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2014惠州第四次调研考试(文数)【含答案--全WORD--精心排版】


广东省惠州市 2014 届高三 4 月模拟考试 数 学 试 题(文科)
一、选择题: 1.函数 g ( x) ? A. x x ? ?3

x ? 3 的定义域为(

) C. x x ? ?3

?

?

B. x x ? ?3

?

?

?

?


D. x x ? ?3

?

?

2.已知向量 a ? (?1,5), b ? (2,3) ,则向量 2a ? b 的坐标为( A. (1,3) 3.不等式 B. ( 2,4) ) C. (??,?2) ? (1,??) ) C. 1 C. (5,4)

D. (0,13)

1? x ? 0 的解集为( 2? x A. [ ?2,1] B. ( ?2,1]

D. ( ??,?2] ? (1,??)

4. i 是虚数单位,若 z ? (i ? 1)i ,则 z 等于( A. 2 B. 2

D.

2 2

5.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形, 如果直角三角形的直角边长为 1 ,那么这个几何体的体积为 ( ) A. 1 B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6
) D. (3,4)

主视图

左视图

6.用二分法求方程 lg x ? 3 ? x 的近似解,可以取的一个区间是( A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3)

俯视图

7.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的长轴在 x 轴上,焦距为 4 ,则 m 等于 ( m ? 2 10 ? m



A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8.设 m、n 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面。下列四个命题正确的是( A. 若m ? ? , ? // ? , 则m // ? C. 若m ? ? , ? ? ? , n // ? , 则m ? n 9.已知 sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? A. - 5 B. - 1 B. 若m、n ? ? , m // ? , n // ? , 则? // ? D. 若? ? ? , ? ? ? , 则? ? ?



? ( ?1)n ?1 ? n ,则 s 6 ?s10 ? s15 等于(
C. 0 D. 6



10.设命题 p :函数 y ? sin( 2 x ?
x

?

3 命题 q :函数 y ? 3 ? 1 在 ?? 1,??? 上是增函数.则下列判断错误 的是( ..
B. ?q 为真 C. p ? q 为假

) 的图象向左平移

? 个单位长度得到的曲线关于 y 轴对称; 6
) D. p ? q 为真

A. p 为假

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)

1

? x?0 ? 11.已知点 ( x , y ) 满足 ? y ? 0 ,则 u ? y ? x 的最小值是 ?x ? y ? 1 ?
12.程序框图(即算法流程图)如下图所示,其输出结果是



开始

a=1


a=2a+1 a>100?
是 输出a 结束 否

13.设一直角三角形的两条直角边长均是区间 (0,1) 上的任意实数,则斜边长小 于

3 的概率为 4



(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系下,曲线 C1 : ?

? x ? 2t ? 2a (t为参数) , ? y ? ?t

曲线 C 2 : ?

? x ? 2 cos? (?为参数) .若曲线 C1 , C2 有公共点,则实数 a 的取值范围是____________. y ? 2 ? 2 sin ? ?
A P O C

B

15. (几何证明选讲选做题)如右图所示, P 是圆 O 外一点,过 P 引圆 O 的

CD ? 3,则PC ? 两条割线 PAB、PCD, PA ? AB ? 5,



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos2 x ? sin x cos x, x ? R (1)求 f ( ) 的值; (2)若 sin ? ?
图4

D

? 6

3 ? ? ? ). ,且 ? ? ( , ? ) ,求 f ( ? 5 2 2 24

17. (本小题满分 12 分)某校高三(1)班共有 40 名学生,他们每天自 主学习的时间全部在 180 分钟到 330 分钟之间, 按他们学习时间的长短 分 5 个组统计,得到如下频率分布表: (1)求分布表中 s , t 的值; (2) 王老师为完成一项研究, 按学习时间用分层抽样的方法从这 40 名 学生中抽取 20 名进行研究,问应抽取多少名第一组的学生? (3)已知第一组学生中男、女生人数相同,在(2)的条件下抽取的第 一组学生中,既有男生又有女生的概率是多少?

组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组

分组

频数

频率

?180,210?
?210,240? ?240,270? ?270,300?
8

0 .1

s
0 .3

12
10

0.25

?300,330?

t

2

18.(本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? AD ,且 AB ? AD ?

