当前位置:首页 >> 数学 >>

10等差数列前n项和性质及应用2


? 教学目标: ? (1) 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和 前n项和公式; ? (2) 了解等差数列的一些性质,并会用它们 解决一些相关问题; ? (3) 会利用等差数列通项公式与前 项和的 公式研究 的最值;

教学重点:熟练掌握等差数列的求和性质

教学难点:灵活应用求和公式解决问题

复习回顾
等差数列的前n项和公式:

n(a1 ? an ) 形式1: Sn ? 2
形式2:

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

n(n ? 1) n(a1 ? an ) ? na1 ? d ? sn 2 2
n

a

n

a

1

a

1

n

a

1

(n ? 1)d

1.将等差数列前n项和公式

看作是一个关于n的函数,这个函数 有什么特点?

n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2

d d 令 A ? , B ? a1 ? 2 2

d 2 d Sn ? n ? (a1 ? )n 2 2
则 Sn=An2+Bn

当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数

㈡【说明】

①推导等差数列的前n项和公式的 方法叫 倒序相加法 ;

②等差数列的前n项和公式类同 于 梯形的面积公式 ; Sn=an2+bn ,这 ③{an}为等差数列? 是一个关于 n 的没有 常数项 的 “ 二次函数 ” ( 注意 a 还可以是 0)

例1 已知数列{an}中Sn=2n2+3n, 求证:{an}是等差数列.

例1、若等差数列{an}前4项和是2,前9 项和是-6,求其前n 项和的公式。
解:设首项为a1,公差为d,则有:
18 1 ? ? 2 ? 4a1 ? ? 4 ? 3d ? a1 ? 15 ? 2 , 解之得:? ? 1 7 ?? 6 ? 9a1 ? ? 9 ? 8d ?d ? ? 2 15 ? ? ∴S ? 18 n ? 1 n(n ? 1) ? ( ? 7 ) ? ? 7 n 2 ? 43 n 。 n 15 2 15 30 30

另解:
设 Sn= an2 + bn,依题意得: S4=2, S9= -6, 解之得:

? 2 ? a?4 ? b?4 即 , ? 2 ?? 6 ? a ? 9 ? b ? 9
2

7 ? ?a ? ? 30 , ? 43 ?b ? 30 ?

7 2 43 ? Sn ? ? n ? n。 30 30

等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得
1 1 3 ? 13 ? ? 3 ? 2 ? d ? 11 ? 13 ? ? 11 ? 10 ? d 2 2

1 ? Sn ? 13n ? n( n ? 1) ? ( ?2) 2 2 2 ? ? n ? 14n ? ?(n ? 7) ? 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.

∴ d=-2

等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=-2<0

则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为
∴当n=7时,Sn取最大值49.

Sn

3 ? 11 n? ?7 2

n 3 7 11

等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=-2

∴ an=13+(n-1) ×(-2)=-2n+15 15 ? ?n ? 2 ? an ? 0 ? 由 ? 得 ? an ? 1 ? 0 ? n ? 13 ? ? ? 2 ∴当n=7时,Sn取最大值49.

等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得

a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=-2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0

∴当n=7时,Sn取最大值49.

例1的变式题一:等差数列{an}中, 首项a1>0,S3 = S11,问:这个数列 的前几项的和最大?

例1的变式题二:等差数列{an}的首 项a1> 0, 前n项和为Sn,Sm= Sl ,问: n 为何值时,Sn最大?

例2:已知数列{an}是等差数列,且 a1= 21,公差d=-2,求这个数列的前 n项和Sn的最大值。
已知 a3 ? 24, s11 ? 0 求: ①数列 ?an ?的通项公式

例3设等差数列 ?an ?的前n项和为 s n,

s ②当n为何值时, n 最大,

求等差数列前n项的最大(小)的方法 d 2 d 方法1:由Sn ? n ? (a1 ? )n利用二次函 2 2 数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值. 方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列 前面有若干项为正,此时所有正项的和为 Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得. ②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值 由an ≤0且an+1 ≥ 0求得.

