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2014年高考北京市导数汇编习题

导数 a ax 1.18.已知函数 f ( x ) ? e ? ( ? a ? 1) ,其中 a ? ?1 . x
(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间.

2.(2012 朝阳一模)18.设函数 f ( x) ?

eax ,a?R . x2 ? 1

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 单调区间.

1

3.).已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? x ? b(a ? 0) , f '( x) 为函数 f ( x) 的导函数. 3 2

(Ⅰ) 设函数 f(x)的图象与 x 轴交点为 A, 曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是 y ? 3x ? 3 , 求 a, b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? e? ax ? f '( x) ,求函数 g ( x) 的单调区间.

4.18. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? x) ln x ?
2

1 2 ax ? x . (a ? R) 2

(I)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (e, f (e)) 处的切线方程( e ? 2.718... ) ; (II)求函数 f ( x) 的单调区间.

2

5.).(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ?

1 2 x ? ax ? 1(a ? 0) . 2

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值.

6.已知函数 f ( x) ?

2 3 x ? 2 x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ,其中 a ? R . 3

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [2,3] 上的最大值和最小值.

3

7.18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? (1 ? )e ( x ? 0) ,其中 e 为自然对数的底数.
x

a x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线与坐标轴围成的面积; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 存在一个极大值点和一个极小值点,且极大值与极小值的积为 e ,求 a 的 值.
5

9.已知函数 f ( x) ?

1 , g ( x) ? bx2 ? 3x . x?a

(Ⅰ)若曲线 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在点(1,0)处的切线斜率为 0,求 a,b 的值; (Ⅱ)当 a ? [3, ??) ,且 ab=8 时,求函数 ? ( x) ? 的最小值。

g ( x) 的单调区间,并求函数在区间[-2,-1]上 f ( x)

4

10.18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2a ln x . (Ⅰ)若函数 f ( x ) 的图象在 (2, f (2)) 处的切线斜率为 1 ,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 g ( x ) ?

2 ? f ( x) 在 [1, 2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围. x

11. (18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x ( a ? R ). (Ⅰ)若 a ? 2 ,求证: f ( x) 在 (1, ??) 上是增函数; (Ⅱ)求 f ( x) 在[1,e]上的最小值.

5

ex 12. )已知函数 f ? x ? ? ,其中 a 为正实数, e ? 2.718 ? . 1 ? ax2
(I)若 x ?

1 是 y ? f ?x ? 的一个极值点,求 a 的值; 2

(II)求 f ?x ? 的单调区间.


13.18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 2) x . (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值;
2 (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 在 [a , a] 上的最大值.

6

14.18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 2) x . (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 在 [a 2 , a] 上的最大值.

15. (18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x ( a ? R ). (Ⅰ)若 a ? 2 ,求证: f ( x) 在 (1, ??) 上是增函数; (Ⅱ)求 f ( x) 在[1,e]上的最小值.

7

16 .已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? bx (其中 a , b 为常数且 a ? 0 )在 x ? 1 处取得极值.

(I) 当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (II) 若 f ( x ) 在 ? 0,e? 上的最大值为 1 ,求 a 的值.

17.已知函数 f ( x) ? x ?

a ? (a ? 1) ln x, a ? R . x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值为 ? 2 ,求 a 的值.

8

2ax ? a 2 ? 1 18.已知函数 f ( x ) ? ,其中 a ? R . x2 ? 1
(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 f ( x) 在 [0, ??) 上存在最大值和最小值,求 a 的取值范围.

19 . )已知函数 f ( x) ? ?2a ln x ?
2

1 2 x ? ax (a ? R) . 2

(Ⅰ) 讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 在区间 [1, e] 的最小值.

9

21.本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x ) ?

1 2 x ? a ln x(a ? 0). 2

(Ⅰ)若 a ? 2, 求 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值; (III)若 f ( x) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点,求 a 的取值范围.

22.(18)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? e
? kx

1 ( x 2 ? x ? ) (k ? 0) . k

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使得函数 f ( x ) 的极大值等于 3e ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说 明理由.
?2

10

23.已知函数 f ( x )=

x- a , x ? (1, ( x - 1) 2

).

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)函数 f ( x) 在区间 [2, + 由.

) 上是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理

24.已知函数 f ( x) ? a ln x ?

2a 2 ? x(a ? 0) . x

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,求实数 a 的值; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)当 a ? (??, 0) 时,记函数 f ( x) 的最小值为 g (a ) ,求证: g (a) ?

1 2 e . 2

11

25.已知函数 f ( x) ? ax ? ln x , g ( x) ? e

ax

? 3x ,其中 a ? R .

(Ⅰ)求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若存在区间 M ,使 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性,求 a 的取值范围.

26.已知函数

( a 为常数, e 为自然对数的底) . f ( x) ? ( x2 ? ax ? a)e? x ,

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ?(2) ; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 x ? 0 时取得极小值,试确定 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设由 f ( x ) 的极大值构成的函数为 g (a ) ,将 a 换元为 x ,试判断曲 线 y ? g ( x) 是否能与直线 3x ? 2 y ? m ? 0 ( m 为确定的常数)相切,并说明理由.

