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20090305高二数学(2.2.1 综合法和分析法)


2.2
2.2.1

直接证明与间接证明
综合法和分析法

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.合情推理的主要作用和思维过程是 什么?
作用:提出猜想,发现结论; 过程:从具体问题出发→观察、分析、 比较、联想→归纳、类比→提出猜想.

2.演绎推理的一般模式是“三段论”, 三段论的基本含义如何?
大前提:已知的一般原理; 小前提:所研究的特殊情况;

结 论:根据一般原理,对特殊情况做 出判断.

3.合情推理所得结论的正确性是需要 证明的,演绎推理的实施也需要具体的 操作方法,因此,从理论上获取证明数 学命题的基本方法,是我们需要进一步 学习的内容.

探究(一):综合法

思考1:对于不等式

a(b + c ) + b(c + a )

2

2

2

2

4abc

其左右两边的结构有什么特点? 右边是3个数a,b,c的乘积的4倍,左边 为两项之和,其中每一项都是一个数与 另两个数的平方和之积.

思考2:利用哪个知识点可以沟通两个数 的平方和与这两个数的积的不等关系?
基本不等式 思考3:若已知a>0,b>0,如何利用不 等式性质证明

a(b + c ) + b(c + a )

2

2

2

2

4abc

思考4:上述从已知条件,基本不等式, 不等式乘法和加法性质出发,推出所证 结论成立的证明方法叫做综合法,一般 地,综合法的基本含义是什么? 利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理、性质、法则等,经过一系列的推 理论证,最后推导出所证结论成立.

思考5:综合法又叫“顺推证法”或“由 因导果法”,其基本思想是:由已知推 可知,逐步推出未知.若用P表示已知条 件和某些数学定义、公理、定理、性质、 法则等,Q表示所要证明的结论,则综合 法的推理过程用流程框图可怎样表示?
P ? Q1 Q1 ? Q 2 Q 2 ? Q 3
?

Qn ? Q

探究(二):分析法

思考1:对于不等式

| 1+ a -

2

1 + b |< | a - b |(a≠b),

2

若证该不等式成立,只要证明什么?

|a + b| 1+ a +
2

2

1+ b
2

2

<1

1 + a + 1 + b >| a + b |

思考2:若证不等式

1 + a + 1 + b > | a + b | 成立,
只需证明什么? |a|+|b|≥|a+b|

2

2

思考3:若证不等式|a|+|b|≥|a+b| 成立,只需证明什么? |ab|≥ab

思考4:由于|ab|≥ab显然成立,反推回 去即得原不等式成立.其中上述各步推理 中所寻求的条件是充分条件,还是必要 条件,还是充要条件? 充分条件

思考5:上述证明方法叫做分析法. 一般 地,分析法的基本含义是什么? 从所证结论出发,逐步寻求使它成立的 充分条件,直到归结为判定一个显然成 立的条件(已知条件、定义、公理、定 理、性质、法则等)为止.

思考6:分析法又叫“逆推证法”或“执 果索因法”,其基本思想是:由未知探 需知,逐步推向已知. 若用Q表示所要证 明的结论,则分析法的推理过程用流程 框图可怎样表示?
Q ? P1 P1 ? P2 P2 ? P3 …
显然成立的条件

理论迁移

例1 在△ABC中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知A,B,C成 等差数列,且a,b,c成等比数列,求证 △ABC为等边三角形. 例2 求证:

3+

7<2 5.

例3 已知sinθ +cosθ =2sinα , sinθ ·cosθ =sin2β , p (k Z ) ,求证: 其中 a , b ? k p 2

1 - t an a 1 - t an b = 2 2 1 + t an a 2(1 + t an b )

2

2

小结作业

1.在数学证明中,综合法和分析法是 两种最常用的数学方法,若从已知入手 能找到证明的途径,则用综合法,否则 用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件,分析法的每步推理都是寻找充分条 件,在解题表述中要注意语言的规范性 和逻辑性.

3.综合法和分析法是两种互逆的思维 模式,在证明某些较复杂的问题时,常 采用分析综合法,用综合法拓展条件, 用分析法转化结论,找出已知与结论的 连结点.

作业:
P89练习:1,2,3.


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