1 CD ? 1 . 2

现以 AD 为一边向梯形外作正方形 ADEF ,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折,使平面 ADEF 与平面

ABCD 垂直, M 为 ED 的中点,如图 2.(1)求证: AM ∥ 平面 BEC ; (2)求证: BC ? 平面BDE ;
(3)求点 D 到平面 BEC 的距离.
E

E

D

C

M D
C

F

F

A 图1

B

A

图2

B

* 19. (本小题满分 14 分)已知正项数列 ?a n ? 中, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n (n ? N ) ,当 n ? 2 时,有

(2)记 Tn 是数列 ?b n ? 的前 n 项和,若 bn 是 Sn ? Sn?1 ? 3 .(1)求数列 ?a n ? 的通项公式; 中项,求 Tn .

1 1 , 的等比 an an?1

3

3 x2 y2 20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点分别为 A(?2,0), B(2,0) , 离心率 e ? . a b 2
(1)求椭圆的方程; (2)若点 C 为曲线 E : x 2 ? y 2 ? 4 上任一点( C 点不同于 A, B ) ,直线 AC 与直线 x ? 2 交 于点 R , D 为线段 RB 的中点,试判断直线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x (a ? R). (1)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)设 g ( x) ? x ? 2x ? 2 ,若对任意 x1 ? (0, ??) ,均存在 x2
2

?[0, 1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值

范围.

4

广东省惠州市 2014 届高三 4 月模拟考试 文科数学答案
一. 选择题 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 B 5 D 6 C 7 A 8 A 9 C 10 D

2014.04

1. 【解析】选 A, x ? 3 ? 0可得x ? ?3. 2. 【解析】选 D, 2a ? b ? (0,13) . 3. 【解析】选 B,

?(1 ? x)(2 ? x) ? 0 1? x ?0?? ? ?2 ? x ? 1 . 2? x ? 0 2? x ?

4.【解析】选 B, 两边同时取模可得Z ? 2. 5.【解析】选 D, 由三视图还原几何体可知V ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 .

3

2

6

6.【解析】选 C, 设 f ( x) ? ln x ? x ? 3 ,当连续函数 f ( x)满足f (a) f (b) ? 0时,f ( x) ? 0在(a, b)上有解 .

? 10 ? m ? 0 ? 2 7.【解析】选 A, ? m ? 2 ? 0 得10 ? m ? 6,由c ? m ? 2 ? 10 ? m ? 4, m ? 8 ?m ? 2 ? 10 ? m ?
8.【解析】选 A,有面面平行的性质可知 A 正确. 9.【解析】选 C,相邻两项依次结合可得: S 6 ? ?3, S10 ? ?5, S15 ? ?7 ? a15 ? ?7 ? 15 ? 8,? S 6 ? S10 ? S15 ? 0 10. 【解析】选 D , ? ?
2? y ? sin(2 x ? )向左平移 得到y ? sin(2 x ? ),不是偶函数,故 p假; 3 6 3 ?- 1, 由函数y ? 3 x ? 1的图像可知其在 ? ??上不单调,故 q假.所以错误的命题为 D.

二.填空题 11.

?1

12. 127

13.

9? 64

14. 2 ? 5 ? a ? 2 ? 5 ( 或 [2 ? 5, 2 ? 5] )

15. 2

11.【解析】 y ? x ? u, u为斜率为1的平行直线系在y轴上的截距,由数形结合可知 ? 1 ? u ? 1. 12.【解析】连续递推可得 a ? 63 时,再一次进入循环, 输出a ? 127. 13.【解析】设两条直角边长为 a, b ,

1 3 2 ?( ) ?0 ? a ? 1 3 2 9? 2 2 由已知可知构造面积模型:? , 子事件为a ? b ? ( ) , 所以其概率p ? 4 4 ? 0 ? b ? 1 4 1 ? 1 64 ?
14.【解析】化为普通方程后,圆心到直线的距离小于或等于圆的半径( d ? r ) ,解不等式即可. 15.【解析】由割线定理可得 PA ? PB ? PC ? PD, 得PC ? 2 三.解答题 16. (本小题满分 12 分)

5

解:(1) f ( x) ? cos 2
2

?
6

? sin

?
6

cos

?
6

?(

3 2 1 3 3? 3 ) ? ? ? 6 2 2 4

…………………2 分

(2) f ( x) ? cos x ? sin x cos x ?

