当前位置:首页 >> 数学 >>

【数学】2.2《直接证明与间接证明》课件2(新人教A版选修1—2)_图文

2.2.2 反证法

反证法是间接证明的一 种基本方法 .我们对 于这种方法其实并不陌 生, 在日常生活或解 决某些数学问题时 , 有时会不自觉地使用反 证法.

思考 桌面上有 3 枚正面? 朝上的硬币 ,每 次用双手同时翻转 2枚硬币 .那么无论怎样 翻转, 都不能使硬币全部反面 朝上.你能解 释这种现象吗 ?

? 指有面额的那面 .

上述现象可以用直接证 明的方法解释 , 但是, 我们这 里采用反证法 . 假设经过若干次翻转可 以使硬币全部反面向上 . 由于每枚硬币从正面朝 上变为反面朝上 , 都需要 翻转奇数次 , 所以3枚硬币全部反面朝上时 ,需要 翻转 ?3个奇数之和 ?次,即要翻转奇数次 .

但由于每次用双手同时 翻转 2枚硬币,3枚硬币被 翻转的次数只能是 2 的倍数 , 即偶数次 .这个矛盾 说明假设错误 , 原结论正确 , 即无论怎样翻转都不 能使3枚硬币全部反面朝上 .

一般地, 假设原命题不成立 , 经过正确 的推理, 最后得出矛盾 ,因此说明假设 错误, 从而证明了原命题成立 , 这样的 证明方法叫做反证法 ( reduction to absurdity ).

例 4 如图2.2 ? 2, AB, CD为圆 的两条相交弦, 且不全为直径 . 求证 AB, CD不能互相平分 .

A

D

动画演示 .

C

B

图2.2 ? 2 证明 假设 AB, CD 互相平分 , 则ACBD为平行四边形 , 故?ACB ? ?ADB, ?CAD ? ?CBD. 因为ABCD为圆内接四边形 , 所以 ?ACB ? ?ADB ? 1800 , ?CAD ? ?CBD ? 1800.

则?ACB ? 90 , ?CAD ? 90 .故对角线 AB, CD 均 为直径,与已知矛盾 .因此, AB, CD不能互相平分 .
0 0

还有其他的证明方法吗 ?

例 4 如图2.2 ? 2, AB, CD A D 为圆的两条相交弦, 且不 全为直径 .求证 AB, CD不 C B 能互相平分 . 证明 假设 AB, CD 互相 图2.2 ? 2 平分, 则ACBD为平行四 边形, 故?ACB ? ?ADB, ?CAD ? ?CBD.因为ABCD为圆内接四边形 , 所以 ?ACB ? ?ADB ? 1800 , ?CAD ? ?CBD ? 1800. 0 0 则?ACB ? 90 , ?CAD ? 90 .故对角线 AB, CD 均 为直径,与已知矛盾 .因此, AB, CD不能互相平分 .

还有其他的证明方法吗 ?

例5 求证 2 是无理数.
分析 直接证明一个数是无理 数比较困难 ,我们采用 反证法.假设 2 不是无理数 ,那么它就是有理数 .我们 m 知道, 任一有理数都可以写成 形如 (m, n互质, m ? Z, n n ? N? )的形式 .下面我们看看能否由此 推出矛盾 .

证明 假设 2不是无理 ???两个正整数m, n 数,那么它就是有理数 .于 互质, 是指m ,n 的最 ?? ? 是, 存在互质 的正整数 大公约数是 1,即 ?m,n? ? 1. m m, n, 使得 2 ? , n

于是可设 m ? 2k ?k是正整数 ?, 从而有 4k 2 ? 2n2 , 即n2 ? 2k 2 , 所以 n也是偶数 .这与 m, n互质矛盾 .

从而有 m ? 2n,因此 m2 ? 2n2 , 所以 m 为偶数 .

由上述矛盾可知假设错 误,从而 2是无理数 .

正是 2的发现, 使人们认识到在有理数 之 外, 还有一类数与 1是不可公度的 , 这就是无 理数; 从而引发了数学史上的 第一次危机 , 大大推动了数学前进的 步伐.

由上面的例子可以看出 , 反证法的关键是在正确 的推 理下得出矛盾 .这个矛盾可以是与已知 条件矛盾 , 或与 假设矛盾 , 或与定义、公理、定理 、事实矛盾等 . 反证法常常是解决某些 " 疑难"问题的有力工具 ,英 国近代 数学家哈代曾经这样称 赞它 : "? ? ? ? ? ? 归谬法 ( 反证法)是数学家最有力的一件 武器 ,比起象棋开 局时牺牲一子以取得优 势的让棋法 ,它还要高明 .象 棋对奕者不外牺牲一卒 或顶多一子 , 数学家索性把 全局拱手让予对方 !"

事实上, 数史上有许多经典证明 (如" 质数有无限多 个" 的证明) 就采用了反证法 .感兴趣的同学可以自 己查找相关书籍 , 进一步了解反证法的作 用及应用 .