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必修1函数的定义域和值域


函数的定义域和值域

考 什 么 会求一些简单函数的定义域和值域.

怎 么 考 1.本节是函数部分的基础,以考查函数的定义域、 值域为主,求函数定义域是高考的热点,而求函数

值域是高考的难点.
2.本部分在高考试题中的题型以选择、填空题为

主,属于中、低档题目.

一、常见基本初等函数的定义域 1.分式函数中分母 不等于零 . 2.偶次根式函数被开方式 大于或等于0 . 3.一次函数、二次函数的定义域均为 R . 4.y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x,定义域均为 R .

5.y=logax(a>0且a≠1)的定义域为 (0,+∞) .

π 6.y=tan x的定义域为 {x|x≠kπ+2,k∈Z}.
7.实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有 意义外,还要考虑实际问题对函数自变量的制约.

[题组自测] 1.函数 y= x?x-1?+ x的定义域为 A.{x|x≥0} C.{x|x≥1}∪{0}
? ?x?x-1?≥0 解析:? ? ?x≥0

(

)

B.{x|x≥1} D.{x|0≤x≤1}

?x≥1 或 x=0.

答案:C

2x-x2 2.求函数 y= 的定义域. ln?2x-1?

?2x-x ≥0, ? 解:由?ln?2x-1?≠0, ? ?2x-1>0,

2

? ?0≤x≤2, ?x≠1, 得? ? 1 x> . ? ? 2

1 ∴函数的定义域为( ,1)∪(1,2]. 2

1 3.求函数 f(x)= + x2-1+(x-4)0 的定义域. 2-|x|

解:要使 f(x)有意义, ?2-|x|≠0, ? 2 则只需?x -1≥0, ?x-4≠0, ? ∴函数的定义域为 {x|x<-2 或-2<x≤-1 或 1≤x<2 或 2<x<4 或 x>4}. 2, ?x≠± ? 即?x≥1或x≤-1, ?x≠4, ?

[归纳领悟] 1.函数有解析式时,其定义域是使解析式有

意义的自变量的取值构成的集合.
2.实际问题的函数定义域不仅要考虑解析式

的意义,还要看其实际意义.
3.抽象函数的定义域要弄清所给函数间有何 关系,进而求解.

1 2.(2011· 广东高考)函数 f(x)= +lg(1+x)的定义域是( 1-x A.(-∞,-1) C.(-1,1)∪(1,+∞)
? ?1-x≠0, 解析:由? ? ?1+x>0

)

B.(1,+∞) D.(-∞,+∞)

得 x>-1 且 x≠1,即函数 f(x)的定义域

为(-1,1)∪(1,+∞).
答案:C

x- 4 4.(教材习题改编)函数f(x)= 的定义域为________. |x|-5
? ?x-4≥0, 解析:由? ? ?|x|-5≠0

∴x≥4且x≠5.

答案:{x|x≥4且x≠5}

[精析考题] [例 1] 1 (2011· 江西高考)若 f(x)= , log 1 ?2x+1?
2

则 f(x)的定义域为 ? 1 ? A.?-2,0? ? ? ? 1 ? C.?-2,0?∪(0,+∞) ? ?
[自主解答] 1 ? ?x>- , 2 ∴? ? ?2x+1≠1.

? 1 ? B.?-2,+∞? ? ? ? 1 ? D.?-2,2? ? ?

( C )

? ?2x+1>0, 由已知得? log 1 ?2x+1?≠0, ? ? 2

1 即 x>-2且 x≠0.

练习巩固
x2 1.(2011· 台州一模)函数 f(x)= -lg(x-1)的定义域 2-x 是 A.(0,2) C.(2,+∞) B.(1,2) D.(-∞,1) ( )

? ?2-x>0, 解析:函数有意义需满足? ? ?x-1>0,

即 1<x<2,所以,函数的定义域为(1,2).
答案:B

【训练1】

(2012· 天津耀华中学月考)(1)已知f(x)的定义域为

? 1 1? ? 1? 2 ?- , ?,求函数y=f?x -x- ?的定义域; 2? ? 2 2? ?

(2)已知函数f(3-2x)的定义域为[-1,2],求f(x)的定义域. 1 解 (1)令x -x-2=t,
2

? ?? 1 知f(t)的定义域为?t?-2 ? ??

? 1? ≤t≤2?, ? ?