1 ? cos 2 x 1 ? sin x 2 2

…………4 分

?

1 1 1 2 ? ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 4

……………………6 分

f (? ?

?
24

)?

1 2 ? ? 1 2 ? 1 2 1 3 ? sin(? ? ? ) ……8 分, ? ? sin(? ? ) ? ? ( sin ? ? cos ?) ……10 分 2 2 12 4 2 2 3 2 2 2 2
………11 分

因为 sin ? ? 所以 f (? ?

3 ? 4 ,且 ? ? ( , ? ) ,所以 cos ? ? ? 5 2 5

?
24

)?

1 2 1 3 3 4 10 ? 3 2 ? 4 6 ? ( ? ? ? )? 2 2 2 5 2 5 20

………12 分

17. (本小题满分 12 分)

8 ? 0.2 , t ? 1 ? 0.1 ? s ? 0.3 ? 0.25 ? 0.15 . …………4 分 40 x 20 x 20 ? , 得 x ? 2 .故应抽取 2 名第一组的学生.………6 分 (2)设应抽取 x 名第一组的学生,则 ? 4 40 4 40
解: (1) s ? (3)在(2)的条件下应抽取 2 名第一组的学生,记第一组中 2 名男生为 a1 , a2 ,2 名女生为 b1 , b2 .按时间用分 层抽样的方法抽取 2 名第一组的学生共有 6 种结果,列举如下: a1a2 , a1b1 , a1b2 , a2 b1 , a2 b2 , b1b2 .……9 分 其中既有男生又有女生被抽中的有 a1b1 , a1b2 , a2 b1 , a2 b2 这 4 种结果, 所以既有男生又有女生被抽中的概率为 P ? ……10 分

4 2 ? 6 3.

…………12 分

18. (本小题满分 14 分) (1)证明:取 EC 中点 N ,连结 MN , BN .在△ EDC 中,

E

1 N M , N 分别为 EC, ED 的中点,所以 MN ∥CD ,且 MN ? CD . F M 2 G 1 D C 由已知 AB ∥CD , AB ? CD ,所以 MN ∥ AB , 2 A 且 MN ? AB .…………3 分,所以四边形 ABNM 为平行四边形. B 所以 BN ∥ AM .………………4 分,又因为 BN ? 平面 BEC , 且 AM ? 平面 BEC ,所以 AM ∥ 平面 BEC . ………………5 分 (2) 在正方形 ADEF 中,ED ? AD . 又因为平面 ADEF ? 平面 ABCD , 且平面 ADEF 平面 ABCD ? AD , 所以 ED ? 平面 ABCD .所以 ED ? BC . ……7 分 在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 1 , CD ? 2 ,可得 BC ? 2 . 2 2 2 在△ BCD 中, BD ? BC ? 2, CD ? 2 ,所以 BD ? BC ? CD . 所以 BC ? BD .………8 分,所以 BC ? 平面 BDE .………10 分 (3)解法一:因为 BC ? 平面 BCE , 所以平面 BDE ? 平面 BEC . …………11 分 过点 D 作 EB 的垂线交 EB 于点 G ,则 DG ? 平面 BEC 所以点 D 到平面 BEC 的距离等于线段 DG 的长度 ………………………12 分
6

在直角三角形 BDE 中, S ?BDE ?

1 1 BD ? DE ? BE ? DG 2 2

所以 DG ?

BD ? DE 2 6 ? ? BE 3 3

所以点 D 到平面 BEC 的距离等于

6 . 3

………………………14 分

解法二: BE ? 平面 BDE ,所以 BC ? BE ,所以 S ?BCD ?

1 1 BD ? BC ? ? 2 ? 2 ? 1, 2 2

S ?BCE ?

1 1 6 BE ? BC ? ? 2 ? 3 ? . …………12 分,又 VE ? BCD ? VD? BCE ,设点 D 到平面 BEC 的距离为 h . 2 2 2



1 1 S ?BCD ? DE ? ? S ?BCE ? h ,所以 3 3

h?