练习:已知数列{an}的通项为 an=26-2n,要使此数列的前n项和 最大,则n的值为( C ) A.12 D.14 B.13 C.12或13

2.等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有

性质1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …也成等差数列, 公差为 n2d
性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= - (m+p)

性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0

Sn 性质4: { } 为等差数列. n

两等差数列前n项和与通项的关系

性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且 an S ? 2 n ?1 前n项的和分别为Sn和Tn,则 bn T
2 n ?1

3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B )

A.63

B.45

C.36

D.27

例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( )

A

A.85

B.145

C.110

D.90

等差数列{an}前n项和的性质的应用 例3.一个等差数列的前10项的和为100, 前100项的和为10,则它的前110项的和 为 -110 . 例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分

Sn 7n ? 1 别是Sn和Tn,且 ? Tn 4n ? 27
a5 an 求 和 . b5 bn a5 64 ? b5 63 an 14n ? 6 ? bn 8n ? 23

等差数列{an}前n项和的性质的应用 例5.一个等差数列的前12项的和为354, 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数 的项的和之比为32:27,则公差为 5 . 例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和 为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则 m= 10 . 例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7, 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .

等差数列{an}前n项和的性质 例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明 理由. a1+2d=12 解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0

13a1+13×6d<0

24 ? ? d ? ?3 7

1 (2) ∵ Sn ? na1 ? n( n ? 1)d 2 1 ? n(12 ? 2d ) ? n( n ? 1)d 2

2 d 24 ? d ? ?3 ∴Sn有最大值. 由(1)知 ? 7 5 12 13 13 由上得 6 ? ? 即6 ? n ? ? 2 d 2 2
由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.

d 2 5d ? n ? (12 ? )n 2 2 5 12 ∴Sn图象的对称轴为 n ? ?

练习1
已知等差数列25,21,19, …的前n项和 为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.
练习2: 求集合

M ? {m m ? 2n ?1, n ? N , m ? 60}

?

的元素个数,并求这些元素的和.

练习3:已知在等差数列{an}中,a10=23,
a25=-22 ,Sn为其前n项和.
(1)问该数列从第几项开始为负?
(2)求S10

(3)求使 Sn<0的最小的正整数n.
(4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值

1.根据等差数列前n项和,求通项公式.

n?1 ? a1 an ? ? ? S n ? S n ?1 n ? 2
2、结合二次函数图象和性质求 的最值.

d 2 d S n ? n ? (a1 ? ) n 2 2

作业:
1: 等差数列{an}的前n项和Sn满足 S5=95, S8=200,求Sn。

2: 若数列{an}的前n项和Sn满足 Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列。 3、设等差数列{an}的前n项和为Sn, 已知a3=12, S12>0, S13<0。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1 , S2, … , S12中哪个值最大,

1、 设Sn

=an2+bn,

?a ? 2 解之得: , n=3n2+n。 ∴S ? ?b ? 9

?95 ? 25a ? 5b 则有:? 。 ? 200 ? 64a ? 8b

2、是。

? a1 ? S 1 简单提示:利用公式: ? ? a n ? S n ? S n ?1

( n ? 1) ( n ? 2)

3、(1)

