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2.3.2 等差数列的前n项和性质及应用


复习回顾 等差数列的前n项和公式: n(a1 ? an ) 形式1: Sn ? 2 形式2: n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2 1.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数,这个函数 有什么特点? n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2 d d 令 A ? , B ? a1 ? 2 2 d 2 d Sn ? n ? (a1 ? )n 2 2 则 Sn=An2+Bn 当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=-2 1 1 3 ? 13 ? ? 3 ? 2 ? d ? 11 ? 13 ? ? 11 ? 10 ? d 2 2 1 ? Sn ? 13n ? n( n ? 1) ? ( ?2) 2 2 2 ? ? n ? 14n ? ?(n ? 7) ? 49 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=-2<0 则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为 ∴当n=7时,Sn取最大值49. Sn 3 ? 11 n? ?7 2 n 3 7 11 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=-2 ∴ an=13+(n-1) ×(-2)=-2n+15 15 ? n? ? ? an ? 0 ? 2 由 ? 得 ? 13 a ? 0 ? ? n ?1 n? ? ? 2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得 a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8 ∴a7+a8=0 又d=-2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 求等差数列前n项的最大(小)的方法 d 2 d 方法1:由Sn ? n ? (a1 ? )n利用二次函 2 2 数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值. 方法2:利用an的符号 ①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正, 此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值 由an≥0且an+1≤0求得. ② 当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此 时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由 an ≤0且an+1 ≥ 0求得. 练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n, 要使此数列的前n项和最大,则n的值为 ( C) A.12 B.13 C.12或13 D.14 2.等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …也在等差数列, 公差为 n2d Sn 性质2: { } 为等差数列. n Sn An2 ? Bn ? ? An ? B n n 2.等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质3:(1)若项数为奇数2n-1,则 S2n-1=(2n- 1)an (an为中间项), 此时有:S偶-S奇= an , S奇 S偶

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