S ?BCD ? DE 1 6 ? ? S ?BCE 3 6 2
………………………14 分

所以点 D 到平面 BEC 的距离等于 19. (本小题满分 14 分) 解析: (1)

6 . 3

sn ? sn?1 ? 3 ? 数列? sn ?为首项为 s1 ? a1 ? 3, 公差d ? 3的等差数列 ……1 分


? sn ? 3 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n , ……………2 分, 即sn ? 3n2 …………3 分
? an ? sn ? sn?1 ? 6n ? 3(n ? 2) ………4 分, 当n ? 1时,上式也成立 ? an ? 6n ? 3(n ? N * ) ……………6 分
(2)

bn 是

1 1 1 1 1 1 1 ? ) ……9 分 ……7 分, ? ( ? bn ? ? , 的等比中项, 6 6n ? 3 6n ? 3 an an?1 (6n ? 3)(6n ? 3) an ?1 an

Tn ?
?

1? 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ……………11 分 ? 6? 3 9 9 15 6n ? 3 6 n ? 3 ? ?

1 1 1 n ( ? ) ……13 分, ? ……14 分 6 3 6n ? 3 9(2n ? 1)

20.(本小题满分 14 分) 解析: (1)由题意可得 a ? 2 , e ?

c 3 ? , a 2

∴ c?

3

…………2 分

∴b ? a ? c ? 1,………3 分,所以椭圆的方程为
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1 .…………4 分 4

(2)曲线 E 是以 O (0, 0) 为圆心,半径为 2 的圆。设 C (m, n) ,点 R 的坐标为 (2, t ) ,…………………5 分 ∵ A、C、R 三点共线,∴ AC // AR ,………6 分,而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) ,

4n 4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ), ,………8 分,∴ 点 R 的坐标为 (2, ……10 分 m?2 m?2 m?2 2n n? m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn ,而 m2 ? n2 ? 4 ,∴m2 ? 4 ? ?n2 , ∴ 直线 CD 的斜率为 k ? m?2 m2 ? 4 m2 ? 4
∴t ?
7

∴k ?

mn m m ? ? , …………12 分,∴ 直线 CD 的方程为 y ? n ? ? ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , 2 n n ?n

∴ 圆心 O 到直线 CD 的距离 d ? 21. (本小题满分 14 分)

4 m2 ? n 2

?

4 4

? 2 ? r ,…13 分,所以直线 CD 与曲线 E 相切.……14 分

1 ( x ? 0) ,………1 分, f ?(1) ? 2 ? 1 ? 3 ,所以斜率 k ? 3 ,…………2 分 x 又切点 (1, 2) ,所以切线方程为 y ? 2 ? 3( x ? 1) ),即 3x ? y ? 1 ? 0 故曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的切线方程为 3x ? y ? 1 ? 0 。 ………………3 分 1 ax ? 1 ( x ? 0) ………………4 分 (2) f ?( x) ? a ? ? x x ① 当 a ? 0 时,由于 x ? 0 ,故 ax ? 1 ? 0 , f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) . …………5 分
解:(1)由已知 f ?( x ) ? 2 ? ② 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?

1 . a

…………………6 分

1 , ??) 上, f ?( x) ? 0 , a 1 1 所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ? ) ,单调递减区间为 ( ? , ??) . …………7 分 a a (3)由已知,转化为 f ( x)max ? g ( x)max . ………………8 分
在区间 (0, ? ) 上, f ?( x) ? 0 ,在区间 ( ? ………………9 分 g ( x) ? ( x ? 1)2 ? 1, x ?[0,1] ,所以 g ( x)max ? 2 由(2)知,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,值域为 R ,故不符合题意. (或者举出反例:存在 f (e3 ) ? ae3 ? 3 ? 2 ,故不符合题意.) ………………10 分

1 a

1 , ??) 上单调递减, a 1 1 故 f ( x ) 的极大值即为最大值, f (? ) ? ?1 ? ln(? ) ? ?1 ? ln(? a) , a a 1 所以 2 ? ?1 ? ln(?a) , 解得 a ? ? 3 . e
当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 ( ?

1 a

………12 分 …………14 分

8


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