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【精选】初中数学竞赛精品标准教程及练习51:待定系数法-数学

数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 初 中数学竞赛精品标准教程及练习(51) 待定系数法 一、内容提要 多项式恒等的定义:设 f(x) 和 g(x)是含相同变量 x 的两个多项式,f(x)≡g(x)表示这两个多项 式恒等.就是说 x 在取值范围内 ,不论用什么实数值代入左右的两边,等式总是成立的. 符号“≡”读作“恒等于”,也可以用等号表示恒等式. 例如: (x+3)2=x2+6x+9, 5x2-6x+1=(5x-1)(x-1), x3-39x-70=(x+2)(x+5)(x-7). 都是恒等式. 根据恒等式定义,可求恒等式中的待定系数的值. 例如: 已知:恒等式 ax2+bx+c=2(x+1)(x-2). 求:①a+b+c ; ②a-b+c. 解:①以 x=1, 代入等式的左右两边,得 a+b+c=-4. ②以 x=-1,代入等式的左右两边,得 a-b+c=0. 恒等式的性质:如果两个多项式恒等,则左右两边同类项的系数相等. - - 即 如果 a0xn+a1xn 1+……+an-1x+an= b0xn+b1xn 1+……+bn-1x+bn 那么 a0=b0 , a1=b1, …… , an-1=bn-1 , an=bn. 上例中又解: ∵ax2+bx+c=2x2-2x-4. ∴a=2, b=-2, c=-4. ∴a+b+c=-4, a-b+c=0. 待定系数法:就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式,然后根据恒等式定义和性质,确 定待定系数的值. 二、例题 1. 2. 3. 例 1. x2 ? x ? 2 A B C 已知: ? ? ? x( x ? 3)(x ? 2) x x ? 3 x ? 2 求:A,B,C 的值. 解:去分母,得 x2-x+2=A(x-3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-3). 根据恒等式定义(选择 x 的适当值,可直接求出 A,B,C 的值), 当 x=0 时, 当 x=3 时, 当 x=-2 时, 2=-6A. 8=15B. 8=10C. ∴A=- 1 . 3 8 ∴B = . 15 4 ∴C= . 5 本题也可以把等号右边的代数式,整理成为关于 x 的二次三项式,然后用恒等式性质: “左右两边同类项的系数相等”,列出方程组来解.(见下例). 把多项式 x3-x2+2x+2 表示为关于 x-1 的降幂排列形式. 解:用待定系数法: 设 x3-x2+2x+2=a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d 把右边展开,合并同类项(把同类项对齐), 得 x3-x2+2x+2=ax3-3ax2+3ax-a +bx2-2bx+b +cx-c +d 例 2. 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 用恒等式的性质,比较同类项系数, ?a ? 1 ?? 3a ? b ? ?1 ? 得? ?3a ? 2b ? c ? 2 ? ?? a ? b ? c ? d ? 2 ∴x3-x2+2x+2=(x-1)3+2(x-1)2+3(x-1)+4. 本题也可用换元法: 设 x-1=y, 那么 x=y+1. 把左边关于 x 的多项式化为关于 y 的多项式,最后再把 y 换成 x -1. 已知:4x4+ax3+13x2+bx+1 是完全平方式. 求: a 和 b 的值. 解:设 4x4+ax3+13x2+bx+1=(2x2+mx±1)2 (设待定的系数,要尽可能少.) 右边展开,合并同类项,得 4x4+ax3+13x2+bx+1=4x4+4mx3+(m2±4)x2±2mx+1. 比较左右两边同类项系数,得 例 3. ?a ? 1 ?b ? 2 ? 解这个方程组,得 ? ?c ? 3 ? ?d ? 4 ?a ? 4 m ? 2 方程组 ?m ? 4 ? 13 ; ?b ? 2m ? 解得 ? 例 4. ?a ? 4 m ? 2 或 ?m ? 4 ? 13 . ?b ? ?2m ? ? ?a ? 12 ?a ? ?12 ? ?a ? 4 17 ? a ? -4 17 或? 或? 或? . ? ?b ? 6 ?b ? ?6 ?b ? ?2 17 ? ?b ? 2 17 x2, x3. 推导一元三次方程根与系数的关系. 解:设方程 ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为 x1, 原方程化为 x3+ ∵x1, ∴x3+ x2, b 2 c d x ? x? ?0. a a a x3 是方程的三个根. b 2 c d x ? x ? ? (x-x1) (x-x2) (x-x3). a a a 把右边展开,合并同类项,得 x3+ b 2 c d x ? x ? ? =x3-( x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3. a a a   b  c d , x1x2+x1x3+x2x3= , x1x2x3=- . a a a 比较左右同类项的系数,得 一元三次方程根与系数的关系是: x1+x2+x3=- 例5. 已知:x3+px+q 能被(x-a)2 整除. 求证:4p3+27q2=0. 证明:设 x3+px+q=(x-a)2(x+b). x3+px+q=x3+(b-2a)x2+(a2-2ab)x+a2b. 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 ?b ? 2a ? 0① ? 2 ?a ? 2ab ? p② ?a 2 b ? q③ ? 由①得 b=2a, 代入②和③得 2 ? ? p ?

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