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2.3.2 等差数列的前n项和性质及应用_图文

复习回顾 等差数列的前n项和公式: n(a1 ? an ) 形式1: Sn ? 2 形式2: n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2 1.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数,这个函数 有什么特点? n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2 d d 令 A ? , B ? a1 ? 2 2 d 2 d Sn ? n ? (a1 ? )n 2 2 则 Sn=An2+Bn 当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=-2 1 1 3 ? 13 ? ? 3 ? 2 ? d ? 11 ? 13 ? ? 11 ? 10 ? d 2 2 1 ? Sn ? 13n ? n( n ? 1) ? ( ?2) 2 2 2 ? ? n ? 14n ? ?(n ? 7) ? 49 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=-2<0 则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为 ∴当n=7时,Sn取最大值49. Sn 3 ? 11 n? ?7 2 n 3 7 11 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=-2 ∴ an=13+(n-1) ×(-2)=-2n+15 15 ? n? ? ? an ? 0 ? 2 由 ? 得 ? 13 a ? 0 ? ? n ?1 n? ? ? 2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得 a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8 ∴a7+a8=0 又d=-2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 求等差数列前n项的最大(小)的方法 d 2 d 方法1:由Sn ? n ? (a1 ? )n利用二次函 2 2 数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值. 方法2:利用an的符号 ①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正, 此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值 由an≥0且an+1≤0求得. ② 当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此 时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由 an ≤0且an+1 ≥ 0求得. 练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n, 要使此数列的前n项和最大,则n的值为 ( C) A.12 B.13 C.12或13 D.14 2.等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …也在等差数列, 公差为 n2d Sn 性质2: { } 为等差数列. n Sn An2 ? Bn ? ? An ? B n n 2.等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质3:(1)若项数为奇数2n-1,则 S2n-1=(2n- 1)an (an为中间项), 此时有:S偶-S奇= an , S奇 S偶 n ? n?1 (2)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中 间两项), S奇 an ? 此时有:S偶-S奇= nd , S偶 an ? 1 两等差数列前n项和与通项的关系 性质4:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且 a n S 2 n ?1 ? 前n项的和分别为Sn和Tn,则 bn T2 n?1 S2 n?1 (2n ? 1)an an ? ? T2 n?1 (2n ? 1)bn bn 3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S3=9,S6=36,则S9=________ 81 解法1:依题意知,S3=9,S6=36 a7+a8+a9=? 解法2:由题意知,设 sn n(n ? 1) 将它们代入公式 S n ? na1 ? d 2 ? An ? Bn 2 则有 解法3:S3, S6 –S3 ,S9 –S6,成等差数列 S3 S 6 S9 ? Sn ? 解法4: ? ? 是一个等差数列,则 , , 成等差数列 3 6 9 ?n? 3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( ) A A.85 B.145 C.110 D.90 例3.一个等差数列的前12项的和为354, 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数 的项的和之比为32:27,则公差为 5 . 等差数列{an}前n项和的性质的应用 例3.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分 Sn 7 n ? 1 别是Sn和Tn,且 ? Tn 4n ? 27 a5 an 求 和 . b5 bn a5 64 ? b5 63 an 14n ? 6 ? bn 8n ? 23 等差数列{an}前n项和的性质的应用 例4.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和 为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则 m= . 10 例5.设数列{an}的通项公式为an= 4n-24,则 |a1|+|a2|+|a3|+……+|a20|= . 480 an= -4n+24 练习2:已知在等差数列{an}中,a10=23, a25=-2

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