? 3 C10 30

200

250

P

1 6

1 2

3 10

1 30
(10 分) (12 分)

1 1 3 1 ? 300 ? ? 210 . 且 EX ? 150 ? ? 200 ? ? 250 ? 6 2 10 30

19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查立体几何的相关知识, 具体涉及到线面以及面面的垂直关 系、 二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运 算求解能力有较高要求. 【试题解析】解:(1) 取 PB 中点 N ,连结 MN 、 AN ,

1 BC ? 2 , 2 又 BC // AD ,? MN // AD, MN ? AD ,? 四边形 ADMN 为平行四边形 AP ? AD, AB ? AD ,? AD ? 平面 PAB ,? AD ? AN ,? AN ? MN AP ? AB ,? AN ? PB ,? AN ? 平面 PBC , AN ? 平面 ADM ,? 平面 ADM ? 平面 PBC . (6 分) (2) 存在符合条件的 ? .以 A 为原点,AB 方向为 x 轴,AD 方向为 y 轴,AP 方向为 z 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 E (2, t , 0) , P(0, 0, 2) , D(0, 2,0) , B(2, 0, 0)
M 是 PC 中点,? MN // BC , MN ?
从而 PD ? (0, 2, ?2) , DE ? (2, t ? 2,0) ,则平面 PDE 的法向量为 n1 ? (2 ? t,2,2) , 又平面 DEB 即为 xAy 平面,其法向量 n2 ? (0,0,1) ,
7

n1 ? n2 2 2 ? ? , | n1 | ? | n2 | (2 ? t ) 2 ? 4 ? 4 3 1 解得 t ? 3 或 t ? 1 ,进而 ? ? 3 或 ? ? . 3
则 cos ? n1 , n2 ??

(12 分)

20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力, 具体涉及到轨迹方程的 求法, 椭圆方程的求法、 直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、 运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解:(1) 已知 S?ABC ?

1 1 (| AB | ? | AC | ? | BC |) ? r ? | BC | ? | y A | ,且 2 2 | BC |? 2 , | y A |? 3r ,其中 r 为内切圆半径,化简得: | AB | ? | AC |? 4 ,顶点 A 的轨

迹是以 B、C 为焦点,长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴端点) ,其中 a ? 2, c ? 1, b ? 3

x2 y 2 ? ? 1 ( y ? 0) . (5 分) 4 3 (2) 2k1 ? k2 ? k3 ,以下进行证明: 当直线 PQ 斜率存在时,设直线 PQ : y ? k (x ?1) 且 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , H (4, m)
进而其方程为

? x2 y 2 8k 2 4k 2 ? 12 ?1 ? ? x x ? x ? x ? 联立 ? 4 可得 , . 3 1 2 1 2 2 2 3 ? 4 k 3 ? 4 k ? y ? k ( x ? 1) ? m y ?m y ?m 由题意: k1 ? , k2 ? 1 , k3 ? 2 . 3 x2 ? 4 x1 ? 4 ( y ? m)( x1 ? 4) ? ( y2 ? m)( x1 ? 4) k2 ? k3 ? 1 ( x1 ? 4)( x2 ? 4)

(8 分)

8m ? 8k ? 2kx1 x2 ? (m ? 5k )( x1 ? x2 ) 24mk 2 ? 24m 2m ? ? ? 2k1 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 36k 2 ? 36 3 3 3 m? m? 3 3 2? 2 ? 2m ? 2k 当直线 PQ 斜率不存在时, P(1, ), Q(1, ? ) , k2 ? k3 ? 1 2 2 3 3 3 综上可得 2k1 ? k2 ? k3 . (12 分) ?
21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力, 具体涉及到用导数来描述原 函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有 较高要求. 【试题解析】解:(1) 对 f ( x ) 求导得: f ?( x) ? ?a ln(1 ? x) ?

f ?(0) ? 0 ,所以 1 ? b ? 0 ? b ? 1 . (2) 由(1)得 f ( x) ? (1 ? ax) ln(1 ? x) ? x , 0 ? x ? 1 1 ? ax f ?( x) ? ?a ln(1 ? x) ? ?1 1? x a ?a(1 ? x) ? (1 ? ax) ax ? 2a ? 1 f ??( x) ? ? ? ?? . 2 1? x (1 ? x) (1 ? x) 2

1 ? ax ? b ,根据条件知 1? x
(3 分)