12

27.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ?

x 2 ? . ex e

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 在区间 [1,3] 上的最小值; (Ⅱ)证明:对任意 m, n ? (0, ??) ,都有 f (m) ? g (n) 成立.

28.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

2 ? a ln x ? 2 (a ? 0) . x

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直,求函数 y ? f ( x) 的单调区 间; (Ⅱ)若对于 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立,试求 a 的取值范围;
?1 (Ⅲ)记 g ( x) ? f ( x) ? x ? b (b ? R) .当 a ? 1 时,函数 g ( x) 在区间 [e , e] 上有两个零点,求实

数 b 的取值范围.

13

29.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ? (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若在 ?1,e? ( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

1? a , (a ? R). x

30.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ( a ? ) x ? ln x , (a ? R) .
2

1 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在区间 ?1 ,e? 上的最大值和最小值; (Ⅱ)若在区间 ?1 , ? ?? 上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求 a 的取值范围.

14

31. 19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? 2ax ? 3 ( a ? 0 ). (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)函数 y ? f ( x) 的图像在 x ? 2 处的切线的斜率为 区间(1,3)上不是单调函数,求 m 的取值范围。

3 1 , 若函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 [ f ' ( x) ? m] ,在 2 3

32.(18)(本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2ex ? 3e 2 ln x ? b 在 ( x0 ,0) 处的切线斜率为零. 2

(Ⅰ)求 x0 和 b 的值; (Ⅱ)求证:在定义域内 f ( x) ≥ 0 恒成立; (Ⅲ) 若函数 F ( x) ? f ?( x) ?

a 有最小值 m ,且 m ? 2e ,求实数 a 的取值范围. x

15

33.18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x . (Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)当 a>0 时,函数 f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , x1 ? x2 ,且 f ( x1 )+2x1 ? f ( x2 )+2x2 恒成立,求 a 的取值范 围.

34.已知函数 f ( x) ? (a ? ) ln x ?

1 a

1 ? x ( a ? 1) . x

(Ⅰ)试讨论 f ( x ) 在区间 (0 , 1) 上的单调性; (Ⅱ)当 a ??3, ? ?? 时,曲线 y ? f ( x) 上总存在相异两点 P( x1 , f ( x1 )) , Q( x2 , f ( x2 )) ,使得曲 线 y ? f ( x) 在点 P , Q 处的切线互相平行,求证: x1 ? x2 ?

6 . 5

16

ax 2 ? x ? a 35.已知函数 f ( x) ? . ex
(Ⅰ)函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,求 a 的值; (Ⅱ)当 x ? [0, 2] 时, f ( x ) ?

1 恒成立,求 a 的取值范围. e2

36. )已知函数 f ( x) ?

1 2 7 ax ? (a ? 1) x ? ln x , g ( x) ? x2 ? 2bx ? . 2 8

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)当 a ?

1 时,函数 f ( x) 在 (0, 2] 上的最大值为 M ,若存在 x ?[1,2] ,使得 4 g ( x ) ? M 成立,求实数 b 的取值范围.

17

37.已知函数 f ( x) ? a ln( x ? a ) ? (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;

1 2 x ? x(a ? 0) . 2

(Ⅱ)若 ?1 ? a ? 2(ln 2 ? 1) ,求证:函数 f ( x ) 只有一个零点 x0 ,且 a ? 1 ? x0 ? a ? 2 ; (Ⅲ)当 a ? ?

4 时 , 记 函 数 f ( x ) 的 零 点 为 x0 , 若 对 任 意 x1, x2 ? [0, x0 ] 且 x2 ? x1 ? 1, 都 有 5

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? m 成立,求实数 m 的最大值.(本题可参考数据:
ln 2 ? 0.7, ln 9 9 ? 0.8, ln ? 0.59 ) 4 5

2 38.已知函数 f ( x) ? ( x ? x ? a)e a ( a ? 0 ).

x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? ?5 时, f ( x) 取得极值. ① 若 m ? ?5 ,求函数 f ( x) 在 ?m, m ? 1? 上的最小值; ② 求证:对任意 x1 , x2 ?[?2,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 .

18

39.已知函数 f ( x) ?

mx ? 1 ( m ? 0 ), g ( x) ? x2eax (a ? R) . 2 x ?1

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 m ? 0 时,若对任意 x1 , x2 ?[0, 2] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求 a 的取值范围.

40.已知函数 f ( x) ? ln x ?

a (a ? 0) . x

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)如果 P( x0 , y0 ) 是曲线 y ? f ( x) 上的任意一点,若以 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 恒成立,求实数 a 的最小值;

1 2

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 的实根情况. (Ⅲ)讨论关于 x 的方程 f ( x) ? 2x 2

19

42.已知函数 f ( x ) ? e x ,点 A( a ,0) 为一定点,直线 x ? t (t ? a ) 分别与函数 f ( x ) 的图象和 x 轴交于点

M , N ,记 ?AMN 的面积为 S (t ) .
(I)当 a ? 0 时,求函数 S (t ) 的单调区间; (II)当 a ? 2 时, 若 ?t0 ? [0,2] ,使得 S (t0 ) ? e , 求实数 a 的取值范围.

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