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求抽象函数定义域


求复合函数相关定义域 一、已知 f ( x ) 的定义域,求复合函数 f [ g ? x ?] 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函 数的定义域之中,因此可得其方法为:若 f ( x ) 的定义域为 x ? ? a , b ? ,求出 f [ g ( x )] 中
a ? g ( x ) ? b 的解 x 的范围,即为 f [ g ( x )] 的定义域。 3 例 1 已知 f ( x ) 的定义域为 ( 0,] ,求 f ( x ? 2 x ) 定义域。 解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中,即
2

?x2 ? 2x ? 0 ? x ? ? 2,或 x ? 0 ? 2 0 ? x ? 2x ? 3 ? ? ? ? ?x2 ? 2x ? 3 ?? 3 ? x ? 1 ?

即 ? 3 ? x ? ?2 或 0 ? x ? 1 故 f ( x ? 2 x ) 的定义域为 ?? 3 , ? 2 ? ? ?0 ,1? 【评注】所谓定义域是指函数中自变量 x 的取值范围,因此我们可以直接将复合函数
2

中 x ? 2 x 看成一个整体 x ,即由 0 ? x ? 3 可得 0 ? x ? 2 x ? 3 ,解出 x 的范围即可。
2 2

(2006 年湖北卷)设 f ? x ? ? lg A. ? ? 4 , 0 ? ? ?0 , 4 ? C. ? ? 2 , ? 1 ? ? ?1, 2 ?

2 ? x 2 ? x

,则 f ?

? x ? ? 2 ? ? ? f ? ? 的定义域为 (B) ? 2 ? ? x ?

B. ? ? 4 , ? 1 ? ? ?1, 4 ? D. ? ? 4 , ? 2 ? ? ? 2 , 4 ?

二、已知复合函数 f [ g ? x ?] 的定义域,求 f ( x ) 的定义域 方法是:若 f [ g ? x ?] 的定义域为 x ? ? a , b ? ,则由 a ? x ? b 确定 g ( x ) 的范围即为
f ( x ) 的定义域。

例 2 若函数 f ?3 ? 2 x ? 的定义域为 ?? 1, 2 ? ,求函数 f ? x ? 的定义域 解 ? ?1 ? x ? 2 , ? ?1 ? 3 ? 2 x ? 5 , 故函数 f ? x ? 的定义域为 ?? 1,5 ? 【评注】由 f ?3 ? 2 x ? 的定义域为 ?? 1, 2 ? 得 ? 1 ? x ? 2 ,有的同学会误将此 x 的范围 当作 f ? x ? 的定义域,为了更易分清此 x 非彼 x ,我们可将 3 ? 2 x 令成一个整体 t ,即
t ? 3 ? 2 x ,先解出 f ?t ? 的定义域,即为 f ? x ? 的定义域。

三、已知复合函数 f [ g ? x ?] 的定义域,求 f [ h ? x ?] 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由 f [ g ? x ?] 定义 域求得 f ? x ? 的定义域,再由 f ? x ? 的定义域求得 f [ h ? x ?] 的定义域。
3 例 3 已知 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ? 2,) ,求 f ? x ? 2 ? 的定义域。 3 解 由 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ? 2,) 得 ? 2 ? x ? 3 ,故 ? 1 ? x ? 1 ? 4 4 即得 f ? x ? 定义域为 [ ? 1,) ,从而得到 ? 1 ? x ? 2 ? 4 ,所以 1 ? x ? 6

故得函数 f ? x ? 2 ? 的定义域为 ?1, 6 ? 四、已知 f ? x ? 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的 交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。 例 4 已知函数 f ? x ? 定义域为是 [ a , b ] ,且 a ? b ? 0 求函数 h ? x ? ? f ? x ? m ? ? f ? x ? m ? ? m ? 0 ? 的定义域
?a ? m ? x ? b ? m ? ? ,? m ? 0 ,? a ? m ? a ? m ?a ? x ? m ? b ?a ? m ? x ? b ? m b ? m ? b ? m ,又 a ? m ? b ? m ?a ? x ? m ? b

解 ?

要使函数 h ? x ? 的定义域为非空集合,必须且只需 a ? m ? b ? m ,即 0 ? m ?

b?a 2



这时函数 h ? x ? 的定义域为 [ a ? m , b ? m ] 【评注】由于所得不等式组中两个不等式的四个“端点”都含有字母,所以既要分别判 断它们左、右端点值的大小,还要交叉判断第一个不等式的左端点与第二个不等式的右端 点和第一个不等式的右端点与第二个不等式的左端点的大小,需要特别指出的是,函数的 定义域不能是空集。


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