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2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第四章第二节平面向量的基本定理及坐标运算_图文


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自 主 落 实 · 固 基 础

第二节

平面向量的基本定理及坐标运算

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1.平面向量基本定理

不共线 如果e1 ,e2 是同一平面内的两个__________向量,那么 对于该平面内任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a= λ1e1+λ2e2 _______________.

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2.平面向量的正交分解 互相垂直 把一个向量分解为两个___________的向量,叫做把向 量正交分解.
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3.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同 的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a, (x,y) 有且只有一对实数x、y,使a=xi+yj,把有序数对_______ (x,y) x 叫做向量a的坐标,记作a=________,其中_____叫做a在x y 轴上的坐标,_____叫做a在y轴上的坐标. → → 终点A (2)设 OA =xi+yj,则向量 OA 的坐标(x,y)就是______ → (x,y) 的坐标,即若 OA =(x,y),则A点坐标为________,反之亦 成立(O是坐标原点).

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4.平面向量的坐标运算

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→ → 1.在△ABC中,设 AB =a, BC =b,则向量a与b的夹 角为∠ABC是否正确?

【提示】

不正确.求两向量的夹角时,两向量起点应

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相同,向量a与b的夹角为π-∠ABC.

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2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件能 x1 y1 不能写成 = ? x2 y2 【提示】 不能.因为当b=(0,0)时,有a∥b,但此 x1 y1 时不能写成 = 的形式. x2 y2
菜 单

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1.(人教A版教材习题改编)下列各组向量:①e1=(- 1,2),e2=(5,7);②e1=(3,5),e2=(6,10);③e1=(2, 1 3 -3),e2=( ,- ),能作为表示它们所在平面内所有向量 2 4 基底的是( ) A.① B.①③ C.②③ D.①②③
【解析】 ②中,e2=2e1,e1与e2共线;③中e1=4e2 ,

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e1与e2共线.
【答案】
菜 单

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A

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2.若a=(3,2),b=(0,-1),则2b-a的坐标是(

)

A.(3,-4)
C.(3,4) 【解析】 【答案】

B.(-3,4)
D.(-3,-4)

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2b-a=2(0,-1)-(3,2)=(-3,-4). D
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→ → 3.(2012· 广东高考)若向量 AB =(1,2), BC =(3,4), → 则AC=( ) A.(4,6) C.(-2,-2)

B.(-4,-6) D.(2,2)

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→ → → 【解析】 ∵AC=AB+BC,
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→ ∴AC=(1,2)+(3,4)=(4,6).
【答案】 A
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4.(2013· 惠州质检)已知向量a=( 3 ,1),b=(0,- 1),c=(k, 3),若a-2b与c共线,则k=________.

【解析】 由a=( 3,1),b=(0,-1), 得a-2b=( 3,3). ∵(a-2b)∥c,且c=(k, 3),

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∴ 3× 3-3k=0,解之得k=1.
【答案】
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1





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(2013·梅州模拟)在平行四边形ABCD中,E和F分 → → → 别是边CD和BC的中点.若 AC =λ AE +μ AF ,其中λ, μ∈R,则λ+μ=________.
→ → → → 【思路点拨】 以AD ,AB 为基底分别表示AC ,AE , → AF,根据平面向量基本定理列方程组求解.

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【尝试解答】

→ → 选择 AB , AD 作为平面向量的一组基

→ =AB+AD,AE=1AB+AD,AF=AB+ 1AD, → → → → → 底,则AC → → → 2 2 → =λAE+μAF=(1λ +μ)AB+(λ+1μ )AD, → → → → 又AC 2 2

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4 所以λ+μ= . 3

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【答案】
菜 单

4 3

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1.解答本题的关键是根据平面向量基本定理列出关于
λ,μ的方程组. 2.(1)利用平面向量基本定理表示向量时,要选择一组 恰 当 的 基 底 来 表 示 其他向量 ,即用特 殊向量表示一般向 量.常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题. (2)利用已知向量表示未知向量,实质就是利用三角形 法则进行向量的加减运算,在解题时,注意方程思想的运

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用.
菜 单

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如图4-2-1,在四边形 ABCD中,AC和BD相交于点O设 → → → → AD=a,AB =b,若AB =2DC ,则 → AO=________(用向量a和b表示).

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【解析】
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→ → → → 由AB=2DC知,AB∥DC且|AB|=2|DC|,

→ → 从而|BO|=2|OD|. → =2BD=2(AD-AB)=2(a-b), → → → ∴BO 3 3 3 → =AB+BO=b+2(a-b)=2a+1b. ∴AO → → 3 3 3 2 1 【答案】 a+ b 3 3
菜 单

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已知O(0,0),A(-2,4),B(3,-1),C(-3,- 4). → → → → → 设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b, (1)求满足a=mb+nc的实数m,n; → (2)求M、N的坐标及向量MN的坐标.

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【思路点拨】

利用向量的坐标运算及向量的坐标与其

起点、终点坐标的关系求解.

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【尝试解答】 5),

→ a= AB =(3-(-2),-1-4)=(5,-

→ b=BC=(-3-3,-4-(-1))=(-6,-3), → c=CA=(-2-(-3),4-(-4))=(1,8). (1)由a=mb+nc,得(5,-5)=(-6m,-3m)+(n, 8n) =(-6m+n,-3m+8n).

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→ → → (2)∵CM=OM-OC=3c,

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→ → ∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M(0,20). → → → 又∵CN=ON-OC=-2b, → → ∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N(9,2).