1 2 1 1 ∴- ≤x -x- ≤ , 2 2 2

2 ? x ? -x≥0, 整理得? 2 ? ?x -x-1≤0

?x≤0或x≥1, ? ??1- 5 1+ 5 ≤x≤ 2 , ? ? 2
? 1+ 5? 5 ? ? ? ? ,0?∪?1, 2 ?. ? ? ?

? 1- ∴所求函数的定义域为? ? 2 ?

(2)用换元思想,令3-2x=t, f(t)的定义域即为f(x)的定义域, ∵t=3-2x(x∈[-1,2]),∴-1≤t≤5, 故f(x)的定义域为[-1,5].

[冲关锦囊] 求具体函数y=f(x)的定义域 函数给出的方式 确定定义域的方法 列表法 表中实数x的集合

图象法
解析法 实际问题

图象在x轴上的投影所覆盖实数x的集合
使解析式有意义的实数x的集合 由实际意义及使相应解析式有意义的x的 集合

二、函数的值域 1.函数f(x)的值域是函数值y 的集合,记为 {y|y=f(x),x∈A},其中A为f(x)的定义域.在 函数概念的三要素中,值域是由定义域和对应 关系所确定的,因此,在研究函数值域时,既 要重视对应关系的作用,又要特别注意定义域 对值域的制约作用.

2.基本初等函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是 R . (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:当a>0时,值域为
2

4ac-b 4ac-b ;当a<0时,值域为 {y|y≥ 4a } . {y|y≥ 4a }

2

k (3)y=x(k≠0)的值域是 {y|y≠0} . (4)y=ax(a>0 且 a≠1)的值域为 {y|y>0} . (5)y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是 R . (6)y=sinx,y=cosx 的值域是 [-1,1] . (7)y=tan x 的值域是 R .

函数值域或最值的常用求解方法 直接法(观察法)
从自变量 x 的范围出发,通过观察和代 数运算推出 y=f(x)的取值范围;

1 1.函数 y= 2 的值域为 x +2 A. R 1 C.{y|y≤2}
2

( 1 B.{y|y≥2}

)

1 D.{y|0<y≤2}

1 1 1 解析:∵x +2≥2,∴0< 2 ≤2,∴0<y≤2. x +2
答案:D

2.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},

那么其值域为
A.{-1,0,3}

(
B.{0,1,2,3}

)

C.{y|-1≤y≤3}

D.{y|0≤y≤3}

答案: A

3.下列函数中,值域是(0,+∞)的函数是 ( B ) 1 1- x A.y=lgx B . y = ( 3) x-1 x C. y = | x | D. y = 1 - 2

11x 1 x x 1 【解析】y=(3) =3 =3· 3 >0, 11x + 即 y=(3) 的值域为 R ,其它都不符合.
- - -

函数值域或最值的常用求解方法

配方法
主要适用于可化为二次函数的函数,形如 F(x) =af 2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,此时要 特 别注意自变量的范围;
求二次函数在闭区间上的值域问题,一般利用 配方法,并结合二次函数的图象,利用函数单调性 求解,若函数或区间中含参数,则按区间端点与对 称轴的相对位置分情况讨论.

求函数的值域. y=x -2x+5,x∈[-2,2];
【解析】由于 y=x2-2x+5=(x-1)2+4, 所以二次函数图象开口向上,对称轴为 x=1. 当 x∈[- 2,2]时, 函数在 x = 1 时,取最小值 4, 在 x =-2 时,取最大值 13, 故所求值域为[4,13].

2

若 x有意义,则函数 y=x2+3x-5 的值域 是__________________.
解析:∵ x有意义,∴x≥0. ? 3?2 9 2 ∴y=x +3x-5=?x+2? -4-5 ? ? ∴当 x=0 时,ymin=-5.
答案: [-5,+∞)

函数值域或最值的常用求解方法 基本不等式法
具有可用基本不等式求解形状特征的函数,常利用基 本不等式 a+b≥2 ab求函数值域,应用基本不等式求值域 时,要注意条件“一正、二定、三相等”.即:①a>0,b>0; ②a+b(或 ab)为定值;③取等号条件 a=b.

cx2+dx+e ax+b 形如 y= 或 y= 2 (a· c≠0)的值 ax+b cx +dx+e 域常用基本不等式或判别式法求解(判别式要慎用).