8

2a ? 1 ) 1 a ? 0 ,于是 f ?( x ) 在 [0,1] ① 当 a ? ? 时,由于 0 ? x ? 1 ,有 f ??( x ) ? ? (1 ? x ) 2 2 上单调递增,从而 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ,因此 f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增,即 f ( x) ? f (0) ? 0 而且仅有 f (0) ? 0 ; ax ? 2a ? 1 ②当 a ? 0 时,由于 0 ? x ? 1 ,有 f ??( x) ? ? ? 0 ,于是 f ?( x ) 在 [0,1] 上单 (1 ? x) 2 调递减, 从而 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 , 因此 f ( x ) 在 [0,1] 上单调递减, 即 f ( x) ? f (0) ? 0 而 且仅有 f (0) ? 0 ; 1 2a ? 1 } ,当 0 ? x ? m 时, ③当 ? ? a ? 0 时,令 m ? min{1, ? 2 a 2a ? 1 a( x ? ) a f ??( x) ? ? ? 0 ,于是 f ?( x ) 在 [0, m] 上单调递减,从而 (1 ? x ) 2 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ,因此 f ( x) 在 [0, m] 上单调递减, 即 f ( x) ? f (0) ? 0 而且仅有 f (0) ? 0 . 1 综上可知,所求实数 a 的取值范围是 (??, ? ] . (8 分) 2 a( x ?
(3) 对要证明的不等式等价变形如下:
2 10001 10000.4 1001 1000.5 1 10000? 5 1 1000? 1 2 ( ) ?e?( ) ? (1 ? ) ? e ? (1 ? ) 10000 1000 10000 1000 2 n ? 1 5 1 n? 1 ? e ? (1 ? ) 2 恒成立. 所以可以考虑证明:对于任意的正整数 n ,不等式 (1 ? ) n n

并且继续作如下等价变形

1 n? 2 1 n? 1 2 1 1 1 (1 ? ) 5 ? e ? (1 ? ) 2 ? (n ? ) ln(1 ? ) ? 1 ? (n ? ) ln(1 ? ) n n 5 n 2 n 2 1 1 ? (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 ( p) ? ? 5n n n ?? ?(1 ? 1 ) ln(1 ? 1 ) ? 1 ? 0 ( q) ? 2n n n ? 2 1 1 1 对于 ( p ) 相当于 (2) 中 a ? ? ? (? , 0) ,m ? 情形, 有 f ( x ) 在 [0, ] 上单调递减, 2 5 2 2 即 f ( x) ? f (0) ? 0 而且仅有 f (0) ? 0 . 1 2 1 1 ) ln(1 ? ) ? ? 0 成立; 取 x ? ,当 n ? 2 时, (1 ? n 5n n n 2 7 7 当 n ? 1 时, (1 ? ) ln 2 ? 1 ? ln 2 ? 1 ? ? 0.7 ? 1 ? 0 . 5 5 5 2 1 1 ) ln(1 ? ) ? ? 0 成立. 从而对于任意正整数 n 都有 (1 ? 5n n n 1 对于 ( q ) 相当于(2)中 a ? ? 情形,对于任意 x ? [0,1] ,恒有 f ( x) ? 0 而且仅有 2 1 1 1 1 f (0) ? 0 . 取 x ? ,得:对于任意正整数 n 都有 (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 成立. n 2n n n

9

2 1 n? 5 1 n? 1 ? e ? (1 ? ) 2 恒成立. 因此对于任意正整数 n ,不等式 (1 ? ) n n 2 1 1 n? 1 n? 这样依据不等式 (1 ? ) 5 ? e ? (1 ? ) 2 ,再令 n ? 10000 利用左边,令 n ? 1000 n n 10001 10000.4 1001 1000.5 ) ?e?( ) 利用右边,即可得到 ( 成立. (12 分) 10000 1000

22.

(本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到弦切角定理以及三角形 相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力. 【试题解析】解:(1) 由题意可知, ?EPC ? ?APC , ?PEB ? ?PAC ,

PE PD PE ED ED PB PD ? ? ? ? ,又 ,则 . (5 分) PA PC PB BD BD PA PC (2) 由 ?EPC ? ?APC , ?PEB ? ?PAC ,可得 ?CDE ? ?ECD , 在△ ECD 中, ?CED ? 30 ,可知 ?PCE ? 75 . (10 分)
则△ PED ∽△ PAC ,则 23. (本小题满分 10 分) 【命题意图】 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识, 具体涉及到极坐标方程 与平面直角坐标方程的互化、 利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距 离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求.

x2 ? y 2 ? 1.(5 分) 【试题解析】解:(1) 对于曲线 C1 有 x ? y ? 1 ,对于曲线 C2 有 4
? 2 t ?x ? 2 ? 2 (2) 显然曲线 C1 : x ? y ? 1 为直线,则其参数方程可写为 ? ( t 为参数)与 ? ? y ? ?1 ? 2 t ? ? 2

x2 ? y 2 ? 1联立,可知 ? ? 0 ,所以 C1 与 C2 存在两个交点, 4 8 12 2 8 2 2 由 t1 ? t2 ? , t1t 2 ? ,得 d ?| t2 ? t1 |? (t1 ? t2 ) ? 4t1t2 ? . 5 5 5
曲线 C2 :

(10 分) 不

24. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式及 等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.
1 ? ?7 ? 4 x, x ? 2 ? 3 ? 1 【试题解析】解:(1) 当 a ? 3 时, f ( x) ? ? 5, ? x ? , 2 2 ? 3 ? ? 4 x ? 1, x ? 2 ?

所以 f ( x) ? 7 的解集为 {x | x ? 0 或 x ? 2} . (2) f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | a ? 2 x | ?a ?| 2 x ? 1 ? a ? 2 x | ?a ?| a ? 1| ?a , 由 f ( x) ? 3 恒成立,有 | a ? 1| ? a ? 3 ,解得 a ? 2 所以 a 的取值范围是 ? 2, ?? ? .

(5 分)

(10 分)

10


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