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→ ∴MN=(9,-18).
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1.向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的 法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的 坐标,注意方程思想的应用.

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2.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言—
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—“坐标语言”,实质是“形”化为“数”.向量的坐标运 算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运 算完全代数化,将数与形紧密结合起来.

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→ → 已知向量AB=(3,1),AC=(-1,a),a∈R. → (1)若D为BC中点,AD=(m,2),求a、m的值; (2)若△ABC是以A为直角顶点,求a的值.
【解】 → → (1)因为AB=(3,1),AC=(-1,a),

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→ =1(AB+AC)=(1,1+a)=(m,2), → → 所以AD 2 2

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(2)在Rt△ABC中,A=90°, → → ∴AB⊥AC, 因此(3,1)· (-1,a)=3×(-1)+1×a=0, ∴a=3.

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(1)(2013· 揭阳模拟)设向量a,b满足|a|=2 5 ,b= (2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为________. (2)若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b =(2,-1),则a=________.

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【思路点拨】 (1)根据a与b的关系,设出a的坐标,再 根据|a|=2 5求解; (2)直接设出a的坐标,根据条件列方程组求解.

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【尝试解答】 (1)∵a与b的方向相反且b=(2,1), ∴设a=λb=(2λ,λ),λ<0, 又|a|=2 5, ∴4λ 2+λ2=20,即λ2=4,∴λ=-2. 因此a=(-4,-2). (2)设向量a=(m,n),则a+b=(m+2,n-1), ∵|a+b|=1,且a+b平行于x轴,

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因此a=(-1,1)或a=(-3,1).

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【答案】

(1)(-4,-2)

(2)(-1,1)或(-3,1)





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1.两平面向量共线的充要条件有两种形式:(1)若a=

(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;
(2)若a∥b(a≠0),则b=λa. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可

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以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐 标对应成比例来求解.

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(1)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为 实数,(a+λb)∥c,则 λ=( ) 1 1 A. B. C.1 D.2 4 2 → → (2)(2013· 广州综合测试)已知向量OA=(3, -4), =(6, OB → → → -3),OC=(m,m+1),若AB∥OC,则实数 m 的值为( )

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3 A.- 2

1 B.- 4

1 C. 2

3 D. 2

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【解析】 (1)∵a=(1,2),b=(1,0), ∴a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2), 由于(a+λb)∥c,且 c=(3,4), 1 ∴4(1+λ)-6=0,解得 λ= . 2 → → → (2)依题意得,AB=(3,1),由AB∥OC得 3(m+1)-m =0,

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3 m=- . 2

【答案】 (1)B (2)A

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→ 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA=a,点 A 的位置被向量 a 唯一确定,此时点 A 的坐标与 a 的坐标统 一为(x,y). → → 当平面向量OA平行移动到O1A1时, 向量不变, → 1= 即O1A → → OA=(x,y),但O1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变 化.

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1.点的坐标与向量坐标的意义不同,向量坐标中既有方 向也有大小. 2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件是 x1 y1 x1y2-x2y1=0,不能表示成 = ,因为 x2,y2 有可能等于 x2 y2 0.

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从近两年高考试题来看,平面向量基本定理的应用、向 量的坐标运算及共线向量的坐标表示是考查的重点,题型以 客观题为主,常与三角函数、平面向量的数量积等知识结合 命题,并且常考常新.

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创新探究之五 以三角函数和向量为背景的创新题 (2012· 山东高考)如图4-2-2, 在平面直角坐标系xOy中,一单位圆 的圆心的初始位置在(0,1),此时圆 上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上 沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于 → (2,1)时,OP的坐标为________.

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【解析】 设圆心运动到 C 时,圆与 x 轴的切点为 D, 则弧 PD 长为 2,所以∠PCD=2.

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π → =(x,y),依题意得 x=2-cos(2- )=2-sin 2, 设OP 2 π y=1+sin(2- )=1-cos 2, 2 → ∴OP的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).

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【答案】

(2-sin 2,1-cos 2)





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创新点拨:(1)以单位圆、角的弧度表示为背景,考查 向量的坐标,同时考查学生的阅读理解和知识迁移能力. (2)以单位圆从一点运动到另一点为条件,考查学生观 察和分析问题的能力.

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应对措施:(1)把待求问题和已知条件联系起来,分析
它们之间的联系,寻找解决问题的方案.
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(2)分析单位圆的运动过程,从点P的运动轨迹,寻找解
决问题的条件.
菜 单

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→ → 1.(2012· 广东高考)若向量 BA =(2,3), CA =(4,7), → 则BC=( ) A.(-2,-4) C.(6,10)

B.(2,4) D.(-6,-10)

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→ 【解析】 ∵CA=(4,7),
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→ ∴AC=(-4,-7). → → → ∵BC=BA+AC, → ∴BC=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4).
【答案】
菜 单

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A

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2 . (2013· 惠 州 模 拟 ) 定 义 平 面 向 量 之 间 的 一 种 运 算

“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊙b=mq
-np,下面说法错误的序号是( ①若a与b共线,则a⊙b=0; ②a⊙b=b⊙a; ③对任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b); )

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④(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2|b|2. A.② B.①② C.②④ D.③④

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【解析】

若a与b共线,则有a⊙b=mq-np=0,故①

正 确 ; 因 为 b⊙a = pn - qm , 而 a⊙b = mq - np , 所 以 有 a⊙b≠b⊙a,故选项②错误; 同样可知③④正确,故选A. 【答案】 A

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课后作业(二十七)

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