4 求函数的值域: y=x+ (x<0). x

4 4 解:∵x<0,∴x+x=-(-x-x)≤-4, 当且仅当 x=-2 时“=”成立. ∴y∈(-∞,-4]. ∴函数有最大值-4,无最小值.

求函数的值域:f(x)=log3x+logx3-1.
解:函数定义域为{x|x∈R,x>0 且 x≠1}. 当 x>1 时,log3x>0, 1 于是 y=log3x+log x-1≥2 3 当 0<x<1 时,log3x<0, 1 于是 y=log3x+log x-1 3 1 =-[(-log3x)+( )]-1≤-2-1=-3. -log3x 故函数的值域是(-∞,-3]∪[1,+∞). 1 log3x· log3x-1=1;

求函数的值域. y=|x| 1-x2.
2 2 x + ? 1 - x ? 1 2 2 解:y= x ?1-x ?≤ = . 2 2 2 2 2, 当且仅当 x =1-x 即 x=± 时,等号成立. 2 又当 x=0 或 x=± 1 时,ymin=0. 1 故所求值域为[0, ](注意等号成立的条件). 2

函数值域或最值的常用求解方法 换元法
主要有三角代换、二元代换、整体代换等.用

换元法时一定要注意新变元的范围;

1 1 若函数 y=f(x)的值域是[ , 3], 则 F(x)=f(x)+ 的 2 f?x? 值域是 ( B ) 1 10 A.[ ,3] B.[2, ] 2 3 5 10 10 C.[ , ] D.[3, ] 2 3 3

1 【解析】令 t=f(x),则 t∈[2,3], 1 10 F(x)=t+ t ∈[2, 3 ],故选 B.

求函数的值域: f(x)=x- 1-2x; 1-t2 法一:令 1-2x=t,则 t≥0 且 x= 2 , 2 1- t 1 2 于是 y= 2 -t=-2(t+1) +1, 1 由于 t≥0,所以 y≤2, 1 故函数的值域是(-∞,2].
法二:(单调性法)容易判断 f(x)为增函数,而其定义域 1 1 1 应满足 1-2x≥0,即 x≤2,所以 y≤f(2)=2, 1 即函数的值域是(-∞,2].

函数值域或最值的常用求解方法 单调性法
单调性求值域关键是熟悉基本初等函数的单调性,及 熟练利用导数讨论函数的单调性,如 y=ax+b+ dx+e (a、b、d、e 均为常数,且 ad≠0),看 a、d 的符号,若同 号用单调性求值域,否则用换元法求值域;

求函数的值域: f(x)=x- 1-2x;
法一:容易判断 f(x)为增函数,而其定义域 1 1 1 应满足 1-2x≥0,即 x≤2,所以 y≤f(2)=2, 1 即函数的值域是(-∞,2].
1-t2 法二:(换元法)令 1-2x=t,则 t≥0 且 x= 2 , 1-t2 1 于是 y= 2 -t=-2(t+1)2+1, 1 1 由于 t≥0,所以 y≤2,故函数的值域是(-∞,2].

求函数的值域. y=x+ x+1;
解:由于 x≥-1, 又函数 y=x+ x+1在[-1,+∞)单调递增, 故所求的值域为[-1,+∞).

x2-4x+5 5 求函数的值域. y= (x≥ ); 2 2x-4
? x- 2? 2+ 1 1 1 【解析】f(x)= =2[(x-2)+ ], 2?x-2? x- 2 5 1 1 ∵x≥2,∴f(x)≥2· 2 ?x-2?× =1. x-2 1 当且仅当 x-2= 时,即 x=3 时取到最小值, x-2 ∴值域为[1,+∞).

函数值域或最值的常用求解方法

反函数法
利用函数和它的反函数的定义域与值域的关 系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域.

cx + d 形如y= (a≠0)的函数的值域,均可使 ax+b
用反函数法.此外,这种类型的函数值域也可使用
“分离常数法”求解.

1-x 求函数的值域: y= 2; 1+x
1-x 2 解:y= 2= 2-1, 1+x 1+x 2 2 ∵1+x ≥1,∴0< 2 ≤ 2, 1+x 2 ∴-1< 2-1≤1,即 y∈(-1,1]. 1+ x ∴函数有最大值为 1,无最小值.
2

2

函数值域或最值的常用求解方法

导数法
当一个函数在定义域上可导时,可根据其导 数求最值确定值域;

函数值域或最值的常用求解方法 判别式法
主要适用于可化为关于x的二次方程a(y)· x2+ b(y)· x+c(y)=0的函数y=f(x).在由Δ≥0且a(y)≠0, 求出 y的最值后,要检验这个最值在定义域内是 否有相应的x的值.

a1x2+b1x+c1 形如 y= 2 (a1,a2 不同时为零) a2x +b2x+c2 的函数的值域常用此法求解. 前提条件:函数的定义域应为 R; 分子、分母没有公因式.