24 ? ? d ?, 3 (2)S6最大。 ? 7


相关文章:
10等差数列前n项和性质及应用2_图文.ppt
10等差数列前n项和性质及应用2 - ? 教学目标: ? (1) 进一步熟练掌握
等差数列前n项和性质及应用2_图文.ppt
等差数列前n项和性质及应用2 - 等差数列前n项和性质 (二) 在等差数列{an
等差数列的前n项和性质及应用.ppt
S2 n - Sn , S3n - S 2 n 成等差数列 等差数列前n项和性质: 1.已知?...偶数项的和为 30,最后一项与 首项之差为 10.5,求此数列的首项,公差及 项...
等差数列前N项和的性质及其应用.doc
(1) 等差数列的定义、通项公式、性质; (2) 等差数列前 n 项和公式及其推导...a5 ? a6 ? 10, 则, a7 ? a8 ? a9 ? , a19 ? a20 ? a21 ? 。。...
等差数列的前n项和性质及应用(2)(上课用)_图文.ppt
等差数列前n项和性质及应用(2)(上课用) - 复习回顾 等差数列的前n项和公
等差数列的前n项和性质及应用2_图文.ppt
等差数列前n项和性质及应用2 - 复习回顾 等差数列的前n项和公式: 等差数列的前n项和公式: n(a1 + an ) 形式1: 形式1: S n = 2 形式2: 形式2: ...
...二章数列课时作业10等差数列前n项和的性质与应用新....doc
2017_2018学年高中数学第二章数列课时作业10等差数列前n项和性质应用新人教B版必修5 - 课时作业(十) 等差数列前 n 项和的性质应用 A 组 (限时:10 ...
第二章 2.3 第2课时 等差数列的前n项和公式的性质及应用.doc
第二章 2.3 第2课时 等差数列前n项和公式的性质及应用 - [课时作业] [A 组 基础巩固] 1.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+a3+a5=3,则...
...二章数列课时作业10等差数列前n项和的性质与应用新....doc
2017_2018学年高中数学第二章数列课时作业10等差数列前n项和性质应用新人教B版必修5 - 课时作业(十) 等差数列前 n 项和的性质应用 A 组 (限时:10 ...
等差数列前n项和的性质及应用.ppt_图文.ppt
d 2 2.等差数列前n 项和Sn = = . 2 复习: ...? 11 ? 10 ? d 2 2 S n 1 ? Sn ? 13n...
等差数列的前n项和性质及应用._图文.ppt
等差数列前n项和性质及应用._其它_职业教育_教育专区。等差数列的前n项和...? 11 ? 10 ? d 2 2 1 ? Sn ? 13n ? n( n ? 1) ? ( ?2) 2...
2.3.2等差数列前n项和性质及应用.ppt
2.3.2等差数列前n项和性质及应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2.3.2...? 11 ? 10 ? d 2 2 1 ? Sn ? 13n ? n( n ? 1) ? ( ?2) 2...
《等差数列前n项和性质及应用》_图文.ppt
等差数列前n项和性质及应用》 - 复习回顾 等差数列的前n项和公式: n(a1
2.3等差数列前n项和性质及应用(2)_图文.ppt
2.3等差数列前n项和性质及应用(2) - 复习回顾 等差数列的前n项和公式:
等差数列前n项和的性质_图文.ppt
等差数列前n项和性质 - 复习回顾 等差数列的前n项和公式: n(a1 ? a
等差数列前n项和性质及应用_图文.ppt
等差数列前n项和性质及应用 - 复习回顾 等差数列的前n项和公式: n(a1 ?
2.3等差数列的前n项和性质及应用(2).ppt
2.3等差数列前n项和性质及应用(2)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。 复习...10 例5.设数列{an}的通项公式为an= 4n-24,则 |a1|+|a2|+|a3|+……...
2.2.4等差数列的前n项和性质及应用_图文.ppt
2.2.4等差数列的前n项和性质及应用 - 1.根据等差数列前n项和,求通项公式
等差数列前n项和性质_图文.ppt
na1 ? 2 2.等差数列前n项和性质(1) n(n ?...d) 2 例 1 :在等差数列{an }中,S10 =10,S20...
...a必修5练习:2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用 wor....doc
高二数学人教a必修5练习:2.3.2 等差数列前n项和的性质应用 word版含解析_数学_高中教育_教育专区。必修5数学习题试卷 课时训练 10 等差数列前 n 项和的...