函数值域或最值的常用求解方法 数形结合法
当一个函数图象可作时,通过图象可求其值域

和最值;或利用函数所表示的几何意义,借助于几
何方法求出函数的值域.

常用于解答选择题、填空题或探究解题思路.

[归纳领悟] 函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定 的.求函数值域或最值的常用方法:①观察法;②换 元法;③配方法;④根据单调性,求出函数的值域; ⑤不等式法;⑥导数法(导数部分深叙);⑦判别式法; ⑧数形结合法. 注意: (1)“求值有法,法无定法”即求最值的方法多种多样, 要根据实际情况选择恰当的方法来解决,不可生搬硬 套. (2)求函数值域或最值,一定要注意到定义域的范围. (3)利用换元法时,要及时确定新变量的取值范围.

函数的最值与值域的关系
函数的最值与函数的值域是关联的,求出 了函数的值域也就能确定函数的最值情况,但 只确定了函数的最大(小)值,未必能求出函数 的值域.

设函数 f (x)的定义域为 R,有下列三个命题: ①若存在常数M,使得对任意x∈R,有f(x)≤M,则 M 是函数 f (x) 的最大值;②若存在 x0∈R ,使得对 任意 x∈R ,且 x≠x0 ,有 f(x) < f(x0) ,则 f(x0) 是函数 f(x) 的最大值;③若存在 x0∈R ,使得对任意 x∈R , 有 f(x)≤f(x0) ,则 f(x0) 是函数 f(x) 的最大值.这些命 C 题中,正确命题的个数是 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

【解析】根据最大值的定义,对于①M可能是最 大值,也可能是比最大值还大的数;②③则显然 与最大值的定义是一致的,因此是正确的.

[例]已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若 有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为 A.[2- 2,2+ 2] C.[1,3] ( )

B.(2- 2,2+ 2) D.(1,3)

解:f(a)的值域为(-1,+∞), 由-b2+4b-3>-1 解得 2- 2<b<2+ 2.

[答案]

B

归纳小结
求解定义域为R或值域为R的函数问 题时,都是依据题意,对问题进行转化, 转化为不等式恒成立问题进行解决,而解 决不等式恒成立问题,一是利用判别式法, 二是利用分离参数法,有时还可利用数形 结合法.

易错矫正

乱用等价性致误

(2012· 温州)函数f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4的定义 域为R,值域为(-∞,0],则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,2) B.(-∞,-2) C.{-2} D.[-2,2]
解:函数 f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4 的值域为(-∞,0], 即 f(x)≤0
? ?a<2, 恒成立.∴? ? ? Δ≤ 0,

解之得-2≤a<2,故选 D.

错因: 错解中误认为值域为(-∞,0 ]等价于 f(x)≤0 恒成立, 其实不然,若 f(x)的值域为(-∞,0],则函数 f(x)的最大值 为 0,而 f(x)≤0 恒成立,则不一定有函数 f(x)的最大值为 0.

(2012· 温州)函数f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4的定义 域为R,值域为(-∞,0],则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,2) B.(-∞,-2) C.{-2} D.[-2,2]

[正确解答]

由函数f(x)的值域为(-∞,0]可知,函数f(x)
的最大值为0,可求得a=-2. 答案: C

考题诊断 1 1.(2010· 湖北高考)函数 y= 的定义域 log0.5?4x-3? 为 ( ) 3 3 A.( ,1) B.( ,+∞) 4 4 3 C.(1,+∞) D.( ,1)∪(1,+∞) 4 解析:由 log0.5(4x-3)>0 且 4x-3>0 得, 3 0<4x-3<1, <x<1. 4 3 即函数的定义域是( ,1). 4 答案:A

2.(2010· 重庆高考)函数 y= 16-4x的值域是( A.[0,+∞) C.[0,4) B.[0,4] D.(0,4)

)

解析:由已知得 0≤16-4x<16, 0≤ 16-4 < 16=4, 即函数 y= 16-4 的值域是[0,4).
x x

答案:C

51


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